2015-03-24 張恭慶 雲思洞察

作者：張恭慶 (北京大學數學科學學院教授、中國科學院院士、第三世界科學院院士)

·         數學既是一種文化、一種“思想的體操”，更是現代理性文化的核心。

·         馬克思說：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”在前幾次科技革命中，數學大都起到先導和支柱作用。

·         我們不能要求決策者本人一定要懂得很多數學，但至少要經常想想工作中有沒有數學問題需要請數學家來諮詢。

·         因為數學是科技創新的一種資源，是一種普遍適用的並賦予人以能力的技術。

一、世界強國與數學強國

數學實力往往影響着國家實力，世界強國必然是數學強國。數學對於一個國家的發展至關重要，發達國家常常把保持數學領先地位作為他們的戰略需求。17-19世紀英國、法國，後來德國，都是歐洲大國，也是數學強國。17世紀英國牛頓發明了微積分，用微積分研究了許多力學、天體運動的問題，在數學上這是一場革命，由此英國曾在數學上引領了潮流。

法國本來就有良好的數學文化傳統，一直保持數學強國的地位。19世紀德、法爭雄，在數學上的競爭也非常激烈，到了20世紀初德國哥廷根成為世界數學的中心。

俄羅斯數學從19世紀開始崛起，到了20世紀前蘇聯時期成為世界數學強國之一。特別是蘇聯於1958年成功發射了第一顆人造地球衛星，震撼了全世界。當時美國總統約翰?肯尼迪決心要在空間技術上趕超蘇聯。他了解到：蘇聯成功發射衛星的原因之一，是蘇聯在與此相關的數學領域處於世界的領先地位。此外，蘇聯重視基礎科學教育（包含數學教育）也是它在基礎科學研究中具有雄厚實力的一個重要原因，於是下令大力發展數學。

第二次世界大戰前美國只是一個新興國家，在數學上還落後於歐洲，但是今天他已經成為唯一的數學超級大國。戰前德國納粹排猶，大批歐洲的猶太裔數學家被迫移居美國，大大增強了美國的數學實力，為美國打勝二戰、提升戰後的經濟實力做出了巨大貢獻。蘇聯發射第一顆人造地球衛星後，美國加強了對數學研究和數學教育的投入，使得本來在科技界、工商界、軍事部門等方面就有良好應用數學基礎的美國，迅速成為一個數學強國。蘇聯、東歐解體後，美國又吸納了其中大批的優秀數學家。

二、數學及其基本特徵

數學是一門“研究數量關係與空間形式”（即“數”與“形”）的學科。 一般地說，根據問題的來源把數學分為純粹數學與應用數學。研究其自身提出的問題的（如哥德巴赫猜想等）是純粹數學（又稱基礎數學）；研究來自現實世界中的數學問題的是應用數學。利用建立數學“模型”，使得數學研究的對象在“數”與“形”的基礎之上又有擴充。各種“關係”，如“語言” “程序” “DNA排序” “選舉”、“動物行為” 等都能作為數學研究的對象。數學成為一門形式科學。

純粹數學與應用數學的界限有時也並不那麼明顯。一方面由於純粹數學中的許多對象，追根溯源是來自解決外部問題（如天文學、力學、物理學等）時提出來的；另一方面，為了要研究從外部世界提出的數學問題（如分子運動、網絡、動力系統、信息傳輸等）有時需要從更抽象、更純粹的角度來考察才有可能解決。

數學的基本特徵是：

·         一是高度的抽象性和嚴密的邏輯性。

·         二是應用的廣泛性與描述的精確性。

它是各門科學和技術的語言和工具，數學的概念、公式和理論都已滲透在其他學科的教科書和研究文獻中；許許多多數學方法都已被寫成軟件，有的數學軟件作為商品在出售，有的則被製成芯片裝置在幾億台電腦以及各種先進設備之中，成為產品高科技含量的核心。

