善於創新的數學家——高斯

高斯（Karl Friedrich Gauss，1777～1855），德國數學家、物理學家和天文學家。出身於德國布倫茲威克一個貧苦的工匠家庭。7歲上學，14歲時得到當地費迪南德公爵的慷慨資助進入卡洛琳學院學習，18歲時進入格丁根大學學習，後轉入海爾姆斯台特大學學習。22歲時獲博士學位。1820年轉向研究大地測量。1831年後又進行物理學研究。1802年被俄國彼得堡科學院選為通訊院士、喀山大學教授。1807年被聘為格丁根大學天文學教授和天文台台長。1817年丹麥政府任命他為科學顧問，同年德國漢諾威政府也聘請他擔任政府科學顧問。

“在數學世界裡，高斯處處留芳。”在算術、數論和代數領域，他證明了代數基本定理，並於1801年出版了《算術研究》。在微分幾何領域，1827年他發表了《關於曲面的一般研究》。在複變函數、勢理論和概率統計學領域，他也作出了許多貢獻。他在橢圓函數和非歐幾何方面做了許多開創性的工作。在天文學方面，1801年他創造了一種計算軌道分量的方法並用它準確地確定了小行星穀神星的軌道。1809年他出版了《天體運動理論》一書。在物理學方面，他與韋伯合作對理論磁學與實驗磁學作出了貢獻。高斯一生共發表了178篇科學論文。

高斯從小天資聰敏，具有非凡的計算才能。他3歲時就能糾正父親計算工錢時的錯誤，10歲時就能獨立地用等差級數求和的方法計算出 81297+81495+81693+……+100899之和。老師剛剛將題目在黑板上寫完，高斯已將答案算出。在老師的關懷下，他經常鑽研數學，通曉許多初等數學的著作。

高斯鑽研書本，但不拘泥於書本。11歲時他就發現了書本中關於“二項式定理”的證明不夠嚴謹。在卡洛琳學院和大學學習期間，高斯攻讀了牛頓、拉格朗日、歐拉等數學家的著作。他學習大師，但不迷信大師。他敢於懷疑任何約定俗成的東西，在研究數學問題時善於提出一些新概念、新方法和新理論。

高斯的學術生涯歷經18世紀末至19世紀上半葉。從數學史上來看，他是從18世紀到19世紀的過渡人物。他的數學研究的選題大多數是古典的，但他的研究方法在本質上卻是現代的。他既可以被看作是最後一位卓越的經典數學家，又可以被看作是第一位現代數學家。在數學領域的許多方面他都處於一種繼往開來的地位。

善於提出新概念和新方法

高斯在研究複數和複變函數時，引進了複數幾何表示的新方法。複數的幾何表示雖然最初出於挪威測量學家威塞爾和瑞士會計阿蓋德之手，但高斯的方法更通俗。他用複平面上的一個點來表示一個複數，即用形如坐標（a，b）的數偶來代替或表示 a+bi。在此基礎上，他用數偶的運算來表示複數的加、減、乘、除等運算。這種新的方法在當時對賦予複數及其運算以真正可接受的數學意義具有重要價值。因為當時人們對於分數、負數乃至實數都能直觀地理解和接受，但對於複數卻普遍地感到接受不了。對許多人來說，複數不過是一種符號遊戲。當複數的幾何表示法引進之後，人們便清楚地看到“複數的直觀意義已經完全建立起來，並且不需要再增加什麼就可以在算術領域中採用這些量”。這樣，高斯就使複數成為一個人們完全能夠接受的真正的數學概念。“複數”這個術語也是高斯引進的，用以與“虛數”作一定的區別，並用 i 代替了sqrt{-1}(高斯在1799年用複數的幾何表示方法證明了“代數學基本定理”即“每一個多項式方程至少有一個複數根”）。這個定理的證明一直是代數學上數學家們追逐的重要目標。達朗貝爾和歐拉在這個問題上都作過不懈努力，但其證明實際上是不完全的。高斯的方法不是去計算一個根，而是去證明它的存在。他指出 p（x+iy）=0的復根 a+bi相應於複平面上的點（a，b），如果 p（x+iy）=u（x，y）+iv（x，y），那末（a，b）必定是曲線u=0和v=0的交點。通過對這些曲線作定性的研究，他證明了一條曲線上的一段連續弧連結着兩個不同區域上的點，而這兩個區域是由另一條曲線隔開的。所以曲線u=0與曲線v=0相交。這個論證具有高度的創造性。而且他開創了數學研究中非構造存在性證明方法的先河。在複數的基礎上，高斯進一步研究了複變函數。1811年他提出了考察積分限為複數的必要性問題。在這方面他還發現了複變函數積分的一條重要定理，即復解析函數沿閉曲線（其中不包含奇點）的積分為零。後來這條命題為柯西所證明，被稱為柯西定理。

高斯在數論研究中使用新概念和新方法更為明顯。從歷史上來看，直到高斯之前，數論還只是一系列孤立結果的堆積。高斯在1801年出版的《算術研究》開創了數論研究的新紀元。在這部書中，他將符號標準化，把現存的定理系統化和一般化，把要研究的問題和方法也進行了分類，並引進了一些新的概念和方法，如“同餘”的概念和方法、“代數數”的概念以及“型”的思想。《算術研究》不僅是現代數論的開始，而且還確定了這一分支的研究方向。直到目前為止，許多數學家還繼續在這些方向上進行研究，例如現代數論中的同餘理論。“同餘”的概念最早出現在歐拉等人的著作中，但在數論中引進同餘的符號、系統應用這個概念的人卻是高斯。一般來說，當a、b、m是整數時，如果a和b被m除時具有相同的餘數，那末就稱 b與a對模m同餘。例如16和23除以7，餘數都為2，因此它們對模7同餘。高斯在《算術研究》中用同餘式的術語給出了對費爾馬小定理的一個證明。他還用同餘作為工具去證明了“二次互反律”。他曾把它譽為算術中的寶石。他首先定義一個“二次餘數”：設m為一正整數，a為與m無公因子的一個整數，若a與一個完全平方數對模m同餘，則a是m的二次餘數。然後高斯證明了如果p與q為不同的奇素數，則p是q的二次餘數的充分必要條件為：q是p的二次餘數。這一定理曾對近世代數若干深奧概念的理解有所啟發，對整個數論和數學的其他分支都有重大影響，因此高斯一生中曾用8種不同的方法來證明它。後來數學家又給出了50種以上的其他證明。

