月球衛星軌道參數問題

假設(米，公斤，秒制)：

月球質量 M = 7.35x10^22
月球半徑 R = 1.738x10^6
萬有引力常數 G = 6.672x10^(-11)

某人造月球衛星的預先設計軌道參數是：
遠月點，衛星重心到月球重心的距離是1.818x10^6。
近月點，衛星重心到月球重心的距離是1.768x10^6。

衛星在遠月點上空準確入軌。

求：
(1) 入軌時的速度。
(2) 衛星近月點的速度。
(3) 衛星的周期。

解：

設月心到星心的距離為r, 月心到星心連線滑過得角度為u。根據開普樂定律，
機械能守恆定律，幾何關系列出如下方程：

rVsin(A) = C (常數) (1)
0.5V^2 - GM/r = K (常數) (2)
rdu/ds = sin(A) (3)
ds^2 = dr^2 + r^2du^2 (4)

用這4個方程，做聯立推導，解微分方程

並令

P = C^2/(GM) (5)
e^2 = 2KP^2/C^2 + 1 (6)

得到軌道方程

r = P/[1 + ecos(u)] (7)

設：近月點，月心到星心的距離為r1。
設：遠月點，月心到星心的距離為r2。

由(7) 得
r1r2 = P^2/(1-e^2) (8)
代入(6)有
r1r2 = -C^2/(2K) = r2^2*v2^2/(2GM/r2 - v2^2) (9)
其中v2是衛星遠月點速度。
將(9)化簡得

v2^2 = 2GMr1/(r2(r1+r2))
v2 = 1.63089x10^3

v1 = r2v2/r1 = 1.67702x10^3

軌道半長軸 a = ( r1+r2 )/2 = 1.793x10^6
軌道半長軸 b = sqrt( a^2 - ((r2-r1)/2)^2) = 1.79283x10^6

周期 T = pi*ab/(0.5C) = 6812.095 S = 113.53 Min
入軌時的速度 v2 = 1.63089x10^3
衛星近月點的速度 v1 = 1.67702x10^3