我在前一篇文章討論共軍的新電磁炮時，提到不論初速多高，任何彈丸的海平面平射有 效射程都不可能超過40公里。結果自然有人質疑這個結論（不盲目迷信權威，是件好事 ，即使這個權威就是我），但是因爲這種流體動力學的問題，沒有簡單的理論解，現象 極度複雜，我無法在留言欄的有限空間裡好好解釋。

考慮了一會兒，覺得雖然有點太專 精，但是一般軍迷和媒體都可能會對超音速彈丸受空氣阻力而減速的問題有興趣，卻又 從沒有人把它科普過，所以我雖不是彈道學專家，還是以物理人的身份討論一番。不是 理工出身的讀者，可以徑行忽略這篇文章。

 一般科普文章談到空氣阻力，都說阻力= ρ * A * Cd * v^2 / 2 (v是速度，ρ是空氣 密度，A是物體的橫截面），那麼我們只要測量阻力係數Cd，就可以知道在不同速度下 ，阻力有多大。換句話說，在空氣中穿行的物體，形狀可以很複雜，尺寸大小也各自不 同，但是這些影響空氣阻力的種種因素（除了速度、空氣密度和橫截面積之外），全部 被包容到一個係數里去了。例如汽車的Cd，一般轎車在0.28左右，休閒車是0.35，皮卡 則接近0.4。這樣的公式，只有在Cd不隨速度變化的前提下才有大用；很巧的是，當速 度低於音速時（但不是太接近0），這是一個很好的近似。 然而隨著速度的提高，空氣阻力隨速度的變化，就成爲高度非綫性的。下面的圖是把前 面所提的阻力方程式推廣到較大的速度範圍後，畫出Cd隨速度而變的函數。

可以看出有 四個主要的區域：

A）在Mach 0.85以下，Cd基本是一個定值，這是前面提到的，爲什麼 會定義Cd這個阻力係數的原因；

B）從Mach 0.85到Mach 1.1之間，Cd大幅提高，這是因 爲音爆激波開始形成，1940年代所謂的“音障”就是研究人員對這個一面牆似的阻力增 加所做的描述；

C）從Mach 1.1到Mach 5之間，Cd又開始慢慢降低，這段函數其實很接 近反比曲綫，換句話說，在這個區間，空氣阻力其實是與速度成簡單正比的，但是科學 界因爲約定成俗，仍然繼續使用與速度平方成正比的老公式；

D）雖然圖中沒有顯示出 來（因爲這張圖裡的兩條曲綫對應著兩種不同的步槍彈，它們的槍口初速只有Mach 3出 頭），但是在Mach 5以上，Cd又成為一個定值，一般是在低速數值的一到兩倍之間，視 物體本身的形狀和大小而定（物體越粗短，這個比值越高）。 

這是一個典型的彈丸阻力係數對速度的函數，縱軸是Cd，橫軸是Mach數。一般會達到超 音速的東西，不是彈丸，就是火箭和飛機；火箭和彈丸的函數曲綫比較相似，但是飛機 因爲有機翼，要更複雜得多，我不在此討論。 軍迷讀者應該常常看到所謂的“亞音速”（或者“次音速”，“Subsonic”）、“穿音 速”（“Transonic”）、“超音速”（“Supersonic"）和“高超音速”（“ Hypersonic”）等詞彙，它們的定義來源正是上面所描述的空氣阻力係數作爲速度的函 數曲綫，有不同形狀的A、B、C和D四個區間。 

好，我們對空氣阻力和速度的關係有了基本的瞭解，現在可以回頭來討論本文的主題， 也就是電磁炮的彈丸在海平面空氣中的減速現象。目前實用電磁炮可能達到的初速，頂 多是Mach 7，更可能是Mach 5，所以主要是在前面所提的C（超音速）區間。如前所述 ，在這個區間，空氣阻力其實是與速度成簡單正比的。學過大一微積分的讀者，可以試 著從這個正比關係來推導彈丸減速的速率，你們應該會發現，彈丸速度會隨距離而做綫 性損失；但是損失的斜度視彈丸的形狀而定，必須從實驗求得。 

這兩張圖來自1990年美國陸軍彈道實驗室（US Army Ballistic Research Laboratory ）的一篇論文（參見http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a224217.pdf ，已經解密了）。

