我們想想，命題是怎麼產生的？需要怎麼樣去證明？
演繹證明某事肯定是這樣，演繹是從一般到特殊，只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。
歸納說明某事在實際上是有效的，歸納是從一些特殊到一般。
溯因推理是說某事可能是這樣。溯因推理是推理形式最弱的一種。
溯因推理藉助不完全歸納，預測成為一個命題叫做猜想（證明一個猜想是告訴你結果，讓你按照規則找出原因-過程的必然性，把道理講清楚）。
歸納只能預測，不能證明。
我們證明一個數學命題就是一種整體上弱勢溯因加歸納推理，每一個局部需要強勢演繹推理。
為什麼不能用歸納法證明？因為設立命題時是使用少量樣本歸納出來的，再用少量樣本證明，就不可靠了。
用哥德巴赫猜想舉例：
原始信息（6=3+3，8=3+5，..。就是逐一歸納有限的樣本，具有某種性質（兩個素數之和），於是歸納推出“哥德巴赫猜想”推導出（預測）有無窮多個的數量樣本的偶數也具有某種性質）。
在有限數量基礎上歸納產生的猜想，通過演繹證明是不對等的。
歸納是在一個有窮大的樣本中逐一列舉, 只要樣本空間沒有被窮盡, 使用的都是簡單枚舉歸納推理。
而命題是對於無窮大的樣本, 我們根本不可能窮盡該樣本空間, （例如哥德巴赫猜想中的偶數就有無窮多個）因此只能使用簡單枚舉歸納推理，簡單枚舉歸納推理是一種擴大了前提條件的推理, 它的結論是不可靠的。
使用歸納推理提出假說, 其假說是非常脆弱的, 因為對它的逐一證實是絕對不可能的, 除非你窮盡樣本空間, 而一旦這樣, 你使用的已經不是歸納推理了。
它的脆弱性體是：只要一個反例, 就可以推翻這個假說命題。
無窮多個樣本的數學定理必須是全稱判斷，數學家必須完成一個：由歸納出來的有限個事實樣本去證實無窮多個元素的--不可能完全證實的命題進行演繹方法證明，並且結論是全稱肯定判斷的正確三段論只能是第一格的AAA式。這是絕大多數數學命題證明無法做到的。
溯因加歸納推理是從結果追溯原因的推理，溯因推理是採納預測的推理.-—— 一個留待觀察的假說，歸納產生的全稱命題。它僅以疑問的或猜測的方式斷定其結論是真的。
歸納推理是基於有限觀察的，從有限樣本推出一般結論的推理, 它的前提是關於個別事物具有某種性質的論斷, 結論卻試圖得出全體事物皆具有此性質的論斷，中間有一個巨大的邏輯空擋。
不完全歸納出來的全稱判斷形成的待證命題，怎麼可能通過演繹推理回到初始信息？怎麼越過這個巨大的邏輯空擋，讓初始信息變成一個定理？
歸納產生的樣本，推導出命題，歸納的樣本沒有進入命題因果關係；沒有進入證據鏈，前提不是結論（即全稱判斷的命題）的必然原因，所以只能是猜測。
因為少量歸納產生的元素具有某種屬性，誇大和膨脹了命題屬性（有無窮多個元素），證明命題時候就要填補這個誇大的空缺。數學家拿什麼填補這個空缺？
他拿什麼填補？
必須找到一個概括了所有的元素屬性的定理或者公式，如果找不到，就無法通過演繹證明。
如果找不到，數學家們就胡來了。
例如一，安德魯懷爾斯證明費馬大定理：
1，假定有一個否定費馬大定理的反例解
（特稱判斷I）。
2,這個反例不存在（否定判斷O）。
3，於是證明全稱的費馬大定理成立(全稱肯定判斷A)。
以上是錯誤格式IOA。
根據三段論規則，前提中有否定判斷，結論不能是肯定的。前提中有特稱判斷，結論不能是全稱的。而全稱肯定判斷的結論只能來自第一格AAA。
例如二，邁克爾阿蒂亞證明黎曼猜想也是這種錯誤。
例如三，張益唐證明黎曼猜想問題“朗道-西格爾零點”也是這種錯誤。
例如四，王虹-扎爾證明掛谷猜想也是這種錯誤。
估計和假設證明中使用“估計”是一個預期理由，暗含“假定存在”的非邏輯前提。不能作為一個正確的數學證明。
這個錯誤就是他們在數學命題證明中使用錯誤的方式——用或然判斷的推理：估計-多階估計；假設-多重假設；歸納法；類比法證明。
