知覺的簡單和數學的簡單

每天早晨，太陽從東邊升起，每天晩上，太陽從西邊落下，太陽每天圍繞地球轉一圈，這是顯然的。但這不是我們從課本上學到的，我們學到的是，地球每天自轉一圈，同時圍繞太陽公轉。為什麼我們的知覺和正規的教育這麼不同？

如果採納太陽和其它天體圍繞地球運轉的理論，行星軌道的計算非常複雜，而採用太陽中心說，行星軌道的計算變得非常簡單，也就是說，正規的理論採用日心說，是由於其數學的簡單性。但並不是所有的理論，都以數學的簡單性為標準。

自從熵理論從一百多年前提出以來，很多科學理論的突破都藉助了熵的概念。比如說普郎克量子公式的推導[1, 2]和愛因斯坦光量子理論的推導[3]，都藉助於熵函數。為什麼用了熵函數問題會簡化呢？用吉布斯的話[4]
The method in which the co-ordinates represent volume and pressure has a certain advantage in the simple and elementary character of the notions upon which it is based … On the other hand, a method involving the notion of entropy, the very existence of which depends upon the second law of thermodynamics, will doubtless seem to many far-fetched, and may repel beginners as obscure and difficult of comprehension. This inconvenience is perhaps more than counterbalanced by the advantages of a method which makes the second law of thermodynamics so prominent, and gives it so clear and elementary an expression. 

因為熱力學第二定律，也稱為熵定律，是自然界最普遍的定律，用熵作自變量往往使問題的數學表達變得非常簡單。

但當一個理論建立起來以後，這些早期探索者的方法並沒有被後來的教科書採用。講授量子論或光量子論，不會提到熵，講授熱力學，教科書上用的自變量仍然是體積和壓強，而非吉布斯所用的熵和溫度。為什麼呢？一提到體積和壓強，大多數人都明白我們討論的是什麼，但一提到熵，大概沒有一個人對這個詞有清晰的直覺。 我們先討論熵的重要性，然後再試圖理解為什麼人們對熵這個量沒有像體積，壓強和溫度這樣的直覺。水從高處流下，可以帶動水輪發電；風是空氣的定向運動，可以帶動風輪運轉；太陽的表面大約六千度，太陽發出高頻的可見光，地球發出低頻的紅外光，這頻率的差異推動着地球上的活動。從最一般的角度，一個系統從小概率狀態向大概率狀態演化，而這個概率的測度就是熵，用物理學的語言，系統由低熵狀態向高熵狀態演化，這就是熵定律，自然界最普遍的定律，人們經常從平衡態的角度看熵定律，給人一種荒涼和死亡的感覺。但是，如果從非平衡態的角度，熵的流動，經常以水流，電流，光流的形式表達出來，是生命的源泉，因為所有的生命都需要利用熵流來生存。熵是我們最需要的信息，實際上，熵就是信息本身，這就是為什麼信息的數學表達式是熵函數。既然熵對人和所有生命這麼重要，人體為什麼不能直接探測熵這個物理量， 就像人們能夠探測體積，壓強和溫度一樣？這可能是由於熵主要是表達數量巨大的微小粒子之間的關係，很難想象知覺系統能夠探知熵的大小。但數學方法不受知覺系統的直接限制，由於熵增加是自然界最普遍的現象，以熵函數為自變量的數學方法往往最為簡單， 為早期研究者探索問題的答案提供了捷徑。而後來的教學方法，側重於教學的簡單，更多的採用人們知覺所熟悉的變量。

既然如此，為什麼日心說，一個和知覺相牴觸的理論，成為在大眾中傳播的理論呢？這是因為整個社會認為日心說太重要了，因為日心說最終導致了經典力學的建立，導致了科學革命。但是從了解自然和社會這個角度，熵理論應該和日心說一樣重要，如果不是更重要的話。越來越多的人認識到熱力學現象對整個世界和思維的根本性影響，2003年，兩組不同的心理學家寫過兩篇文章，它們的標題分別是 The First Law of Psychology is the Second Law of Thermodynamics [5] 和 the second law of thermodynamics is the first law of psychology [6].

這表明，他們強烈地意識到熱力學對了解思維的重要性。在我的工作中，提供了很多熱力學和統計力學對了解思維的具體應用 [7,8]. 但是我們大家對熱力學和統計力學很少了解，這阻礙了熱力學和統計力學理論的研究和推廣。

也許有人認為熵理論太難，但熵理論的信息論表述僅需要用到對數函數[9], 任何中學都可以教。也許有人認為熵理論的應用過於高深，中學生很難懂，但很多熵理論的應用只需用到對數函數，能夠應用到日常生活中人們熟悉的問題[7,8]，熵理論的應用往往比傳統理論簡單得多。這些熵理論的應用， 無需作為單獨的經濟學，金融學或心理學理論來講授， 這些理論非常簡單， 可以直接作為數學課中對數函數的應用， 或者信息理論的應用，或者熱力學和統計力學理論的應用。

總而言之， 有很多方法， 可以讓社會更多地了解熵理論。如果我們願意付出努力， 讓人們從中學開始， 就了解熱力學和熵的種種奇妙應用， 我們就可以給社會帶來第二次科學革命。因為熱力學和的作用滲透到生活的每一個領域， 這個新的科學革命也將影響生活的每一個領域。 

參考文獻

1. Planck, M. (1900).On an Improvement of Wien’s Equation for the Spectrum. Verh. Deut. Phys. Ges, 2, 202-204.

2. Planck, M. (1901).On the law of distribution of energy in the normal spectrum. Annalen der Physik, 4(553), 1.

3. Einstein, A. 1905 (1989), On a Heuristic Point of View Concerning the Production and Transformation of Light. In The collected papers of Albert Einstein (Vol. 2). Princeton University Press.

4. Gibbs, J. 1873 (1906), Graphical methods in the thermodynamics of fluids, Collected in Scientific papers of J. Willard Gibbs, Ox Bow Press

5. La Cerra, P. (2003). The First Law of Psychology is the Second Law of Thermodynamics: The Energetic Evolutionary Model of the Mind and the Generation of Human Psychological Phenomena, Human Nature Review, 3, 440-447

6. Tooby, J. Cosmides, L. and Barrett, C. (2003).the second law of thermodynamics is the first law of psychology” Evolutionary development and the theory of tandem, coordinated inheritances. Psychological Bulletin, Vol. 129, No. 6, 858-865.

7. Chen, J. (2005). The physical foundation of economics: An analytical thermodynamic theory, World Scientific, Hackensack, NJ

8.  Chen,J. (2015) TheUnity of Science and Economics: A New Foundation of Economic Theory, Springer

9. Jaynes, E. (1957). InformationTheory and Statistical Mechanics. PhysicalReview, 106: 620-630