陳省身

（慶祝自然科學基金制設立15周年和國家自然科學基金委員會成立10周年的講演）

張存浩先生要我講點數學，這麼短的時間，而數學這麼大，只好舉幾個要點談談。

數學是什麼？數學是根據某些假設，用邏輯的推理得到結論，因為用這麼簡單的方 法，所以數學是一門堅固的科學，它得到的結論是很有效的。這樣的結論自然對學問的 各方面都很有應用，不過有一點很奇怪的，就是這種應用的範圍非常大。

最初你用幾個數或畫幾個圖就得到的一些結論，而由此引起的發展卻常常令人難以 想象。在這個發展過程中，我認為不僅在數學上最重要，而且在人類文化史上也非常突 出的就是Euclid在《幾何原本》。這是第一本系統性的書，主要的目的是研究空間的性 質。這些性質都可以從很簡單的公理用邏輯的推理得到。這是一本關於整個數學的書， 不僅僅限於幾何學。例如，Euclid書上首先證明素數的個數是無窮的，這便是一個算術 的結論。隨着推理的複雜化，便有許多“深刻”的定理，需要很長的證明。例如 ，有些 解析數論定理的證明，便需幾十條引理。

最初，用簡單的方法證明幾個結果，大家很欣賞，也很重要。後來方法發展了，便 產生很複雜的推理，有些定理需要幾十頁才能證明。現在有的結果的證明甚至上百頁， 上千頁。看到這麼複雜的證明，我們固然驚嘆某些數學家高超的技巧和深厚的功力，但 心中難免產生一些疑問，甚或有些無所適從的感覺。所以我想，日後數學的重要進展， 在於引進觀念，使問題簡化。

先講講有限單群的問題。

1.有限單群

我們知道，數學的發展中有一個基本觀念——群。群也是數學之中各方面的最基本 的觀念。怎樣研究群的結構呢？最簡單的方法是討論它的子群，再由小的群的結構慢慢 構造大一些的群。群中最重要的一種群是有限群，而有限群是一個難極了的題目，需要 有特別的方法，特別的觀念去研究。

命G為群，g∈G為一子群，如對任何g∈G-1g H g ∈H，則稱H為正規的(nomal). 正 規子群存在，可使G的研究變為子群H及商群G/H的研究。這樣就有一個很自然的問題，有 哪些有限的單群(simple group).單群除了它自己和單位元(identity)之外，沒有其他的 非平凡的正規子群(normalsubgroup). 數學上稱其為簡單群，其實一點也不簡單。

有限群論的一個深刻的定理是Fei-Thompson定理：非交換單群的階(數)(即群中元素 的個數)是偶數。更不尋常的是除了某些大類(素數階循環群Zp,交錯群An(n>=5), Lie型 單群)外，後來發現了26個零零碎碎的有限單群(散在單群，離散單群), 現在知道，最大 的散在單群的階是241×320×59×76×112×133×17×19×23×29×31×41×47×59× 71 =808,017…=1054

這是很大的單群，由B。Fisher 和 R。L.Griess兩位數學家所發現，數學家稱它為 魔群(怪物，Monster).

單群的權威數學家D.Gorenstein相信有限單群都在這裡了，這當然是數學上一個很 好的結果。把單群都確定了，就像化學家把元素都確定了，物理學家把核子的結構都確 定了一樣。可這裡有個缺點，Gorenstein並未將證明定出來。他講若將證明寫出來至少 有1000頁，而1000頁的證明無論如何很容易有錯誤。可是Gorenstein又說，不要緊，若 有錯誤，這個錯誤一定可以補救。你相信不相信？數學界有些人懷疑這樣的證明是否必 要。現在計算機的出現，許多問題可以驗證到很大的數，是否還需要嚴格的證明，已變 成數學上一個有爭論的問題。這個爭論看來一時無法解決。段學復先生是我的老朋友， 是有限群論的專家，也許我們可以問一下他的意見。我個人覺得這個問題很難回答。不 過數學家有個自由，當你不能做或不喜歡做一個問題時，你完全不必投入，你只需做一 些你能做或喜歡做的問題。

2.四色問題

把地圖着色，使得鄰國有不同的顏色，需要幾種顏色？經驗告訴我們，四色夠了。 但是嚴格的證明極難。這就是有各的四色問題。

地圖不一定在球面上，也可在虧格高的的曲面上(一個虧格高為g的曲面在拓撲上講 是球面加g個把手；虧格為1的曲面可設想為環面)。可驚奇的是，這個着色問題，對於g >=1的曲面完全解決了。可以證明：有整數χ(g),滿足條件：在虧格為g的曲面上任何地 圖都可用χ(g)種顏色着色，使鄰國有不同顏色，且有地圖至少需要χ(g) 種顏色。這個 數在g>=1時可以完全確定。我們知道χ(1)=7，即環面上的地圖可用七色着色，四色不夠 。

令人費解的是，證明地球上四色定理，困難多了。現有的證明，需要計算機的幫助 ，與傳統的證明不同。而我們覺得最簡單的情況，即我們住的地球球面上的着色問題反 而特別複雜。把擴充的問題解決了，得到了很有意思的結論。但是回到基本問題，反而 更難。

這種現象不止這一個，還有很多，一個例子是所謂的低維拓撲，即推廣的問題更簡 單，而本身核心的問題反而不易克服，這確是數學神秘性的一面。

3.橢圓曲線

最近的數學進展，最受人注意的結果就是Fermat大定理?