我在 NYU Courant 數學研究所做博士後時做過一件相當了不起的工作，是一個36年的 Open Problem（中文怎麼稱呼）。論文發表在Physical Review A 。文章發表後，美國陸軍研究所主任曾來函索取複印件。我以後一直想做些後續工作，但談何容易。最近又有些想法，但又碰到問題，而且問題還沒法講清楚來請大家幫助。先介紹一些比較吸引眼球的結果。

一維系統有 N 個粒子，在長度為2π 的盒子裡，

S(k) = exp(ikx₁) + exp(ikx₂) + … + exp(ikx_N)

這 S(k) 英文叫 Collective Modes，中文叫集體振動模式。現在假定N=4。我們，具體說，就是我，發現，假如S(1) = 0

S(3) = S(5) = S(2n+1) = … = 0

四個粒子，相角可自由選取，所以還有三個自由度，但是我們只施加了一個限制條件就可以使 S(2n+1) = 0。這個比較容易，這兒諸位高手很快就能證明。下面就神奇了。N = 6

S(k) = exp(ikx₁) + exp(ikx₂) + … + exp(ikx₆)

假如我們限制 S(1) = S(2) = 0，按理說5個自由度只限制了2個，但我們會發現

S(1) = S(2) = S(4) = S(5) = … = S(3k-2) = S(3k-1) = … = 0

對一般的 N，不論奇偶，我們在論文中都證明了類似結果。建議大家不要嘗試。

如果到這兒為止，大家覺得還算有趣，請告訴我。如果已經覺得無聊，無趣，我就此打住。