十九、薛定諤方程的導出
２０００年５月至８月．
德布羅意公式的導出，意味着引－電統一場論從此從狹義相對論領域跨進了
廣義相對論的境地，實現了從波到粒子的突破，此後不再需要在基本觀點方面發
生質的飛躍．我意識到這件事也許應當算是物理學史上的重要事件，因而立即在
電腦里寫下：“２０００年５月１０日夜裡１１點０６分完成了計劃中的《基礎
物理述評教程》的全部手稿，接着就在１１點３２分用邏輯方法導出了德布羅意
公式．與普朗克公式、德布羅意公式相比，薛定諤方程理也許只是小菜一碟．預
料愛因斯坦的遺願將會在今天的最後２８分鐘裡成為現實．”
作出上述判斷的根據是：既然已經肯定粒子是波包，那就自然應當是用波函
數來描述．在結構化學教材里，薛定諤方程是利用單色平面波來引入的，只要把
哈密頓算符作用於單色平面波的函數，用不了一分鐘就能得到薛定諤方程．此法
雖只具有“用特例來驗證”的意義，但因一般的波都是由單色波疊加而成的，所
以，只要把一般的波函數作傅里葉展開，就可以仿照結構化學教材里的辦法來導
出薛定諤方程．就工作量方面看，無非是增加一分鐘來書寫傅里葉展開式．一旦
採用任意波函數的傅里葉展開式，那就不只是驗證了，而是證明薛定諤方程普遍
成立．早在１９８２年下半年閱讀徐光憲先生的《物質結構》一書時，我就已經
有了這種想法．遺憾的是：這種想法只是留在腦子裡，一直未把它寫到紙上來．
我興致勃勃地立即開始工作，這次當然是要動筆了．寫出兩個式子之後就立
即發現：問題遠非原先想象的那樣簡單．因為一般函數的傅里葉展開式應當是積
分式，用哈密頓算符作用後，得到的仍然是積分式，而薛定諤方程應當是本徵值
所滿足的偏微分方程．原先以為能在２８分鐘裡完成的工作，竟是一場比普朗克
公式、德布羅意公式還要艱苦得多的攻堅戰．攻到第二天，忘了吃早飯，一直攻
到中午，毫無進展．身體缺糖虛脫了，才知道必須補充燃料．飯後午睡時仍抑制
不住興奮狀態，於是索性攻到晚上，還是毫無進展．
這場攻堅戰與前兩次不同，當年思考普朗克公式和德布羅意公式的時候，都
是感到完全摸不着頭腦，攻一陣子也就只好算了，所以總是斷斷續續地干．這次
是，動筆幾分鐘之後就已經得到了一個式子，這個式子只比薛定諤方程多一個積
分號．顯然，只要能把這個積分號消掉，就意味着大功告成．這個積分號就像是
一個玻璃瓶子，它讓你看到瓶子裡的果子，釣你的胃口，卻又不讓你拿到果子．
我總感到目標就在眼前，但要跨出這最後一步竟是如此之難．連續攻了一個
半月，瓶子依然毫無裂縫．我越來越感到疲勞，到了６月下旬就支撐不住了．從
鏡子裡看到了自己憔悴的面容，不禁感到有點辛酸：“一晃四十年已過，難道當
真只有通過隧道效應才能拿到果子嗎？看來這輩子是沒有希望了．”幸好這種沮
喪情緒還沒有超過果子本身的吸引力，我只是稍許放鬆了一下，但未停止思考．
７月上旬的一天凌晨，我被鳥叫聲喚醒，比平時早一個多小時．天還不怎麼
亮，但再入睡是不可能了，於是索性坐起來欣賞這悅耳的聲音，並試圖判斷鳥的
位置，但做不到，因為我意識到自己所聽到聲音是衍射波．接着就聯想起電子衍
射實驗，終於恍然大悟：“積分號一般是消不掉的，除非被積函數裡包含狄拉克
函數．應當從粒子波函數的特殊性方面進行分析．當年玻爾學派的三大法寶中已
被我破了兩個，還留下一個電子的點染式衍射圖樣問題．點染式在數學方面應當
與脈衝函數有關．也許應當從電子衍射實驗中尋找出路．”
我把電子的衍射與聲波的衍射進行了比較．聲波要依靠空氣分子來傳播．聲
場中的分子總是既要作聲振動，又要作雜亂無章的熱運動，因而聲波必定是概率
波，它的衍射圖樣也應當是點染式的．但是，如果沒有聲源，也就不會有衍射花