圖1A是三種APFSDS（翼穩脫殼穿甲彈，亦即阻力極小的次口徑長杆飛行物）的速度對距離函數，

圖1B則對應著幾種小口徑彈丸。它們都高度符合綫性關係，可見在超音速區間空氣阻力與速度成簡單正比是一個很好的近似。 

這裡我們先看看圖1A的最上方曲綫和圖1B的最下方曲綫，分別對應著極爲細長的M829（ 即M1坦克所用的120毫米穿甲彈）和比較粗短的M793（是典型的高爆彈丸）。我的估計 是前者的斜率是-0.13（單位是Mach/km，亦即每公里損失的Mach數），後者的斜率則是 -1.3，剛好高了10倍。

人類可以做出來的海軍艦炮彈丸，不論是火炮還是電磁炮，在海 平面Mach 1.1到Mach 5之間的速度損失率，基本都應該在這兩個數值之間。以下的討論 將取速度衰減係數k = 0.13來代表次口徑長杆動能彈，用k = 0.3來代表典型的大口徑 高爆彈。 現有的典型海軍艦炮，例如美軍的Mark 45五寸炮，發射高爆彈的初速是Mach 2.3（如 果改用APFSDS，初速應該更高，可能會達到Mach 3以上），有效射程是24公里，但是這 其實早已是曲射了，速度也掉到音速之下。

荷蘭的Goalkeeper近防炮發射次口徑脫殼彈 的初速是Mach 3.3，有效射程2公里。上圖中最接近它形狀和大小的，是M791（1B里的 最上方綫），對應著大約k = 0.5，所以我們可以估計終端速度是3.3 - 0.5 * 2 ≈ Mach 2.3，這才是平射彈的水準。 如果電磁炮發射APFSDS，那麼40公里外的Mach數損失是0.13*40=5.2，即使初速是Mach 7（請注意，Mach 5以上這個公式其實已經不適用，實際的阻力與速度平方成正比，比 速度正比更高得多，所以Mach數損失應該顯著高於5.2，我的估算是6左右），終端速度 也只在Mach 1.8以下，還不如雄風三型飛彈，但是卻沒有任何高爆藥，所以其破壞力也 就只是一個小洞（讀者請想想雄三的純動能損害還不足以擊毀一艘小漁船，何況炮彈比 飛彈更小了幾十倍）。

如果新艦炮發射高爆彈，那麼17公里外的Mach數損失就已經超過 0.3*17=5.1，Mach 7的初速更是完全沒有意義。 同樣用大一微積分，可以簡單求得在Mach 5以上，因爲阻力是與速度平方成正比，速度 對距離會成指數下降，亦即v ∝ e^(-x/D)。考慮APFSDS做爲最低阻力的例子，可以求 得D=5/0.13 ≈ 40公里（嘿嘿，你們以爲40公里是我隨口亂說的嗎？）；換句話說，在 Mach 5以上，每40公里，速度降低為原本的37%（這是Euler常數e的倒數）。

所以如果 在40公里外，要求終端速度為Mach 5，那麼初速必須是5 * e ≈ Mach 14。別說這是21 世紀身管材料科技不可能達到的高度，就算外星人送給我們新的超級耐磨耐熱材料，能 做出Mach 14的電磁炮，空氣阻力所造成的摩擦生熱也達到Mach 5的八倍，足以融化鎢 芯彈丸。 

【後注】因爲在留言欄談起來，我順便提一提。要算曲射的射程比較麻煩，首先必須知 道大氣密度對高度的函數，請參見下圖： 這個函數曲綫很類似一個指數，我取ρ ∝ e^(-z/H)，這裡H可以從圖上直接讀出，大 約是7.7公里；換句話說，每上升7.7公里，大氣密度減低為原本的37%。然後也不須要 寫程式，Excel這種電子表格已經很夠了。我放了幾個傳統火炮發射大口徑高爆彈的初 速、射高和射程數據，反推到的速度衰減係數k都是0.3。 至於美軍那門Mach 5初速的電磁炮，如果不用火箭助推和滑翔增程，最大的自由彈道射 程是多少呢？我的計算結果是55公里，對應著58°的發射仰角；這還不到廠商吹噓的最 大射程180公里的1/3，可見靠增高初速來提高射程，是事倍功半的傻事。換句話說，電 磁炮連用在遠程對地轟擊，都不見得是效費比最高的方案。