·         三是研究對象的多樣性與內部的統一性。

數學是一個“有機的”整體，它像一個龐大的、多層次的、不斷生長的、無限延伸的網絡。高層次的網絡是由低層次網絡和結點組成的，後者是各種概念、命題和定理。各層次的網絡和結點之間是用嚴密的邏輯連接起來的。這種連接是客觀事物內在邏輯的反映。

數學家，包括純粹數學家和部分應用數學家，他們的工作就在於：建立新的結點，尋找新的連接，清理和整合眾多的連接，並從客觀世界吸取營養來豐富、延伸這個網絡。在研究現實世界的問題當中，一旦建立的數學模型和我們已有的結點或者低層次的網絡相關，所有建立起來的連接都可能發揮作用，為我們提供解決問題的思路、理論和方法。在現代社會，人們的生活愈來愈離不開數學，我們天天享受着數學的服務，但許多人可能根本不知道！這種例子俯拾皆是。人人都用手機，但並不是人人都知道其中許多關鍵技術是數學提供的。

三、數學與當代科學技術

（一）數學與科學革命和技術革命

第一次科學革命的標誌是近代自然科學體系的形成。是以哥白尼的“日心說”為代表, 後經開普勒、伽利略, 特別是牛頓等一大批科學家的推動完成的。牛頓為了研究動力學，發明了微積分。他的著作《自然哲學的數學原理》影響遍布經典自然科學的所有領域。

被稱為19世紀自然科學三大發現的能量守恆與轉化定律、細胞學說和進化論是第二次科學革命的主要內容。19世紀末到20世紀初,X射線、電子、天然放射性、DNA雙螺線結構等的發現，使人類對物質結構的認識由宏觀進入微觀，相對論和量子力學的誕生使物理學理論和整個自然科學體系以及自然觀、世界觀都發生了重大變革，成為第三次科學革命。在這次革命中，數學起了很大作用。建立相對論需要黎曼幾何，愛因斯坦本人就承認，是幾何學家走到前頭去了，他不過學了幾何學家的東西，才發明了相對論。在量子力學中用到的概率、算子、特徵值、群論等基本概念和結論都是數學上預先準備好了的，所以數學對第三次科學革命起到了推動作用。

§  第一次技術革命是蒸汽機和機械的革命。

§  第二次技術革命是電氣和運輸的革命。

雖然我們很難說出其中哪一項發明直接來自數學，但19世紀和20世紀數學家們發展了常微分方程、偏微分方程、變分學和函數論等數學分支，並把它們用於研究力學—包括流體力學和彈性力學、熱學、電磁學等中的物理問題和工程問題，推動了這些學科的發展。此外還值得一提的是：電磁波的發現是麥克斯韋先從數學推導中預見，然後由赫茲用實驗驗證的。

§  第三次技術革命以原子能技術、航天技術、電子計算機的應用為代表。

電子計算機從設想、理論設計、研製一直到程序存儲等過程，數學家在其中起決定性的主導作用。從理論上哥德爾創建了可計算理論和遞歸理論，圖靈第一個設計出通用數字計算機，他們都是數學家。馮·諾依曼是第一台電子計算機的研製、程序和存儲的創建人，維納和香農分別是控制論和信息論的創始人，他們也都是數學家。由此可見，數學差不多在歷次科技革命中，都起過先導和支柱的作用。

（二）數學與自然科學

任何一門成熟的科學都需要用數學語言來描述，在數學模型的框架下來表達它們的思想和方法。當代數學不僅繼續和傳統的鄰近學科保持緊密的聯繫，而且和一些過去不太緊密的領域的關聯也得到發展，形成了數學化學、生物數學、數學地質學、數學心理學等眾多交叉學科。數學在模擬智能和機器學習中也起了很重要的作用，包括：環境感知、計算機視覺、模式識別與理解以及知識推理等。