前提是或然判斷，結論必將是或然判斷：
例如，丘成桐證明卡拉比猜想結論是“至多一個解”；
陳景潤證明1+2的結論是“或者n=p'+p”或者；n=p1+p2p3;
陶哲軒的“任意長”的素數算術數列。
嚴重的錯誤是這樣的原理：
首先，所有的數學定理都是明確的全稱判斷，明確的意思就是必然判斷，而不能是模稜兩可的或然判斷。
其次，要想結論是必然判斷，就必須每一步都是必然判斷。必然判斷結論只能是演繹推理。
如果前提是或然判斷，那麼結論必然是或然判斷。
估計，多重估計；假設，多重假設都是或然判斷。
因為數學是研究數量-空間結構-數量和空間結構的變化，我們面對的情況是複雜的和變化的，常常需要從一個時空到另外一個時空，從一個命題推出另外一個命題，從一個判斷中得到另外一個判斷。
我們從已知命題推斷出未知命題的行為叫推理，已知命題叫前提，未知命題叫結論。我們證明一個結論的系統化行為，叫做論證。
邏輯就是確保這些推理和論證能夠有效的規則。邏輯學就是研究這些有效推論和論證規則與標準的學科。
我們藉助從老命題引向新的命題-從已知引向未知的。
只有演繹推理形式是必然有效的，因為大範疇的存在，是小範疇存在的充分條件，所以，演繹推理是必然的因果關係推理。
而歸納和類比推理不是，邏輯上也不會用有效性與否來評價這兩類推理，只會說歸納強度和類比的可接受性。所以也叫或然性推理。
數學定理不能是或然判斷。邏輯的本質就是必然得出。演繹推理的前提不能是或然判斷的“估計”。
所以，邏輯的合法性來自於形式的合理性，而形式的合理性來自於實踐的有效性。溯因達到嚴格的推理-論證才能叫做定理。
在這裡必須是沒有任何模糊性，而估計和假設就是模糊證明，論證中的一切推理應該井井有條，一切細節環環相扣。結論的正確性建立在前提的正確性和真實性基礎上。
歸納假設證明和先驗估計等產生論據，是數學家常犯的錯誤：
（1）沒有進入因果關係；
（2）沒有進入構成關係；
（3）無法被感知。
（4）估計和假設進入證據以後，如果從區分兩類否定真理的角度來檢視這一問題：
第一類涉及虛構或者主觀創造的一些對象；
第二類涉及實際存在的對象。
而估計和假設的虛構的對象並不具有事務的全部屬性。
（5）假設最後必須被證明才能進入證據鏈。
（6），假設理由的虛假性胡亂修改前提條件，得出錯誤結論。
（7），推理的無關性胡編亂造的結論不能算定理。
（8），隱含的假設性這些結論都有一個共同的缺陷，假設存在他們想要的內容，都是無關地聯繫他們預想的東西，例如張益唐和陳景潤。
（9），論證的單一性這些論證都是違反演繹推理的基本規則，不能反推回去，正確的定理證明，百分之百可以倒推回去。
10，論據和論據的概念需要做到：精確性-穩定性-專一性-可以檢驗-系統性。使用歸納法和類比法，使用估計-假設產生的論據不能做到上面要求。
為什麼數學家會犯同樣的錯誤？因為數學家無力克服邏輯障礙。
這種障礙是人類在認識中無法克服的
知識無限，邏輯證明有限
今天的世界，沒有哪一個“知識點”，不是被計算出來的；所有知識，可以看作是一個沒有邊界的超文本文件。
然而，我們也不得不說，邏輯並不能“自圓其說”。
也就是說，邏輯有非常明確的“定義域”，在域內，邏輯是有效的；在域外，邏輯也無能為力。換言之，邏輯所能覆蓋的知識域，是有限的，而不是無限的。
下面圖，綠色是一階邏輯命題，數學定理都是一階邏輯。紅色區域是二階邏輯命題，是無法證明的，二階邏輯命題的主項都是集合概念。紅色以外是三階和三階以上邏輯。
綠色是一階邏輯命題，數學定理都是一階
具體表現為：
第一， 在一個知識體系中，至少有一個概念，是無需、也無法定義的；
第二， 演繹體系的公理和假設，是無需、也無法證明的；
第三， 歸納邏輯對於無限域，是無效的。
邏輯，是人類求知過程中的阿克琉斯，是無可匹敵的戰神，沒有任何工具可以和邏輯相提並論。然而，邏輯自身，也有無法自我克服的。