1796年高斯找到了用圓規和直尺作正17邊形的方法，並對此作了證明。該方法也具有創新意義。這個問題本身難度很高。早在古希臘人那裡，歐幾里得雖然指出了用圓規直尺可以畫出正3邊形、正4邊形、正5邊形和正15邊形，以及反覆二等分這些邊所求得的正多邊形。但是他們對於正7、9、11、13、14、17邊形的作圖問題卻束手無策。正17邊形能否作圖的問題2000年來早已成為著名的數學難題。高斯成功地找到了只用圓規和直尺將其畫出的方法，並用代數方法構思了它的證明。他指出，作一個正17邊形相當於解方程x16+x15+…+x+1=0。因為17是素數，16是2的4次方，所以此方程可簡化為一串二次方程ax2+bx+c=0，其中a，b，c為已知數。因為人們早已證明用圓規和直尺作圖法可以求解二次方程，於是正17邊形可用圓規和直尺作出的問題便得以證明。高斯實際上是把一個幾何學領域中的問題移入到代數學領域中去解決，這種方法為以後的數學家所模仿。高斯後來進一步考察了形如xp-1=0的方程得出正多邊形作圖的更一般結果，其中p是素數。他指出，如果p-1沒有異於2的因子，則正p邊形可用圓規和直尺作出。因此，正3、5、17、257等多邊形是可以用圓規和直尺作圖的，而正7、9、11、14邊形是不能用圓規和直尺作圖的。

善於提出新思想和新理論

高斯善於提出新思想和新理論，這在他的微分幾何和非歐幾何的工作中表現得格外突出。
微分幾何的工作是由歐拉等數學家奠基的，它在高斯的工作中得到了突破性的進展。從1816年起，高斯參與了丹麥和德國漢諾威的大地測量工作，夏季到野外測繪，冬季對數據進行整理分析，歷時10年。他在大地測量、地圖繪製方面頗有建樹，並作出了幾項重大發明。他曾致力於利用實際大地測量數據來確定地球形狀，由此激起了他從理論角度進行探討的興趣。1823年他撰寫了論文“將給定凸面投影到另一面而使最小部分保持相似的一般方法”，獲丹麥哥本哈根科學院一等獎。此論文在數學史上首次對保形映射作了一般性的論述，建立了等距映射的雛形。1827年，高斯寫成《關於曲面的一般研究》，這是他十多年思考測地問題所得之精萃。在這本書中，高斯推廣了前人關於平面曲線曲率的概念，定義了一個曲面在曲面上一點處的曲率k。然後他證明了曲率k完全與曲面是否在三維空間中或曲面在三維空間中的形態無關。因此當曲面無伸縮地彎曲時，曲面的所有性質都保持不變。於是，高斯指出，一張曲面本身就是一個空間。這在幾何史上是一個全新的重要思想，它標誌着以曲面為研究對象的微分幾何的創立。

在數學史上，高斯第一個認識到歐幾里得幾何並非是描述自然界空間的唯一幾何，並非是人類思想所固有的幾何；同時也第一個認識到非歐幾何存在的可能性。1799年他在給博耶的信中說：“至於我，已在自己的工作中取得一些進展。然而，我選擇的道路決不能導致我們尋求的目標（平行公理的推導），而你讓我確信你已達到。這似乎反而迫使我懷疑幾何本身的真理性。誠然，我所得到的許多東西，在大多數人看來都可以認為是一種證明；而在我眼中它卻什麼也沒有證明。例如，如果我們能夠證明可以存在一個直角三角形，它的面積大於任何給定面積的話，那麼我就立即能絕對嚴密地證明全部（歐幾里得）幾何。”“大多數人肯定會把這個當作公理；但是我不！實際上，三角形的3個頂點無論取多遠，它的面積可能永遠小於一定的極限。”從1813年起高斯發展了他的新幾何學思想，最初他稱之為“反歐幾里得幾何”，後稱之為“星空幾何”，最後稱之為“非歐幾里得幾何”。他深信這種新幾何在邏輯上是相容的。1817年他在給奧爾伯斯的信中說：“我愈來愈深信我們不能證明我們的幾何具有必然性，至少不能用人類理智，也不能給予人類理智以這種證明。”1824年高斯在給陶里努斯的信中說：“由三角形的內角和小於180°的假設可導出一種奇異的幾何，它跟歐幾里得幾何大相徑庭，但其本身卻是相容的。”高斯接着說此類幾何由某一常數所確定，“這常數越大，這幾何就越接近歐氏幾何，當它變成無窮大時，兩種幾何就一致了。”

高斯雖然沒有對非歐幾何的理論體系作過完整的推導，但他為了檢驗他的非歐幾何，曾實地測量了由白勞肯等3座山峰構成的三角形內角之和。但由於實驗誤差太大而沒有達到預期的效果。但這件事情本身說明了高斯確信這種非歐幾何是可以用事實來檢驗的。