（三）數學與社會科學

數學在社會科學，如經濟學、語言學、系統科學、管理科學中占居重要位置。現代經濟理論的研究以數學為基本工具。通過建立數學模型和數學上的推演，來探求宏觀經濟和微觀經濟的規律。從1969年到2001年間，50名諾貝爾經濟學獎得主中，有27人其主要貢獻是運用數學方法解決經濟問題。數學與金融科學的交叉—金融數學是當代十分活躍的研究領域。馮·諾依曼與摩根斯登的“對策論與經濟行為”使“決策”成為一門科學。控制理論與運籌學，特別是線性規劃、非線性規劃、最優控制、組合優化等在交通運輸、商業管理、政府決策等許多方面得到廣泛的應用。在工業管理方面，統計質量管理起很大的作用。在運用數學理論之前，質量管理是通過事後檢驗把關來完成的，難以管控，而且成本也很高。根據概率分布的原理，可以將數理統計的方法應用到質量管理當中去，產生了統計質量管理的理論和方法。

（四）數學與數據科學

人們利用觀察和試驗手段獲取數據，利用數據分析方法探索科學規律。數理統計學是一門研究如何有效地收集、分析數據的學科，它以概率論等數學理論為基礎，是“定量分析”的關鍵學科，其理論與方法是當今自然科學、工程技術和人文社會科學等領域研究的重要手段之一。為了處理網絡上的大量數據，挖掘、提取有用的知識，需要發展“數據科學”。近年來大家都從媒體上知道掌握“大數據”的重要性。美國啟動了“大數據研究與發展計劃”，歐盟實施了“開放數據戰略”，舉辦了“歐盟數據論壇和大數據論壇”。大數據事實上已成為信息主權的一種表現形式，將成為繼邊防、海防、空防之後大國博弈的另一個空間。此外，大數據創業將成就新的經濟增長點（電子商務—產品和個性化服務的大量定製成為可能，疾病診斷、推薦治療措施，識別潛在罪犯等）。所以“大數據”已經成為各國政府管理人員、科技界和媒體十分關注的一個關鍵詞。“大數據”的核心是將數學算法運用到海量數據上，預測事情發生的可能性。人們普遍認識到研究大數據的基礎是：數學、計算機科學和統計科學。

（五）數學與技術科學

馬克思說過：“一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數學時，才算真正發展了。”

今天的技術科學如信息、航天、醫藥、材料、能源、生物、環境等都成功地運用了數學。信息科學與數學的關係最為密切。信息安全、信息傳輸、計算機視覺、計算機聽覺、圖象處理、網絡搜索、商業廣告、反恐偵破、遙測遙感等都大量地運用了數學技術。高性能科學計算被認為是最重要的科學技術進步之一，也是21世紀發展和保持核心競爭力的必需科技手段。例如核武器、流體、星系演化、新材料、大工程等的計算機模擬都要求高性能的科學計算。但有了最快的計算機並不等於高性能科學計算就達到了國際先進水平。應用好高性能計算機解決科學問題，基礎算法與可計算建模是關鍵。相對於計算機硬件，我國在基礎算法與可計算建模研究方面的投入不足，不利於我國高性能計算機的持續發展。

藥物分子設計已經成為發現新藥的主要方向。其中計算機輔助設計扮演着不可替代的角色。用計算的方法從小分子庫中搜索發現各種與酶可能的結合構象來篩選藥物，或者採用基於受體結構的特徵，以及受體和藥物分子之間的相互作用方式來進行藥物設計，已成為當前耗費計算資源最多的領域之一。

四、數學與國防

在二戰中，數學家對於盟軍取勝起到了什麼作用？

馮·諾依曼是20世紀一位頂級數學家，也是第一台電子計算機程序和存儲的研製構思者。他對美國原子彈的製造做了兩大貢獻：

·         一是幫助洛斯阿拉莫斯找到了數學化的途徑。“數學化”是指用快速計算機去模擬計算原子彈的爆炸過程和爆炸威力。

·         二是研究爆聚炸彈，就是把一些炸彈、原子彈捆綁起來發出更大的威力。

烏拉姆是波蘭數學家，他從歐洲逃到美國後參加了曼哈頓計劃。為了模擬核實驗，他發明了蒙特卡羅計算方法。

前蘇聯大數學家柯爾莫哥洛夫在二戰中提出了平穩隨機過程理論。美國數學家維納提出了濾波理論，這些理論對於排除噪音的干擾，處理雷達所得的信息發揮了作用。

英國數學家圖靈是設計出通用數字計算機的第一人。二戰中，他與一些優秀數學家一起，最終破譯了德軍所用的密碼體制Enigma。美國的密碼分析學家也於1940年破譯了日本的“紫密”密碼。

