高速轉動陀螺進動的成因與穩態分析

假設陀螺體是很薄的圓盤，半徑為R，質量為m,質地均勻。中軸
細長質地堅硬，但質量忽略不計。中軸底端和平面接觸的一點
為O點。O點到圓盤的距離是a。中軸總長2a.假設3維坐標系的原點
與O點重合，中軸底端接觸平面與XY平面重合。

假設陀螺以w的角速度逆時針自轉。我們期待陀螺中軸與Z軸重合。
但由於某種隨機原因，在t=0時，陀螺中軸與Z軸有一個很小的角度
u.這樣，陀螺圓盤就不是水平的了。現在我們用鐘錶的刻度描述陀
螺圓盤的位置。

假設陀螺圓盤的最低點A(6點處)在XY平面上的投影恰好與-Y軸重合。
陀螺圓盤的最高點B(12點處)在XY平面上的投影與+Y軸重合.計時從
3點開始。

設圓盤的轉動慣量為I，那麼，其動量矩是 Iw.Iw 是矢量其方向與
陀螺中軸重合。如果外加力矩為M(假設常數)，則有

M = d(Iw)/dt (1)

如果讓矢量Iw的尾端與O重合，那麼，(1)就給出了矢量Iw的箭頭端
的線速度。

矢量Iw翻轉的角速度是

q = M/(Iw) (2)

這也是陀螺中軸翻轉的角速度。這個角速度的方向我們不知道。但
假設在初始時刻，陀螺圓盤從12點向6點翻轉。

在t=0時，在陀螺圓盤3點處取一質點dm。在t=t時,dm圍繞重心翻轉的線速度是

v(t) = qRsin(wt) (3)

由於自轉角速度的存在，dm受到一種類似表面徑力的力。與圓盤垂直並以Iw同向
的線加速度為

-aq^2 + 2qRwcos(wt) (4)
式中第一項是中軸翻轉的向心加速度，對陀螺圓盤的翻轉沒有影響。第二項對陀
螺圓盤的翻轉有影響，把它稱為翻轉加速度

a(t) = 2qRwcos(wt) (5)

質點dm的自轉速度在6點，12點軸上的投影是
Rwcos(wt)
再考慮6點，12點軸上的翻轉角速度是q,也能得到表達式 (5)

a(t) = 2qRwcos(wt) (5)

這說明，wt 從 -90度到+90度，質點dm受到向上的加速度。
wt 從 +90度到+270度，質點dm受到向下的加速度。

也說明，wt 從 -90度到+90度，質點dm給系統向下的力。
wt 從 +90度到+270度，質點dm給系統向上的力。

12點，6點聯線，把圓盤分為兩半，右邊給系統向下的力，左邊給系統
向上的力，兩邊的力大小相等，方向相反。

這樣，陀螺中軸向+X軸翻轉。一系列這樣的翻轉最後形成進動。

下面計算圓盤以12點，6點聯線為軸的力矩。n = 3.1415926

半徑為r處的面積元 ds = rdrd(wt) (6)
半徑為r處的質量元 dm =(m/(nR^2))rdrd(wt) (7)
質量元到12點，6點聯線為軸的距離 x = rcos(wt) (8)

圓盤以12點，6點聯線為軸的力矩

M1 =Int(0,R) 4q(m/(nR^2))r^3drw Int(-n/2w,n/2w)cos^2(wt)d(wt) (9)
M1 = Int(0,R) 2qw(m/R^2)r^3dr
M1 = 2qw(m/R^2)R^4/4
M1 = qwmR^2/2 (10)

這個力矩始終和陀螺重心移動的速度相差90度。即便是陀螺重心
初始移動速度可以是任何方向。經過一系列這樣的翻轉最後形成
圓周運動。而M1恰好提供內翻向心力。

當進動進入穩態時，M1與M大小相等，方向相反。

可以驗證，
M1 = (M/(Iw))wmR^2/2 = M (11)

也可以說，當進動進入穩態時，M恰好提供了圓盤翻轉加速度。
換句話說，當進動進入穩態時，這個圓周運動需要圓盤有個向外翻轉
的加速度，而外力矩正好提供這個加速度。