老老的老几何题简化版 给定三角形ABC, 点D, E 分别为AB和AC的内点, BE, CD分别是角B和C的二等分线. 证明BE=CD当且仅当AB=AC. 解： 先证 AB=AC时，BE=CD。这个证明很简单。AB=AC时，三角形ABC是等腰三角形。 三角形BDC和三角形BEC是全等三角形。因为角EBC=DCB，角DBC=ECB，又共享BC边。 再证 BE=CD时，AB=AC。 令 d = BE = CD b = 角B/2 c = 角C/2 应用正弦定理： DB = d sin(c)/sin(2b), AD = d sin(c)/sin(2c+2b) DB+AD = d sin(c)/sin(2b) + d sin(c)/sin(2c+2b) (1) EC+AE = d sin(b)/sin(2c) + d sin(b)/sin(2c+2b) (2) 继续应用正弦定理： [d sin(c)/sin(2b) + d sin(c)/sin(2c+2b)]/sin(2c) = [d sin(b)/sin(2c) + d sin(b)/sin(2c+2b)]/sin(2b) (3) 消去d,将(3)化简得 sin(c)-sin(b) = [sin(b)sin(2c) - sin(c)sin(2b)]/sin(2c+2b) 再化简 sin(c)-sin(b) = 2sin(b)sin(c)[cos(c)-cos(b)]/sin(2c+2b) (4) (4)中，b,c都小于90度，2c+2b小于180度，所以 2sin(b)sin(c)/sin(2c+2b) 大于 0。现在讨论 sin(c)-sin(b) 和 cos(c)-cos(b)的符号问题 如果c大于b, (4)的左边大于0，右边小于0 如果c小于b, (4)的左边小于0，右边大于0 所以(4)只有一种情况有解，c = b, 三角形ABC必须是等腰三角形。 证毕。