1942年日本突襲中途島海戰失敗，一個重要原因是美國破譯了日本攻擊中途島的情報；1943年4月，利用所破譯的情報，美國打下了山本五十六的座機，成為密碼史上精彩的一頁。

在現代化戰爭中，數學的作用更為突出。在武器方面有核武器、遠程巡航導彈等先進武器的較量。在信息方面有保密、解密、干擾、反干擾的較量。對策方面有戰略、策略、武器配製等方面的較量。每一項都和數學有緊密的關係。

核反應過程是在高溫高壓下進行的，核爆炸的巨大能量在微秒量級的時間內釋放出來，很難在核試驗中測量出核爆炸內部的細微過程，只能得到一些綜合效應的數據。但通過核反應過程的數學模型，進行數值計算卻可以給出爆炸過程中各個細節的圖像、定量的數據以及各種因素與機制的相互作用。在參加全面禁止核試驗條約後，通過數值計算模擬核試驗就更重要了。

在巡航導彈方面，《解放軍報》在一篇《數學的威力》報道中寫道： “一個方程將衛星圖像質量提高30%，一個公式改變了一個部隊的知情模式。”信息的“加密”與“解密”是一種對抗，正如人們所說 “魔高一尺，道高一丈”。而這種對抗力量的表現全在所依靠的數學理論之上。例如，公開密鑰算法大多基於計算複雜度很高的難題，要想求解，需要在高速計算機上耗費許多時日才能得到答案。這些方法通常來自於數論。例如，RSA源於整數因子分解問題，DSA源於離散對數問題，而近年發展快速的橢圓曲線密碼學則基於與橢圓曲線相關的數學問題。

自從費曼提出量子計算機以來，人們希望設計出一種計算機，它能實現在馮？諾依曼計算機上不能實現的算法。如果一旦能把某種類型的計算速度大大增加，那麼破解現有的密碼就有可能。1994年數學家Shor已經對假想的量子計算機，提出了一種大合數的因子分解方法，其複雜度大大降低，使得在量子計算機上有可能破解許多現有的密碼。從大的戰役指揮，到小的作戰方案，都需要了解敵我雙方的實力，運籌帷幄，不打無準備之仗。這都需要進行定量化分析，建立模型，形成隨機應變的作戰指揮系統。其中概率統計、運籌學等數學分支發揮着重要作用。

五、數學與國民經濟

數學與國民經濟中的很多領域休戚相關。互聯網、計算機軟件、高清晰電視、手機、手提電腦、遊戲機、動畫、指紋掃描儀、漢字印刷、監測器等在國民經濟中占有相當大的比重，成為世界經濟的重要支柱產業。其中互聯網、計算機核心算法、圖像處理、語音識別、雲計算、人工智能、3G等IT業主要研發領域都是以數學為基礎的。所以信息產業可能是雇用數學家最多的產業之一。這裡用到許多不同程度的數學工具，有的還有相當的深度，包括：編碼、小波分析、圖像處理、優化技術、隨機分析、統計方法、數值方法、組合數學、圖論等等。

上世紀70年代之後，計算機技術和計算流體力學的發展使數值模擬在大型客機的研製中發揮了巨大作用，計算流體力學與風洞試驗、試飛一起並列成為獲得氣動數據的三種手段。

傳統的大型工程，如水壩的設計需要對壩體和水工結構作靜、動應力學分析。數學中的有限元方法是其中最基本的計算方法。

在石油勘探與開採中都大量運用數學方法，涉及到數字濾波、偏微分方程的理論和計算以及反問題等。數學模擬在化學工業中也起很大的作用。被稱為現代化工之父的美國人埃莫森，把有些化工實驗在“小試”階段之後，通過成熟的數學建模手段取代“中試”，直接進入“大試”，縮短了實驗周期，節省了經費。現代醫療診斷中常用的CT掃描技術，其原理是數學上的拉東變換。CT螺旋式的運動路線記錄X光斷層的信息。計算機將所有的掃描信息按數學原理進行整合，形成一個詳細的人體影像。在更先進的生物光學成像技術的研究中也吸引了不少數學家的參與。

