【數學】幾個2階等差數列

人們對等差數列（又名“算術數列”）非常熟悉。

1,2,3,...,n,...，是公差為1的等差數列，n>=1。

2,4,6,...,2n,...，是公差為2的等差數列，n>=1。

1,4,7,...,n+3,...，是公差為3的等差數列，n>=1。

這裡的3個帶有n的表達式，稱為等差數列的（普）通項。

現在看看另一種數列。

以下4個數列的各項數字，分別整齊地排列起來，可以各自構成一個多面體，故它們也統稱為“多面體數（polygonal number）”。

1] 三角形數（triangular number）：其通項T(n)= 1/2 n^2 + 1/2 n（其前5項為1, 3, 6, 10, 15）。

【有關“三角形數”的詳情，請看本博博文《有趣的三角形數》。】

2] 平方數/正方形數（square number）：其通項S(n)= n^2（其前5項為1, 4, 9, 16, 25）。

【圖1：平方數】

3] 五邊形數（pentagonal number）：其通項P(n)= (3/2)*n^2 - 1/2*n（其前5項為1, 5, 12, 22, 35）。

【圖2：五邊形數】

4] 六邊形數（hexagonal number）：其通項H(n)= 2*n^2 - n（其前5項為1, 6, 15, 28, 45）。

【圖3：六邊形數】

這些數列相鄰兩項之間的差，稱為“級差”。

根據上述4個數列，可以看出，它們的4個級差分別是：

1] 三角形數（triangular number）：當n>=2時，其第n項與第(n-1)項間的級差為 n，它們分別是2, 3, 4, 5, ...。

2] 平方數/正方形數（square number）：當n>=2時，其第n項與第(n-1)項間的級差為 2n-1，它們分別是3, 5, 7, 9, ...。

3] 五邊形數（pentagonal number）：當n>=2時，其第n項與第(n-1)項間的級差為3n-2，它們分別是4, 7, 10, 13, ...。 

4] 六邊形數（hexagonal number）：當n>=2時，其第n項與第(n-1)項間的級差為4n-3，它們分別是5, 9, 13, 17, ...。

容易看出，這些數列兩項之間的級差的級差分別是相同的：

數列1] 的兩項之間的級差的級差是1。

數列2] 的兩項之間的級差的級差是2。

數列3] 的兩項之間的級差的級差是3。

數列4] 的兩項之間的級差的級差是4。

這就是“2階等差數列”的定義：由一個數列的級差形成的新的等差數列。這些新數列的通項公式就是原數列的級差。

因此，可以把一般意義上的等差數列看作為為1階的等差數列。

也可以由此定義更高階的等差數列，如3階等差數列、4階等差數列，……。它們通稱“高階等差數列”。

縱觀中國數學史，中國的兩宋的數學家沈括（1031-1095）和楊輝（約1238-約1298年），元代數學家朱世傑（1249-1314），以及清代數學家李善蘭（1810-1882）等幾代數學家，都對高階等差數列做出了貢獻。

欲求各個數列的前k項之和，可先從求數列2]的連續自然數的平方和的前k項入手。這4種數列通項的最高次都僅是2次方，故計算起來不難。

1] 三角形數（triangular number）：其前k項之和S(3,k) = n(n+1)(n+2)/6

2] 平方數/正方形數（square number）：其前k項之和S(4,k) = n(n+1)(2n+1)/6

3] 五邊形數（pentagonal number）：其前k項之和S(5,k) = n^2*(n+1)/2

4] 六邊形數（hexagonal number）：其前k項之和S(6,k) = n(n+1)(4n-1)/6

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相關鏈接和書籍：

Square number：

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_number

Pentagonal number：

https://en.wikipedia.org/wiki/Pentagonal_number

Hexagonal number：

https://en.wikipedia.org/wiki/Hexagonal_number

垛積術（即“高階等差數列”）：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9E%9B%E7%A7%AF%E6%9C%AF

李善蘭：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%8E%E5%96%84%E5%85%B0

李善蘭著作《垛積比類》：

http://baike.baidu.com/item/%E5%9E%9B%E7%A7%AF%E6%AF%94%E7%B1%BB

朱世傑：

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%B1%E4%B8%96%E6%9D%B0

吳文俊主編：中國數學史大系（10卷）