--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

這個公式才是說明其金融含義的關鍵。我那篇文章解釋的就是這個公式的金融含義。

就還用原題的月付。

n: 付款次數

Pn: n個月後的欠款。

r: 利率

c: 固定付款。

如果還用這個例子的條件30年/360個月。

n=360時，所有欠款付清。Pn=0

0=p0(1+r)^360- c( (1+r)^359 +(1+r)^358 +(1+r)^357+......1)

也就是

p0(1+r)^360=c( (1+r)^359 +(1+r)^358 +(1+r)^357+......1)

p0(1+r)^360= c(1+r)^359 +c(1+r)^358 + c(1+r)^357+。。。。+c

這個公式的含義就是複利。銀行借給你的錢要複利，你給銀行的也是複利。雙向利滾利。

等式左邊是銀行的錢以及複利，等式右邊是客戶的付款以及複利。

c(1+r)^359是將第1次付款放到360個月後價值，或者說future value.以此類推。

最後的那個c是最後一次付款，已經在那個時間點了，所以，還是c。

如果還用原來的條件r=0.0054. 月付為1264

如果是單利。公式就是這樣:

p0(1+360r)=c(1+359r)+ c(1+358r)+ c(1+357r)+....+c

兩邊都是單利，都沒"利滾利"。

同樣的條件，如果是單利，月付為831

從數學的角度，複利是個等比數列。單利是等差數列。

複利:

n,  n-1, n-2,.......這些數字是在指數的位置

單利:

或者用金融的概念，只有把所有的錢移到同一個時間點時，才能相加/相減 或者進行比較。

這個公式的含義，就是把所有cash flows 都放到360個月以後，這個所有，當然也包括你給銀行的錢。

我原來文章的連接:

----------------------------------------------------------------------------------

http://bbs.creaders.net/life/bbsviewer.php?trd_id=798287

其中一段是這樣的:

怎麼把每次的付款放到360月後?

用C表示每月的固定還款。

最後一次還款已經在360個月後，所以就是C。

倒數第2個還款，經過一個月後，變成了C(1+r)。

倒數第3個還款，經過2個月後，變成了C(1+r)^2。

也是複利。

以此類推，

第一個付款，經過359個月後，變成了C(1+r)^359。

然後就能把所有的還款都加在一起，因為，已經都轉換到30年後了，所以，可以加。

C + C(1+r) + C(1+r)^2 +。。。。。+ C(1+r)^359。

------------------------------------------------------------------------------------------------

直言網友卻說我只考慮銀行的錢的複利，沒考慮付款的複利。是這樣的麼? 我寫得很清楚。簡直可以說，直言是睜眼說瞎話了。

-------------------------------------------------------------------------------------

言歸正傳，可以再帶進去一個比較簡單的數字。本金10萬，分10年還，月利息為0.5%.

如果是複利，月付1110.12。 如果是單利，月付1027.62。當然，時間越長，本金數字越大，差別也越大。

再解讀一下這個公式，

p0(1+r)^360= c(1+r)^359 +c(1+r)^358 + c(1+r)^357+。。。。+c

直言說，因為兩邊都複利，所以利息被cancel掉了。怎麼能cancel掉呢?

這就是"小額分期付款"的"巧妙"之處。 看公式里的指數，以及前面乘的係數。

銀行one step  ahead of you 。付款是小額的複利相加。銀行是一個lump sum的複利。

當然這不是指責銀行，因為人家也要賺錢麼。

這個問題還真是跟直線和曲線有關了。是一個由直線段構成的曲線。所以，如果時間短，差別不大。時間長了後，差別就看出來。 還有就是，如果複利的時間段比較長，差別就不太明顯。如果複利的時間段很短，差別就明顯。

-----------------------------------------------------------------------

這是複利的月付款公式。

如果是單利:

月付款應該為:

c= 2P0(1+Nr) / (2N+rN^2-rN)

 again, where P0 denotes the principle, and N is the number of the payments.