藥物檢驗—要評估一種新藥能否上市，需要經過新藥療效測試，這就要科學地設計試驗，以排除各種隨機性的干擾，真正評估出藥物的效果和毒性。為此，人們設計出了雙盲試驗等試驗手段。國外流行的SAS軟件，是藥物檢驗的必經之徑。發達國家製藥公司聘用大批擁有數理統計學位的雇員從事藥檢工作。

國際金融市場用“金融高技術”運作。“金融數學”是利用數學工具來研究金融，進行數學建模、理論分析、數值計算等定量分析的一種金融高技術。它是數學和計算技術在金融領域的應用。華爾街和一些發達國家大銀行、證券公司高薪雇用大批高智商的數學、物理博士從事資本資產定價、套利、風險評估、期貨定價等方面的工作。

發達國家的保險業中早已使用“精算”為金融決策提供依據。精算學是一門運用概率、統計等數學理論和多種金融工具，研究如何處理保險業及其他金融業中各種風險問題的定量方法和技術的學科，是現代保險業、金融投資業和社會保障事業發展的理論基礎。災害預測與風險評估關乎國計民生。

數值模擬是大氣科學、地震預測等實驗性科學中的重要實驗手段。而要提高預測的準確性必須縮小計算網格 (提高分辨率)、複雜化物理過程，這些都導致計算量呈幾何級數增加，解決的途徑不僅要加大計算機、加快計算機的速度，還要改進數學方法。

有關的研究表明，我們國家計算軟件工業相對落後，並不是因為我們缺少一般的程序人員，而是缺乏有較高數學修養的高水平的程序開發人員。與此相對照的是，比如貝爾實驗室、朗訊、IBM、微軟、谷歌、雅虎這類IT行業領袖，不但大量地招聘數學專業的博士、碩士到公司工作，而且還專門設有相當規模的數學研究部門，支持數學家開展純粹數學理論研究，以確保長期的核心競爭力。IBM公司還為本公司五萬名諮詢人員建立了數學學歷檔案，以便能夠針對每項工作任務，指派最合適的團隊人員。

六、數學與文化教育

（一）數學是一種文化

數學作為現代理性文化的核心，提供了一種思維方式。這種思維方式包括：抽象化、運用符號、建立模型、邏輯分析、推理、計算，不斷地改進、推廣，更深入地洞察內在的聯繫，在更大範圍內進行概括，建立更為一般的統一理論等一整套嚴謹的、行之有效的科學方法。按照這種思維方式，數學使得各門學科的理論知識更加系統化、邏輯化。

作為一種文化，它的特點在於：

o    追求一種完全確定的、完全可靠的知識。在數學上是非分明，沒有模稜兩可。即使對於“偶然”發生的隨機現象，對於“不確定”的事件，也要提出精確的概念和研究方法，確切回答某個事件發生的概率是多少，在什麼確切的範圍以內等等。

o    追求更深層次的、更為簡單的、超出人類感官的基本規律。數學家們是把原始的來自實際的問題，經過了層層抽象，在抽象的、仍然是客觀事物真實反映的更深層次上來考察、研究其內在規律。

o    它不僅研究宇宙的規律，而且也研究它自己。特別是研究自身的局限性，並在不斷否定自身中達到新的高度。

由此可見，數學文化是一種非常實事求是的文化，它體現了一種真正的探索精神，一種毫不保守的創新精神。

（二）數學教育的重要性

在知識社會，數學對於國民素質的影響至關重要。1984年美國國家研究委員會在《進一步繁榮美國數學》中提出：“在現今這個技術發達的社會裡，掃除‘數學盲’的任務已經替代了昔日掃除文盲的任務，而成為當今教育的主要目標”。1993年美國國家研究委員會又發表了《人人關心數學教育的未來》的報告，提出：“除了經濟以外，對數學無知的社會和政治後果給每個民主政治的生存提出了驚恐的信號。因為數學掌握着我們的基於信息的社會的領導能力的關鍵。”當年讀了這後一段話，很不理解，發生“稜鏡事件”之後才恍然大悟。

