黑盒中有R個紅球，B個黑球。如果每次都把摸到的球放回盒裡，並再向盒中放進
10個與摸出的球同樣顏色的球，如此反覆，第10次摸出紅球或黑球的概率各為多少。

試解：

設Rn是第n次摸到紅球的事件，Bn第n次摸到黑球的事件。

P(R2) = P(R2|R1)P(R1) + P(R2|B1)P(B1)
= P(R2|R1)(R/(R+B)) + P(R2|B1)(B/(R+B))
= ((R+10)/(R+10+B))(R/(R+B)) + (R/(R+10+B))(B/(R+B))
= R/(R+B)

假設 P(Rn) = R/(R+B), P(Bn) = B/(R+B),

P(Rn+1) = P(Rn+1|Rn)P(Rn) + P(Rn+1|Bn)P(Bn)
= P(Rn+1|Rn)(R/(R+B)) + P(Rn+1|Bn)(B/(R+B))          (1)

現在討論P(Rn+1|Rn)。做個概率模型。因P(Rn) = R/(R+B),在Rn發生前，我們認
為黑盒中有kR個紅球，kB個黑球。這樣

P(Rn+1|Rn) = (kR+10)/(kR+10+kB), P(Rn+1|Bn) = kR/(kR+10+kB)。代入(1)
得

P(Rn+1) = ((kR+10)/(kR+10+kB))(R/(R+B)) + P(kR/(kR+10+kB))(B/(R+B))   
= R/(R+B)

所以，第10次摸出紅球的概率是R/(R+B)