真是好玩：複數多項式中學數學題解答

Complex numbers a, b, and c are the zeros of a polynomial P(z)=z*z*z + qz + r, and |a|*|a| + |b|*|b|+ |c|*|c|=250. The points corresponding to a,b, and c in the complex plane are the vertices of a right triangle with hypotenuse h. Find h*h ( square of h )

解答：

因為二次項為0，a+b+c=0。 所以該三角形的重心在原點。


通過旋轉坐標軸，可以假設兩直角邊平行於坐標軸。設 a=x+yi 是直角頂點。那麼b=x-2yi和c=-2x+yi 是另外兩個頂點。  因為|a|×|a|=x^2+y^2等等, 已知條件給出：


(x^2+y^2)+(x^2+4y^2)+(4x^2+y^2)=250.


化簡： 6x^2+6y^2=250， 就是


x^2+y^2=250/6.


因為|a|×|a|=x^2+y^2是直角頂點到重心的距離|a|的平方，|a|乘以3/2就是斜邊上的中線長，再乘以2就是斜邊的長。所以 h=3|a|.  得到：


h^2=9|a|×|a|=9×（250/6）=375.