在我國有沒有掃除“數學盲”的必要？答案是肯定的。

普及數學知識。信息社會對於公民的邏輯能力要求明顯提高。中、小學數學教育最主要的目的之一，應當在於提高學生的邏輯能力。因此數學作為一種“思想的體操”，應該是中、小學義務教育最重要的組成部分。此外，多舉辦各種科學普及講座，向公眾普及數學知識，介紹數學在各個領域中的應用也是必要的。

數學開闊人的視野，增添人的智慧。一個人是否受過這種文化薰陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別。數學修養不但對於一般科學工作者很重要，就是有了數學修養的經營者、決策者，在面臨市場有多種可能的結果，技術路線有多種不同選擇時，也有可能減少失誤。億萬富翁詹姆斯·賽蒙斯就是一個最好的例證。在進入華爾街之前，賽蒙斯是個優秀的數學家，進入華爾街之後，他和巴菲特的“價值投資”理念不同，賽蒙斯依靠數學模型和電腦管理旗下的巨額基金，用數學模型捕捉市場機會，由電腦做出交易決策。他稱自己為“模型先生”，認為建立好的數學模型可以有效地降低風險。

發達國家在大型公共設施建設，管道、網線鋪設以及航班時刻表的編排等方面，早已普遍應用運籌學的理論和方法，既省錢、省力又提高效率。可惜，運籌學的應用在我國還不普遍。其實我們不能要求決策者本人一定要懂得很多數學，但至少要經常想想工作中有沒有數學問題需要請數學家來諮詢。

加強和改善高等數學教育，培養創新人才。在1988年召開的國際數學教育大會上，美國數學教育家在 “面向新世紀的數學的報告”中指出，“對於中學後數學教育，最重要的任務是使數學成為一門對於懷着各種各樣不同興趣的學生都有吸引力的學科，要使大學數學對於眾多不同的前程都是一種必要的不可少的預備”。對於我們來說，就是改革“高等數學課”，使得它對於非數學專業的學生都有吸引力，而且也使他們學到的內容能在今後工作中發揮作用。因為數學是科技創新的一種資源，是一種普遍適用的並賦予人以能力的技術，改善高等數學教育，提高大學生的數學水平，定將促進這種資源的開發和科技的創新。

壯大應用數學隊伍，重視純粹數學的研究和人才。今天，數學幾乎已經深入到我們能想到的一切方面。這麼多有用處的數學，表面上看都屬於應用數學，然而，純粹數學與應用數學的關係如同一座冰山，浮在水面上的是應用數學，而埋在水下的是純粹數學。沒有埋於水下的深厚積累，這些“應用”是建立不起來的。數學是一個有機的整體，許多深刻的純粹數學理論把看似毫不相關的概念和結論鏈接了起來，為研究現實世界中的問題提供強有力的思想和方法。無數事例證明：許多當時看不到有任何應用前景的純粹數學理論，後來在現實世界應用中發揮了巨大作用。例如：數論與現代密碼學，調和分析與模式識別，幾何分析與圖像處理，隨機分析與金融等等不勝枚舉。

人們認為：下一次科技革命將以人類三種新的“生存形式”為重要標誌，即網絡人（生活在網絡空間的虛擬人）、仿生人（高仿真智能人）和再生人（具有自然人特徵的“複製人”）。預計這次科技革命大約將在2020-2050年到來。回顧前幾次科技革命，數學大都起到了先導和支柱的作用。因此有理由相信：數學必將成為下一次科技革命最重要的推動力之一。我們要以早日實現中國夢的強烈責任感和緊迫感，加速建設數學強國，為在下次科技革命中贏得主動、搶占先機，奠定堅實基礎，提供強大動力！