老老的老幾何題簡化版 給定三角形ABC, 點D, E 分別為AB和AC的內點, BE, CD分別是角B和C的二等分線. 證明BE=CD當且僅當AB=AC. 解： 先證 AB=AC時，BE=CD。這個證明很簡單。AB=AC時，三角形ABC是等腰三角形。 三角形BDC和三角形BEC是全等三角形。因為角EBC=DCB，角DBC=ECB，又共享BC邊。 再證 BE=CD時，AB=AC。 令 d = BE = CD b = 角B/2 c = 角C/2 應用正弦定理： DB = d sin(c)/sin(2b), AD = d sin(c)/sin(2c+2b) DB+AD = d sin(c)/sin(2b) + d sin(c)/sin(2c+2b) (1) EC+AE = d sin(b)/sin(2c) + d sin(b)/sin(2c+2b) (2) 繼續應用正弦定理： [d sin(c)/sin(2b) + d sin(c)/sin(2c+2b)]/sin(2c) = [d sin(b)/sin(2c) + d sin(b)/sin(2c+2b)]/sin(2b) (3) 消去d,將(3)化簡得 sin(c)-sin(b) = [sin(b)sin(2c) - sin(c)sin(2b)]/sin(2c+2b) 再化簡 sin(c)-sin(b) = 2sin(b)sin(c)[cos(c)-cos(b)]/sin(2c+2b) (4) (4)中，b,c都小於90度，2c+2b小於180度，所以 2sin(b)sin(c)/sin(2c+2b) 大於 0。現在討論 sin(c)-sin(b) 和 cos(c)-cos(b)的符號問題 如果c大於b, (4)的左邊大於0，右邊小於0 如果c小於b, (4)的左邊小於0，右邊大於0 所以(4)只有一種情況有解，c = b, 三角形ABC必須是等腰三角形。 證畢。