樣．這就表明聲源與衍射圖樣之間的關係是因果關係．點染式則是表明隨機性的
原因必定產生隨機性的結果，這也是由因果律支配的．因此，聲波是一種遵守因
果律的概率波．與此類似，電子槍發射電子是隨機性的，但電子本身就是引力波
和電磁波構成的波包，因而電子束也是同時含有隨機成分和相干成分，兩種成分
也都應當分別遵守因果律(見《述評》 p.806)．我又回想起１９８２年暑假裡未
能成功的“彈簧衍射實驗”，想象着有駐波場的彈簧與狹縫邊緣相碰後偏轉，偏
轉角度的大小由駐波的相位決定．想到這裡，就立即起床，很快就導出了薛定諤
方程(見《述評》 p.809)．確實只用了半個小時的時間．
粒子波函數的完備形式中應當包含兩種成分，其一是隨機性脈衝函數，其二
是粒子本身固有的波函數．這兩種函數分別使用實驗室參考系和本地參考系．本
地參考系是跟隨整個粒子一道運動的，可在粒子上找一個特殊的點(例如質心)代
表整個粒子，這個點叫做“代表點”．粒子本身是一個波包，波包內的各點與代
表之間應當存在相干關係．本地坐標系的原點取在代表點上．隨機性脈衝函數是
用於描述粒子的代表點在實驗室參考系中的隨機性位置，固有波函數是用於描繪
波包內任意點的狀況，使用相對於代表點而言的位矢．顯然，波包上的點在實驗
室參考系中的位矢，應當等於這些點在固有參考系中的相對位矢與代表點在實驗
室參考系中的位矢之矢量和．
一旦代表點的位置被選定在實驗室里的某個點上，波包上的點在實驗室參考
系中的狀況也就完全確定了．但代表點的位置是隨機性的，因而波包在實驗室參
考中的波函數應當等於隨機性脈衝函數與粒子固有波函數的卷積積分．
值得注意的是：隨機性脈衝函數是由隨機性脈衝組成的，每個脈衝都是用狄
拉克δ函數描述的，因而隨機性脈衝函數與固有波函數的卷積積分實際上是固有
波函數的線性組合．在有了這樣的認識之後，就按以下步驟來處理：
１）將完備的波函數在四維空時內展開成傅里葉積分．
２）將德布羅意公式代入上述傅里葉積分．
３）將總能量算符和四維拉普拉斯算符（即四維空時中的與三維空間內的拉
普拉斯算符相當的算符）作用於上述用傅里葉積分描述的波函數．如此得到的方
程一般仍應具有積分形式，但因隨機性脈衝函數具有特殊性，所以如此得到的方
程實際上已經是本徵函數的偏微分方程(見《述評》p.810，注意：初版(36)式等
號右邊漏了一個負號，(37)式中的靜止能量平方項前面的負號應改為正號)．
４）將狹義相對論中的動量－能量守恆方程代入上述偏微分方程，就能得到
粒子在自由空間的運動方程．
５）將上述運動方程應用於勢場中的局部慣性系，然後利用廣義相對論提供
的引力效應因子，就能得到粒子在勢場中的運動方程．
６）上述粒子在勢場中的運動方程中的粒子能量，就是指德布羅意公式描述
的粒子能量，是把粒子的固有靜止能量包括在內的．如果扣除靜止能量，那麼就
得到著名的薛定諤方程．
一旦導出了薛定諤方程，那就不僅意味着基本上完成了量子力學的推導，也
不僅意味着讓量子力學回到了因果決定論的立場，還意味着在統一場論方面基本
上達到了愛因斯坦在１９１８年提出的“把力學、電動力學和量子力學統一在單
一的邏輯體系裡”的指標．
２０００年８月，我在《述評》中增添了“探索篇”．
全書完稿之時，回想起１９６０年初次與戴文賽先生見面時的談話以及後來
所走過的道路，頗有感觸，於是填了一首“醉太平”詞：
壯志易立，知音難逢．幸得先生激勵，百折仍從容．
評千年事，留萬古風．自古新說和寡，不圖眼前功．
二十一．對熱學邏輯體系的進一步改造
２００１年１０月．
經典物理學的四大分支是力、熱、電、光．我在寫“探索篇”的時候，注意
力是集中在引力場和電磁場方面，接着是把注意力轉移到量子和宇宙上，未考慮
