人們都說德國數學家高斯是數學王子，你哪來的“數學公主”呀？我說的這位女數學家索菲·熱爾曼，其實是與高斯同時代的人物，和高斯還有過一段時間的書信來往。鴻雁傳書談的不是戀愛，而是討論數學問題，所以，這些事實已經足以封她一個“公主”的稱號了。

況且，根據著名詩人歌德《浮士德》中的詩：“永恆之女性，引領我們前進”。這位數學公主在“征服費馬大定理”這個358年漫長的歷史中，一定程度上引領了數學的進步，值得一書。

一，“勒布朗先生”

索菲·熱爾曼（Sophie Germain，1776–1831），比高斯早一年出生，是18世紀法國的物理學家、數學家和哲學家。她是 200 年來第一個在費馬大定理上取得重要進展的人，她開創性的彈性理論幫助建造了埃菲爾鐵塔。

她出生在一個富裕的巴黎家庭，但其科學之路卻非同尋常，十幾歲時，她不得不與父母抗爭，爭取讀書的權利。索菲痴迷於數學，尤其是古希臘的理論。在晚上躲着父母手持蠟燭偷偷學習，最後終於感動了父母，後來轉而一直在經濟上支持她。

18 歲時，城裡開設了一所新的技術大學。索菲想去，但因為是女性而被禁止入內。索菲不肯接受拒絕，她用前男學生勒布朗先生的身份寫信給大學，要求提供遠程學習的講義。隨着課程的進展，她甚至開始用她的新男性名字提交課程作業。她很優秀，但正是這種優秀使她被揭穿！因為如今的“勒布朗先生”與之前的數學技能糟透了而臭名昭著的那個學生判若兩人，怎麼會有這種驚人轉變呢？以至於當時任課程主管的拉格朗日要求與他見面。就在那時，拉格朗日才吃驚地發現勒布朗其實是位女性，他（她）的真名叫索菲·熱爾曼。

儘管索菲·熱爾曼最終未得學位，但她與當年幾位最優秀的數學家（高斯、勒讓德等）建立了強有力的師生關係，由此也得知了費馬的猜想，使她在這個困擾了數學家幾百年的問題上做出了傑出貢獻，走出了關鍵的一步。此外，她開創了振動彈性表面定律的研究，她的精彩而富有洞察力的論文《彈性板振動回憶錄》，為現代彈性理論奠定了基礎。這使得埃菲爾鐵塔的建造成為可能。

圖1：索菲·熱爾曼的貢獻

儘管她成就斐然，但她去世時，死亡證明上卻只寫着她是一名沒有職業的單身女性，而不是數學家。埃菲爾鐵塔建成時，這座高聳的建築上刻有七十二位學者的名字，但在這個名單上卻找不到作出貢獻的這位才女的名字。

當熱爾曼寫信給高斯時，她才二十幾歲，她擔心這位偉人會因為她的性別而不認真對待她。為了保護自己，熱爾曼再次使用假名，在信上署名為勒布朗先生。不知道通信者的真實身份的高斯回復道：“我很高興算術找到了你這樣一位能幹的朋友。”

如果不是拿破崙皇帝，熱爾曼的貢獻也許將永遠被錯誤地歸功於神秘的勒布朗先生。1806 年，拿破崙入侵普魯士，法國軍隊正在一個又一個地攻占德國城市。熱爾曼擔心阿基米德的命運也可能奪走她的另一位偉大英雄高斯的生命，於是她給她的朋友佩內蒂將軍送了一封信，請他保證高斯的安全。這位將軍知道這位世界上最偉大的數學家，因此他特別照顧高斯，並向他解釋說，他的命是熱爾曼小姐給的。高斯很感激，但也很驚訝，因為他從未聽說過索菲·熱爾曼。

這場騙局結束了。在熱爾曼給高斯的下一封信中，她不情願地透露了自己的真實身份。高斯非但沒有對這種欺騙行為感到生氣，反而高興地給她回了信：

“當我看到我尊敬的通訊員勒布朗先生變成了一位傑出的人物，為我難以置信的事情做出了如此輝煌的示範時，我該如何向您描述我的欽佩和驚訝呢？對抽象科學，尤其是數字之謎感興趣的人極其罕見：人們對此並不感到驚訝：這門崇高科學的迷人魅力只有那些有勇氣深入研究它的人才能展現出來。但是，如果一個女性按照我們的習俗和偏見，要熟悉這些棘手的研究，必須比男性遇到更多困難，但她卻成功地克服了這些障礙，並深入其中最晦澀的部分，那麼毫無疑問，她一定擁有最崇高的勇氣、非凡的才能和卓越的天賦。”

後來，高斯曾經說服哥廷根大學授予熱爾曼榮譽學位。不幸的是，在大學授予她榮譽學位之前，索菲·熱爾曼因乳腺癌去世了。

二，費馬大定理

歐拉和費馬本人證明了n=3和·n=4的費馬猜想。然而，類似的思路在n=5以後走不下去了。索菲·熱爾曼認真地考慮這個問題，制定證明該定理的策略。她是第一個採用更為通用的新方法來解決這個問題的人。她的直接目標不是證明對某個特定的n無解，而是制定了一個宏大的計劃，企圖一步一步地攻克費馬猜想。

在熱爾曼的策略中，費馬猜想（x^p+y^p=z^p對p大於2，沒有整數解）被分成兩種情形考慮：

情形1：x、y和z都不能被p整除；

情形2：x、y、z中，至少有一個能被p整除。

對素數p，如果2p+1也是素數的話，p便被稱為“熱爾曼素數”，稱2p+1為p的安全數。熱爾曼證明了，費馬猜想的情形1，對熱爾曼素數成立。

索菲·熱爾曼的證明不很完整，之後她也沒有為證明費馬大定理做出進一步的貢獻，但其他人在她的工作的基礎上繼續前進，1825年，勒讓德和狄利克雷證明了n=5的情況，1839年，拉梅證明了n=7的情況。因此，熱爾曼的工作被認為是理解和嘗試解決這個著名數學問題的關鍵一步。

費馬大定理對n=6、n=10、n=14的情形，在19世紀也陸續被證明，不過，這些偶數指數的證明方法與奇數指數方法不同。

三，熱爾曼素數

熱爾曼素數p被條件“p和2p+1都是素數”所定義。例如，5是熱爾曼素數，因為11（2 x 5 + 1）也是素數。但13不是熱爾曼素數，因為27（2 x 13 + 1）不是素數。

小於1200的熱爾曼素數列於下：

熱爾曼素數，除了當年用於研究和證明費馬猜想之外，自身也成為素數的一個研究課題。比如，尚不清楚是否存在無限數量的索菲·熱爾曼素數，這形成又一個猜想。也有人研究熱爾曼素數的分布如何？等等。

至2016年，已知最大的熱爾曼素數是

是一個388342位數。

熱爾曼終身未婚，畢生思考數學、物理、和哲學問題，她的兩部哲學著作《多樣的思想》和《關於科學和文學以及不同文化時代的一般考慮》均在她死後出版。

熱爾曼擁有數學天賦，但由於她所受的教育雜亂無章，缺乏嚴格的正規數學訓練，這種天賦未能得以完美實現。也有人認為正是因為她缺乏訓練，才賦予了她解決問題時獨特的見解和方法。

參考資料：

【1】https://en.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain#External_links

【2】Weisstein, Eric W. "Sophie Germain Prime." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SophieGermainPrime.html

【3】"Sophie Germain." Famous Scientists. famousscientists.org. 18 Jun. 2017. Web. 9/7/2024

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