高速转动陀螺进动的成因与稳态分析

假设陀螺体是很薄的圆盘，半径为R，质量为m,质地均匀。中轴
细长质地坚硬，但质量忽略不计。中轴底端和平面接触的一点
为O点。O点到圆盘的距离是a。中轴总长2a.假设3维坐标系的原点
与O点重合，中轴底端接触平面与XY平面重合。

假设陀螺以w的角速度逆时针自转。我们期待陀螺中轴与Z轴重合。
但由于某种随机原因，在t=0时，陀螺中轴与Z轴有一个很小的角度
u.这样，陀螺圆盘就不是水平的了。现在我们用钟表的刻度描述陀
螺圆盘的位置。

假设陀螺圆盘的最低点A(6点处)在XY平面上的投影恰好与-Y轴重合。
陀螺圆盘的最高点B(12点处)在XY平面上的投影与+Y轴重合.计时从
3点开始。

设圆盘的转动惯量为I，那么，其动量矩是 Iw.Iw 是矢量其方向与
陀螺中轴重合。如果外加力矩为M(假设常数)，则有

M = d(Iw)/dt (1)

如果让矢量Iw的尾端与O重合，那么，(1)就给出了矢量Iw的箭头端
的线速度。

矢量Iw翻转的角速度是

q = M/(Iw) (2)

这也是陀螺中轴翻转的角速度。这个角速度的方向我们不知道。但
假设在初始时刻，陀螺圆盘从12点向6点翻转。

在t=0时，在陀螺圆盘3点处取一质点dm。在t=t时,dm围绕重心翻转的线速度是

v(t) = qRsin(wt) (3)

由于自转角速度的存在，dm受到一种类似表面径力的力。与圆盘垂直并以Iw同向
的线加速度为

-aq^2 + 2qRwcos(wt) (4)
式中第一项是中轴翻转的向心加速度，对陀螺圆盘的翻转没有影响。第二项对陀
螺圆盘的翻转有影响，把它称为翻转加速度

a(t) = 2qRwcos(wt) (5)

质点dm的自转速度在6点，12点轴上的投影是
Rwcos(wt)
再考虑6点，12点轴上的翻转角速度是q,也能得到表达式 (5)

a(t) = 2qRwcos(wt) (5)

这说明，wt 从 -90度到+90度，质点dm受到向上的加速度。
wt 从 +90度到+270度，质点dm受到向下的加速度。

也说明，wt 从 -90度到+90度，质点dm给系统向下的力。
wt 从 +90度到+270度，质点dm给系统向上的力。

12点，6点联线，把圆盘分为两半，右边给系统向下的力，左边给系统
向上的力，两边的力大小相等，方向相反。

这样，陀螺中轴向+X轴翻转。一系列这样的翻转最后形成进动。

下面计算圆盘以12点，6点联线为轴的力矩。n = 3.1415926

半径为r处的面积元 ds = rdrd(wt) (6)
半径为r处的质量元 dm =(m/(nR^2))rdrd(wt) (7)
质量元到12点，6点联线为轴的距离 x = rcos(wt) (8)

圆盘以12点，6点联线为轴的力矩

M1 =Int(0,R) 4q(m/(nR^2))r^3drw Int(-n/2w,n/2w)cos^2(wt)d(wt) (9)
M1 = Int(0,R) 2qw(m/R^2)r^3dr
M1 = 2qw(m/R^2)R^4/4
M1 = qwmR^2/2 (10)

这个力矩始终和陀螺重心移动的速度相差90度。即便是陀螺重心
初始移动速度可以是任何方向。经过一系列这样的翻转最后形成
圆周运动。而M1恰好提供内翻向心力。

当进动进入稳态时，M1与M大小相等，方向相反。

可以验证，
M1 = (M/(Iw))wmR^2/2 = M (11)

也可以说，当进动进入稳态时，M恰好提供了圆盘翻转加速度。
换句话说，当进动进入稳态时，这个圆周运动需要圆盘有个向外翻转
的加速度，而外力矩正好提供这个加速度。