經典力學、熱學和光學．但是，如此得到的理論體系已經包含了相對論力學和電
學，相對論力學在低速條件下取近似就得到經典力學，光學則是電磁波理論在光
學波段的表現，惟獨未能把熱學同統一的理論掛上鈎．統一的物理學如果未把熱
學統一進來，那就不能算是真正的統一．直到全書定稿之後才發現這一點，只能
感到遺憾．如果統一的物理學能夠包括熱學，那就意味着熱學的基本定律能在大
框架內單純地用邏輯分析法得到．這件事確實是能做到的．
Ⅰ．熱力學第一定律的導出
在物理學發展史上，熱力學第一定律不是力學中的機械能守恆原理的簡單推
廣，而是獨立提出的經驗定律．它最初在邁爾那裡並沒有精確的實驗數據，而且
帶有直覺和哲學思辨的成分．稍後在焦耳那裡是以熱功當量實驗為依據，雖有較
精確的實驗依據，但限於熱與功之間的當量關係．到了赫姆霍茲手中，就比較全
面了，但在推廣過程中還是帶有直覺和思辨的成分．
作為經驗定律，熱力學第一定律在客觀上具有嚴格的正確性是可能的，但從
認識上論上和邏輯上講，科學的方法論是不允許否定測量誤差的．所以，對於經
驗定律，我們只能說它在測量精度允許的範圍內是正確的，並能說，隨着實驗精
度的不斷提高，它的可信程度也越來越高．但是，只要沒有脫離經驗歸納法，我
們就永遠不能把話講絕．
如今，我不是把熱力學第一定律放在熱力學本身的框架內來認識該定律，而
是把熱力學看作是物理學整體的一個有機的組成部分．我所考慮的，並不是設法
讓該定律建立在精度更高的實驗基礎之上，而是探討是否能從已知的一般原理中
導出該定律．我在完成了改造力學邏輯體系的工作之後，就已經認為：放在物理
學整體框架里來看，熱力學第一定律不是基本定律，而是慣性原理的推論．
在我改造過的力學邏輯體系中，慣性原理是藉助於時間定理用邏輯方法確定
的，不存在測量誤差．該原理中所涉及的孤立物體可以具有任意的複雜性，惟獨
不允許是幾何點．因而它的質量或能量可以包括一切可能形態．還應當注意，改
造過的力學已能包括相對論力學，因而分析問題時可以使用相對論的知識．
力學中的一個具有啟發性意義的例子是由動能方面的柯尼西定理提供的．該
定理說：質點組的動能等於質心動能與整個系統在質心參考系中表現出的動能之
和(見《述評》p.88)．
如果把柯尼西定理應用於處於平衡態下的氣體系統，那麼整個系統在質心參
考系中表現出的動能就正是分子熱運動的平動能量之和．如果氣體系統還未處於
平衡態，那麼就可以把大系統分為很多個足夠小的子系統，子系統可以無限地接
近於平衡態．每個子系統都有自己的質心參考系，因而可首先把柯尼西定理應用
於子系統，這樣就可以知道：整個大系統在質心參考系中表現出的動能，應等於
兩部分能量之和：其一是全部子系統內的熱運動的平動能量，其二是全部子系統
的質心在大系統的質心參考系中的平動能量．子系統的質心在大系統的質心參考
系中的平動是表現為漂移運動，因而這部分能量不屬於熱運動能的範疇，而應當
算是機械運動能量．如果分子之間有相互作用，那就無非是把勢能加進來．如果
要考慮分子本身的結構，那就利用相對論中的質能關係式把分子的靜止能量引進
來．分子的這種所謂靜止能量，實際上是指分子在自己的質心參考系中的各種能
量的總和，可以細分為分子的振動能、原子的靜止能量．原子的靜止能量也是由
多種類型的能量構成的．如果認為引力場和電磁場是萬物的基本成分，那麼就能
意識到各種不同類型的能量都是兩種場在各種不同層次上的相互作用的不同表現
形式．因此，可以認為：慣性原理已經包含了熱力學第一定律的全部內容．慣性
原理的絕對嚴格性，保證了熱力學第一定律具有絕對的嚴格性．
