| 老老的老几何题之几何证法 |
| 送交者: Pistons 2009年06月30日14:16:05 于 [灵机一动] 发送悄悄话 |
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原题: 给定三角形ABC, 点D, E 分别为AB和AC的内点, t为0和1之间的实数, 并满足
"角EBC"是"角ABC"的t倍, "角DCB"是"角ACB"的t倍.
证明BE=CD当且仅当AB=AC.
证明. "当"的部分比较简单,略去.
现在证明,如果BE=CD,则AB=AC.
用反证法,设AB不等于AC.不失一般性,设AC>AB. 则角ABC>角ACB. 从而有角ABE>角ACD,角EBC>角DCB. 取AE的内点E'满足角E'BE=角ACD. BE'交CD于CD的内点D'.则三角形E'BE与三角形E'CD'相似. 因为角E'BC=角E'BE+角EBC>角E'CB, 所以E'C>BE'.根据上述两个三角形的相似性,必然有CD'>BE. 但是, CD' |
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