| 老老的老幾何題之幾何證法 |
| 送交者: Pistons 2009年06月30日14:16:05 於 [靈機一動] 發送悄悄話 |
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原題: 給定三角形ABC, 點D, E 分別為AB和AC的內點, t為0和1之間的實數, 並滿足
"角EBC"是"角ABC"的t倍, "角DCB"是"角ACB"的t倍.
證明BE=CD當且僅當AB=AC.
證明. "當"的部分比較簡單,略去.
現在證明,如果BE=CD,則AB=AC.
用反證法,設AB不等於AC.不失一般性,設AC>AB. 則角ABC>角ACB. 從而有角ABE>角ACD,角EBC>角DCB. 取AE的內點E'滿足角E'BE=角ACD. BE'交CD於CD的內點D'.則三角形E'BE與三角形E'CD'相似. 因為角E'BC=角E'BE+角EBC>角E'CB, 所以E'C>BE'.根據上述兩個三角形的相似性,必然有CD'>BE. 但是, CD' |
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