基於上述認識，如果把熱力學從物理學整體中分離出來自成體系，那麼就應
當認為熱力學第一定律是絕對沒有誤差的基本定律．
Ⅱ．熱力學第二定律的導出
熱力學第二定律在形式上是表現為自發過程的單向性，在本質上是反映因果
律在個體行為中的先後次序的絕對性和在群體行為中的先後次序的相對性．愛因
斯坦利用因果律證明了光速是機械運動速度的極限．接着就發現，自然界裡除了
存在着有因果聯繫的事件以外，還存在着用光速信號也無法取得聯繫的事件．對
於無因果聯繫的事件來說，因果律不能適用，這些事物之間的關係應當是隨機性
的，這是因為時間的先後次序已失去了絕對性．在廣義相對論中，實際上涉及無
限多種參考系，不能繼續使用機械觀．我對熱力學第二定律的認識，就是以上述
認識為基礎，所作的思考是這樣：
１．孤立的單體系統只能是用慣性定律描述，不屬於熱學的研究對象．
２．孤立的雙體系統在經典力學中有完全確定的解析解．只要系統的能量足
夠低，一般是有完全固定的閉合的軌道．但經典時空觀是錯的，如果改用廣義相
對論來分析，那麼就會發現：正像行星軌道的近日點必定會發生進動那樣，粒子
的軌道不可能是閉合的，但應當是在不動的平面上．我們可在該平面上以系統的
質心為中心、以粒子所能達到的最遠距離為半徑，畫一個圓，並把該圓劃分為任
意多個面積相等的格子(實際上還應當把動量空間也分為很多格子)，以這些格子
代表粒子的狀態．那麼就會發現：只要允許觀測時間無限延長，那麼粒子就總能
經歷所有的狀態．
人們也許會說：“這正是玻爾茲曼的各態經歷假說，早已被否定．”
我說：“否定過的東西不是不可以翻案．當年的判決是以玻爾的非決定論為
法典，在我看來，這部法典本身就是錯的．也許將來人們會得同意，替各態經歷
假說翻案，乃是物理學進程中的一件大事，它關繫到量子力學該落腳於何處的問
題．”
這裡要提請人們注意，我在這裡不是以各態經歷假說為前提，也不是以某種
哲學信條為出發點，而是僅以廣義相對論揭示的近日點的進動為根據，單純地用
邏輯方法導出“各態經歷”．不論格子小到怎樣程度，只要時間足夠長，就總能
使所有的格子都能被粒子占領．如果時間無限延長，那麼，從極限意義上講，就
應當允許格子無限地趨於幾何點．也就是說，粒子不只是可以進入任意有限大小
的格子，而是原則上允許出現在連續分布的任意點上．這就是廣義相對論應用於
雙體系統時所應得到的“各態經歷”結論，是屬於邏輯必然性，絲毫未涉及哲學
信仰問題，因而我把它稱為“各態經歷原理”．
我們原則上可以記下粒子在各格子裡停留的時間，然後除以總時間，就得到
分布函數．該分布函數的形式與所用總時間的長短有關，一般不是連續函數．但
是，如果讓總時間趨於無限大，那麼就應當得到確定的連續函數．
在引力效應可以忽略的場合，不需要採用廣義相對論．但是，只要採用狹義
相對論，雙體系統的軌道就仍不能閉合，因而仍能得到“各態經歷原理”．
３．孤立的三體系統即使是在經典力學中也不可能有解析解．這時即使不採
用相對論的觀點，也可以斷定各粒子的軌道一般不是在同一平面上．因而應當采
用三維空間內的格子，然後仿照處理兩體系統的辦法來處理．能得到三維的分布
函數．多體系統當然更複雜，但照例能夠處理．
４．如果三體系統、多體系統是由幾何點式的粒子組成的，那麼就在原則上
允許所有的粒子都在同一個平面上．但是，如果粒子是波包，那麼碰撞事件就是
不可避免的．波包本身具有自相乾性，但各波包之間不存在互相乾性，因而各粒
子的軌道都不可能保持在任何固定的平面上．”
５．現在考慮Ａ、Ｂ兩個系統，它們有相同的邊界條件，粒子種類、數量以
及總能量都相同，但初始條件不同．我們能夠作出這樣的判斷：
①這兩個系統在任何時候都不會有相同的狀態；
