懷爾斯如何證明“谷山-志村猜想”的？109頁的證明太難懂，也許此文可以幫助你了解個大概……

圖1：費馬大定理FLT的證明之路

1，最後的英雄

從上一篇的描述，1986年，懷爾斯開始追逐完成他的少年夢之時，似乎已經是到了“萬事俱備只欠東風”的時刻。正如圖1所示，弗雷、塞爾、黎貝的工作已經鋪好了道路，現在只剩下找到最後的鑰匙：只要能部分（對半穩定橢圓曲線）證明谷山-志村猜想，就自動證明了費馬大定理。

為什麼當年的數學家們沒有對此趨之若鶩呢？其實事情不是那麼簡單，30年來所有企圖證明該猜想的努力，都以失敗告終。大多數數學家都認為這是一塊搬不動的大石頭，即使是黎貝也沒有想到過要去試一下證明它。

只有懷爾斯意識到了這是個機會，畢竟10歲就開始做夢了！因此，他在完全保密（除了妻子）的狀態下，展開了一個人對此困惑數學界三百多年謎團的挑戰。

1993年6月23日，劍橋牛頓研究所，懷爾斯結束了他三場數學講座的最後一場：本世紀數學界最重要的一次演講。他在黑板上寫下費馬大定理的結論，然後轉向聽眾，臉上露出孩童般天真的笑容，聲調平和地說：“我想我就在這裡結束。”他的結論驚呆了現場的幾百名數學家！接着，會場上爆發出一陣持久的掌聲，歡呼費馬的挑戰被征服。

懷爾斯演講的第二天，數學家第一次占據了報紙的頭版頭條。《人物》雜誌將他列為“本年度25位最具魅力者”之一，一家時裝公司請這位不善表演的數學天才為他們的新系列男裝做廣告。

不過，事情尚未完滿結束，接下來是苛刻嚴厲的審稿過程，審稿人從懷爾斯的證明過程中發現了一個必須解決的“小問題”。這次，懷爾斯找了一個幫手，另一位英國數學家理查·泰勒（Richard Taylor，1962-），共同奮鬥了14個月。在最後似乎“山窮水盡”之時，一個突然的靈感給懷爾斯帶來“柳暗花明”的轉機，幫助他找到修補問題的答案。懷爾斯最後的成功與他曾經拋棄的岩澤理論有關。358年前的最後猜想終於成為了“最後定理”！

2，有關數學

本節簡單介紹懷爾斯證明的相關數學^【1】。

重溫上篇文章的結論，懷爾斯的目標是：對“半穩定橢圓曲線”證明谷山-志村猜想。換言之，懷爾斯需要證明每一條“半穩定橢圓曲線”都是模的。

結合之前數學家的功勞，基本數學關係可用反證法這樣表述：假設費馬最後猜想不正確，即

Aⁿ + bⁿ = cⁿ

對某三個整數a , b , c成立，那麼考慮方程

 y² = x  ( x - aⁿ ) ( x + bⁿ )

所表示的弗雷曲線E，這是一條半穩橢圓曲線。黎貝已經證明了E 不是模的。如果懷爾斯證明了所有“半穩定橢圓曲線”都是模的，那麼E是模的，這就導致了矛盾。矛盾說明原來的假設不對，弗雷曲線實際上不存在，然後即得費馬大定理正確。

“半穩橢圓曲線”是這樣一種橢圓曲線，當對任何素數進行模約化時，它頂多只有一個奇點。本質上，它是一種在不同的素數域（有限域）上行為良好的橢圓曲線。

要得到有限域上的橢圓曲線，一個方法是對橢圓曲線E做模p（mod p）約化，意思是不在乎方程的p的整數倍的整數解。因此，約化後的橢圓曲線定義在一個有限域Fp上，記為E(Fp)。

假設這個有限集合Fp的個數為r（橢圓曲線的秩）=  #E(Fp)。然後，定義：

a_p = p+1-#E(Fp)，

如果a_p恰好是一個模形式的傅里葉變換的係數，橢圓曲線E(Fp)就叫做“模的”。

例如：

懷爾斯通過相應的伽羅華表示的模性質來證明模性定理。他首先考慮p=3的情況，證明E(3)是模的，然後運用“提升”的方法，將E(3)的模性“傳染”給E，最終證明了有理域上的所有半穩橢圓曲線都是“模的”，再由此而推出費馬大定理。

懷爾斯也指出他的方法可以推廣到全實數域的橢圓曲線，因此後來，布勒伊、康萊德、戴蒙德和泰勒，於1999完整地證明了模性定理。

3，費馬大定理的啟示

證明費馬大定理的過程中，懷爾斯的治學方法和奮鬥精神鼓舞人心，數學家的執拗勁和想象力令人欽佩。擯棄名利，保持好奇心，堅持不懈的努力，才是我們每一個科研工作者應該恪守的美好的初心。

從我們對費馬大定理的系列文章中已經可以看出，好的數學問題是“一隻會下金蛋的雞”，它使得數學的不同領域之間架起溝通的橋梁。例如，在破解費馬大定理的過程中，數學家們在模形式與傳統數論中的橢圓曲線之間，在複分析與數論之間，構建了一個一個通道。懷爾斯對“谷山-志村猜想”的證明不但證明了費馬大定理，還啟發了許多其他的數學領域。費馬提出的問題，在近400年之後，還在指引人類攀登新的數學高峰。

費馬大定理的破解，促進了數論與代數幾何、複分析等多個數學領域的交叉融合，推動了整個數學學科的進步，例如也促進了“聯係數論、代數幾何與約化群表示理論等數學中一系列影響深遠的構想”，被譽為“數學的一種大統一理論”的朗蘭茲綱領^【2】的研究。

參考資料：

【1】The Proof of Fermat’s Last Theorem by R.Taylor and A.Wiles：

https://www.ams.org/notices/199507/faltings.pdf

【2】朗蘭茲綱領：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%97%E8%98%AD%E8%8C%B2%E7%B6%B1%E9%A0%98