Music, is an universal language of mankind

– Henry Wadsworth Longfellow, an American poet

    要知道樂器為什麼能發出美妙的音樂，首先要知道聲音是怎麼來的。聲音是自然界物體之間的碰撞衝擊，導致空氣壓縮震盪，產生震盪波。震盪波有長有短，於是，人類的耳朵能感應到的就是不同的聲音。自然界最美妙的聲音無過於人類的歌聲，世界上任何一種樂器，都無法超越人類的歌聲，但是可以想方設法模仿，於是，各種樂器應運而生。

    首先，我們知道一個物理現象：撥動一根長絲竹，產生震盪發聲。如果把長絲竹一切為二，再撥動那根短了一半的絲竹，震盪的頻率提高了，聲音相對也提高了（通俗地說，頻率越高，聲音越高，女高音的頻率要比男低音的頻率要高許多)。這就是說，音樂聲和震盪頻率是緊密聯繫在一起的。

    中國古代就有了如何定音律的方法，司馬遷在《史記》中寫道：“九九八十，一以為宮。三分去一，五十四為徽。三分益一，七十二為商。三分去一，四十八為羽。三分益一，六十四為角”。

    這是什麼意思呢？意思是取一根用來定音的竹杆，長度為81單位，定為“宮音”。然後將81乘2/3，得到54單位，定為“徽音”。將54乘4/3，得到72 單位，定為“商音”。將72乘2/3，得到48單位，定為“羽音”。將48乘4/3，得到64單位，定為“角音”。這個方法叫做“三分損益”，產生了中國古代的五位定音：宮，商，角，徽，羽。也就是我們熟悉的簡譜中的 1(do)，2(le)，3(mi)，5(so)，6(la)。 寫成數學表達式：

    宮  81

    徽（損）81x2/3 = 54

    商（益）54x4/3 = 72

    羽（損 ) 72x2/3 = 48

    角（益）48x4/3 = 64 

    注意，這五音律的長度都是整數，都能被3除盡。這說明古代科學技術的限制範圍，一根竹竿，也只能做到這些了。 

    中國明代音律學家朱戴堉在1584年提出十二平均律。將一個音程的8度間，刻劃成12個平均音階。固定為首的那個作為基音，接下來的音階，以 1.059463094公倍數，成等比級數，也就是說，前面一個音符乘上 1.059463094，就成了後面一個音符了。 

    後人推出2^1/12  （2開12次 方根）約等於1.059463094，這是個保留了9位小數點的無理數 。一個8度音程，通俗地講，1(do)2(le)3(mi)4(fa)5(so)6(la)7(xi)8(do) ，被劃分成12個單位，每單位為“半音符”，所以有了12個“半音符”。在算術上，這個8度音程開12次方根，求其平均，是符合邏輯的。朱戴堉的思想是這樣的：把事情倒過來算，知道了一個頭，也知道了一個尾巴，中間等比級數的“倍數”就要硬算了。但是，16世紀還沒有計算機，一個整數2要開12次方根，這可是件非同小可的事，不知道朱戴堉花了多少天，用了多少草稿紙，又是如何折騰出這個數的，猜想和祖沖之計算圓周率有得一拼。這要專門研究數學歷史的人，從歷史古書中找到答案。中國的數學，嚴格講是算術，是算出來的，沒有體系。不像希臘人的歐幾里德平面幾何，一套理論體系很完整。

    歐洲的16-17 世紀，音樂處在巴洛克（Baroque) 時期，音樂的服務對象是教堂和宮殿。當時已有了一套完整的12平均律的樂器製作方法。 

    這是從Google那裡copy 過來的部分數據來說明問題:

   Note     Frequency(Hz)     Wavelength(cm)

                  C₀                          16.35                            2109.89

                  C₀^# /B₀ ^b             17.32                            1991.47

                  D₀                          18.35                            1879.69

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                 G₄               392.00                           88.01

                G₄^# /A₄ ^b      415.30                          83.07

                A₄                 440                               78.41

                A₄^# /B₄ ^b      466.16                          74.01

                B₄                 493.88                          69.85

                  .                 .                                   .

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    先取A₄ ＝ 440 Hz，Wavelength = 78.41, （wavelength 相等於中國古代的竹竿長度）。為什麼要取440 Hz，這是個conventional choice, 不是vital的（如果取 420Hz，產生的聲音偏低，也可以取460Hz，得到的聲音偏高，這由個人喜好，有人喜歡沉悶的聲音，有人喜歡高亮的聲音）.  我猜想, 440 Hz是個正數，便於計算。以A₄  Note為基音，定下了鋼琴上所有的Note。 

    從這張圖表中，觀察到一個有趣的現象，值得注意：頻律乘上波長是個常數（四捨五入），也就是聲音在空氣中每秒傳播的距離，約等於34500cm。不信我們驗證幾個：

    對於 Note C₀  ： 16.35 x 2109.89 = 34497 cm／second

    對於 Note D₀  ： 18.35 x 1879.69 = 34492 cm／second

    對於 Note A₄  ： 440.00 x 78.41  =  34500 cm／second

    再來計算一下音階，它們全是按等比級數，均勻分布的：公比正是上面提到的 2的12次方根， 約等於 1.059463094，不信我們試試：

    取A₄ 為基準音，它的頻率取440.00Hz：

    下面一個Note是 A₄^＃/B₄^b  （在鋼琴鍵上，是往高音走）

    它的頻率是 440.00Hz x 1.059463094 = 466.16Hz,  再下面一個Note是 B₄  

    它的頻率是 466.16Hz x 1.059463094 = 493.88Hz，等等。

    反過來:

    A₄  上面一個Note是 G₄^＃/A₄^b  （在鋼琴鍵上，是往低音走）

    它的頻率是 440.00Hz ／1.059463094 = 415.30Hz。 再上面一個Note是 G₄  

    它的頻率是 415.30Hz／ 1.059463094 = 391.99Hz，等等。       

    依次類推， 求高音的，乘公倍數 1.059463094，求低音的，除公陪數1.059463094，用數學中recursive 的方法，我們可以得到鋼琴上的整個音階，樂器就是這麼製作的。    

    歐洲的十七世紀，在音樂理論領域裡，代表人物是巴赫 （Johan Sebastian Bach , 1685-1750)。巴赫是德國最偉大的古典音樂作曲家之一，他的Well Tempered Clavier 是鋼琴專業學生的必修課。WTC 分上下兩冊，每冊有24 首曲子，這是12 平均律在音樂上的體現：12 個大調和它相對應的Prelude 和Fugue，12 個小調和它相對應的 Prelude 和Fugue，總共48 首曲子。

請聽我演奏：Prelude＃1，C Major, Well Tempered Clavier,  Johan Sebastian Bach