伽羅瓦的數學著作，至少是那些保存下來的，共有六十小頁。從來還沒有象
篇幅這樣小的著作曾經給作者帶來如此之高的聲譽。為了解伽羅瓦所做的事，需
要一番特殊的努力。伽羅瓦對煩瑣累贅的計算方法感到不可抑制的厭惡，因此，
他的表述極其簡單扼要。但是他所寫的一切，都因為具有數學家不倦鑽研的思想
而放出異彩；他的每一部著作，仿佛都是一次新的大膽的躍進；先前已達到的又
落在後面，不再使作者發生興趣了。伽羅瓦的洞察力是驚人的。他對待讀者的態
度有時似乎很傲慢（他並不怎麼關心讀者的興趣），但實際上這不過是思想十分
獨特、具有堅定的目的性的例證而已。
儘管伽羅瓦大力研究高次方程理論，但他並不單純是一位傑出的代數學家。
他對他所得出的具體結果，從來不給予很高的評價。首先使伽歲瓦感到興趣的，
並不是個別的數學習題，而是決定一連串想法的亦即指導思維運動的論證方法或
“方式”。他的論證方法的基礎是一個能夠概括當時已經達到的成就並決定科學
長期向前發展的深刻理論。伽羅瓦去世幾十年後。德國數學家大衛·希爾柏特把
這種理論稱為“一個明確的概念結構之建立”（l'etablissement d'une certaine
charpente de concepts ）。但不管給它安上什麼名稱，顯然它是包括很廣泛的
知識領域的。
很多從前彼此孤立地加以研究的各種理論，事實上只不過是還需要做精密計
算和實際應用的個別情況而已。所以，數學家就不必去進行計算：正如伽羅瓦所
說的，他們只要“預見到”如何計算就行了。一百二十五年前在聖佩拉吉監獄寫
成的研究報告中，就對這一點處處作了明白的說明。任何一個認真的人，即使他
與數學毫無關係，也不能不感覺到貫穿在字裡行間的熱烈的信念的：
“……總之，我以為，依靠改進計算而獲得的簡化（這裡當然是指原則上的
簡化，而不是指技術上的簡化）絕對不是無窮無盡的。終有一天，數學家必將能
夠如此清楚地對代數變換作出預見，以致不必再花時間和紙張來認真進行計算。
我並非斷言，除了這種預見外，分析不能有其他的新成就，但我認為，如果沒有
這種輔助工具，有朝一日，全部分析方法都將成為徒勞無益的東西。
使計算聽命於自己的意志，把數學運算歸類，學會按照難易程度，而不是按
照它們的外部特徵加以分類——這就是我所理解的未來數學家的任務，這就是我
所要走的道路。
但願任何人都不要把我流露出來的急躁情緒跟某些數學家向來對無論哪一種
計算都要根本迴避的意圖混為一談。他們不用代數公式，而使用冗長的議論，在
重迭的數學變換之上，又加上對這些變換的重達的文字概述，所使用的又是不適
於解答這些算題的語言。這些數學家落後了一百年。
在這裡沒有這類的情況。我在這裡進行分析之分析。與此同時，現在已知的
最複雜的變換（橢圓函數），只不過被看作十分有益的甚至是必不可少的、但究
竟是個別的情況，因此拒絕作進—步的、更廣泛的探討，將是一種不可挽救的錯
誤。總有一天，在這個粗具輪廓的高等分析中所提到的變換，將真正地得到實現，
並且。是按照難易的程度，而不是按照這裡出現的函數形式來加分類”
長期以來，沒有人知道伽羅瓦在1832年擬定的計劃是否真有其事。這一計劃
在他逝世七十年後才發表出來，可是在當時它仍然不引起人們多大的興趣，不久
也就被人忘記了。只有我們這一代年輕的數學家們，由於繼承了好幾代科學家的
工作，最終，才實現了伽羅瓦的理想。然而，正是他的著作，標誌着數學前史的
結束和數學史的開始。
雖然伽羅瓦的科學活動驚人地短促，現在仍然可以觀察到他是怎樣逐步地得
出如此深刻的結論的。在前面剛剛援引的語錄里，讀者應該注意到“把數學運算
歸類”這一句話。毋庸置疑，這是指目前稱之為群論，即從十九世紀末葉開始，
對數學分析、幾何學、力學而最終是物理學的發展有着巨大影響的群論而言。創
立這個理論的榮譽屬於埃瓦里斯特·伽羅瓦，他是第一個估計到這個理論對科學
前途的意義的。這就是他為什麼很想略為說明，即便是非常扼要地、但仍然十分
明確地說明他所進行的工作的實質。
伽羅瓦所研究的問題之一，長期以來吸引着數學家們的注意。這就是解代數
方程的問題。我們每個人在學校學習時，都要解一次和二次方程。解方程，意即
求出它的根值。但在三次方程中，這點決不容易辦到。伽羅瓦研究的是任意次方
程，即方程的最一般情況。
順便一提，從實踐觀點看來，無論形式多麼複雜的任何具體方程的解並沒有
任何意義。早在十六世紀，數學家就已經發現，使用能確定方程根的近似值的方
法較為便當。這些近似值充分滿足了物理學家、化學家和工程師的需要。目前采
用計算機來計算，可以毫不費力地得出任意精確的結果。僅對於使用字母作係數
的—般方程講來，近似法是求不出它的根值的。我們每個人都可以拿起一張紙，
記下這樣的一般方程，並用特定字母表示它的根。這些根當然是未知數。伽羅瓦
的第一個發明就在於他把這些根值的不定式的次數減低下來，也就是確定這些根
的某些特徵。伽羅瓦的第二個發明就是他所使用的求得這個結果的“方法”。伽
羅瓦不研究方程本身，而研究它的“群‘，或者比方說，研究它的”家族“。