②根據各態經歷原理，如果Ａ系統能在t'時刻處於Ｘ態，那麼Ｂ系統就遲早
會在某個t"時刻到達Ｘ態；
③根據因果律，Ａ系統能在t'時刻以後經歷的態與Ｂ系統在t"時刻經歷的態
應當是相同的．
６．如果用照相機攝下系統的狀態，然後對這些照片進行統計，那麼就能找
出各段時間裡出現次數最多的那一種狀態．這種“出現次數最多的狀態”不是惟
一的，但是，時間間隔越長，差別就越小，趨於數學上的完全確定的極限．這是
因為：時間越長，初始條件所起作用就越小；如果時間無限延長，那麼上例中的
t'時刻以前及t"時刻以前的狀態就可以忽略了，意味着Ａ、Ｂ兩系統有相同的終
態．把系統終態的惟一性同因果性事件的次序不可逆性結合起來，就能得到“孤
立系統的狀態單向地向終態變化”的結論．這個結論實際上就是統計力學中的最
大概率原理，在宏觀上表現為熱力學第二定律．
７．由於系統內的大部分事件之間不存在因果關係，所以單向性不能排除統
計漲落．也就是說，概率較大的態不能保證比概率較小的態出現得晚些．觀察到
的概率曲線應當是用“視覺暫留時間”和“曝光時間”內的平均概率密度來描繪
的．系統接近於終態時，曲線可以具有單調上升的特點；系統離終態較遠時，曲
線應當顯示出波浪式上升的特點；即使是在接近於終態時，如果允許曝光時間足
夠短，那就也應當是顯示出波浪式上升的特點．
８．對長時間積累的大量照片進行統計時，每張照片都是只使用一次．根據
加法交換律，按照片的先後次序進行統計與打亂後進行統計，所得到的結果總是
相同的．也就是說，儘管物理現實的因果次序是不可逆的，但在事後用數學方法
進行統計的時候，概率論本身所允許的加法交換律是超時的．因此，對統計結果
作出決定論的解釋，或是作出非決定論的解釋，都是能講得通的．
因果律是講物理現實的惟一性和必然性，加法交換律是指數學方案的多樣性
和可能性．惟一性是屬於多樣性中的一種，必然性是屬於可能性中的一種．不能
認為在其它的可能性未被排除之前就認定自己已經拿到手的那種可能性是不容懷
疑的必然性．在這裡，我們面前的物理命題和數學命題是不可逆的．我在量子力
學和宇宙學方面正是用這種觀點審查玻恩對波函數所作的解釋和迪克等人對宇宙
背景輻射所作的解釋．
這種邏輯思維原則不是我的發明創造，前人早已有之，在愛因斯坦那裡最為
突出．愛因斯坦在用廣義相對論揭示出宇宙的三種可能的模型之後，不是隨手從
中抓出一個來認定為必然性，而是利用引力佯謬排除了其中的兩種可能性之後才
讓有限無界宇宙模型由可能性轉移到必然性的位置上．這在科學方法論方面是完
全正確的．問題是出在引力佯謬上．我在論證宇宙的無限性時仍然是採用愛因斯
坦的方法，只是以經受過檢驗的物質不滅原理取代了虛構的引力佯謬的位置．
９．如果承認因果律，那麼就能推斷：一旦按照片的先後次序排列，就可發
現每個粒子的軌道都是連續的．
１０．同一張照片所紀錄的發生在同一平面上的事件，被認為是“同時”發
生的，但這種同時性是相對特定參考系而言的，它們之間實際上不能建立因果聯
系，因而不受因果律支配．但是，把前一時刻的隨機性局面同每個粒子自身經歷
的各事件之間的因果關係聯繫起來思考，就能斷定後一時刻的局面仍必定保留着
隨機性，這是因果律在隨機性群體行為方面的體現，在本質上是反映各個粒子自
身受因果律支配．
上面的分析表明：熱力學第一定律和第二定律都可用邏輯方法導出，整個熱
學理論可以看作是相對論力學的邏輯延伸．熱力學第一定律是嚴格正確的．第二
定律所描述的單向性如果是指因果次序的不可逆性，那麼該定律就也是嚴格正確
的；如果單向性是指概率或熵的單向變化，那麼第二定律就只能是限於描述近平
衡態的自發傾向．