群的概念是在伽羅瓦著作提出之前不久才出現的。但是在他的那個時代，它
卻象是一個沒有靈魂的軀體，是偶爾出現在數學上的、人為臆斷的大量概念之一。
伽羅瓦的革命性，不僅在於他使這個理論具有生命，他的獨創性又賦予這個理論
以必要的完整性；伽羅瓦還指出，這一理論富有成效，他並且把它運用到解代數
方程的具體習題上。正因為如此，埃瓦里斯待·伽羅瓦是群論的真正創始人。
群是具有某種共同特性的對象的總和，譬如可用實數作為這些對象。實數群
的共同特性在於，如果令群中的任何兩個元相乘，則其積仍為實數。幾何學所研
究的平面位移可以代替實數作為“對象”：在這種情況下，群的性質表現為任何
兩個位移之和就是一個新的位移。從簡單實例轉到複雜實例時，我們可以選擇關
於某些對象的運算自身作為“對象”。在這種情況下，群的主要特徵便表現為，
任意兩種運算的結合也是一種運算。伽羅瓦的研究正是這樣。在分析求解的方程
時，他把某種運算群與這個方程聯繫起來（遺憾的是，我們在這裡無法更明確地
說明這點是怎樣做到的），並證明方程的特性反映在該群的特點上‘既然不同的
方程可以“有”（avoir）同一個群，那麼，無須研究所有這些方程，只須研究與
之相適應的群就可以了。這一發現標誌着數學發展的現階段肋開始。
不論群是出什麼“對象”——數、位移或運算——組成，它們全部可以看成
不具有任何特徵的抽象的對象。要測定群，只須說明為了位某“對象”的總和可
以稱為群而應加遵循的共同規則就可以了。目前數學家們把這些規則稱為群的公
理，群論是依據這些公理運用邏輯的結果。新的特性連續不斷地發現出來；在證
實這些特性時，數學家也使這一理論越來越得到發展。極其重要的是，不論是對
象本身，還是對它們的運算，都不是具體的。要想研究任何特殊問題，那就必須
分析組成群的某些專門數學的、或是物理的對象，然後，根據一般理論就可預見
到它們的特性。由此可知，群論顯然是經濟地處理問題的“方法”；此外，群論
又為研究工作提供了新的數學工具。
“我懇求我的評判人至少讀完這幾頁”——伽羅瓦在他的著名的研究報告中
的開端這樣寫着。如果他的評判人足夠正直無私，那我們就會原諒他們缺乏敏銳
的眼光，因為伽羅瓦的思想如此深邃，如此廣闊，以致當時無論哪一位學者確實
很難估量他的思想的價值。
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很多思想家執拗地試圖確定，天才究竟是什麼。這種嘗試，其結果都將徒勞
無益，因為這種天分一向被看作與產生它的環境沒有關係的一種空想的現象。實
際上，Pascal的天才，比方說，並不在於他十二歲的時候就能重演歐幾里德幾何
學中的頭三十二道命題，甚至也不在於他結識Desargues 之後就寫了一部論圓錐
曲線的著作。Pascal的天才在於他發現了各門不同學科之間新的、過去不為人們
所知的聯繫：“但願人家不要說，我不曾作出什麼新發現。新發現在於擁有材料。
兩個人在玩棒球時，雙方使用的是同一隻球。但其中一人找到了對他更好的位置。”
（Pascal：《思維》的序言）這位研究者首先發現的不是一些新對象，而是它們
之間的聯繫。
一旦沒有必要，天才就會消聲匿跡。這種想法是很容易證實的，只要在人們
企圖表明政治家同一般從事政治的人有什麼區別時，把通常談到的那些關於政治
家的話推廣到科學家身上就行了。政治家頭一個發覺世界各種力量對比中所發生
的變化；他頭一個意識到行動的必要性，並且據此來選擇行動的方式。科學界的
情況也是如此。當有必要發生某種根本性的變化時，科學家的天才就流露出來了。
人類知識的發展過程是不平衡的。有時候某—部門的進展暫時中斷。科學在停滯
中，昏昏欲睡。科學家們從事瑣碎的事情，把貧乏的思想隱藏在華麗的計算後而。
十九世紀初期，代數變換已變得如此複雜，以致向前進展實際上已經成為不可能
的事情了。笛卡爾想出的並經他的擁護者加以改進的數學工具打消了原來建造這
種工具的目的。數學家們不再能夠“預見”了。甚至拉格朗日也無法把擱淺的解
代數方程的問題向前推進（伽羅瓦卻做到了這點）。拉格朗日的無能為力是當時
代數學衰落的鮮明例證。必須尋找新道路的時機來到了。決定這一時機的決不是
偶然性，而是必然性。天才的特徵就在於能覺察到這種必然性，並且立即對它產
生反應。
伽羅瓦寫道：“在數學中，正如在任何其他科學中一樣，有一些需要在這一
時代求得解決的問題。這是一些吸引先進思想家思想而不以他們個人的意志和意
識為轉移的迫切問題。”
科學史上留下一些學者的名字，這些學者由於特別愛好鑽研的精神而能及時
感覺到刻不容緩的緊要變化，並且向自己的同時代人指出了這一點。科學也高度
尊重那些善於實現必要變革的人。有時候（儘管這是罕見的現象），一個人可以
兼具這兩點。拉瓦錫就是這樣的人，埃瓦里斯特·伽羅瓦也是這樣的人。
在這裡提到拉瓦錫的名字並非偶然。十八世紀下半葉化學的發展暫時停頓下
來了。天才的化學家仍然是足夠多的，化學實驗的技術也達到了盡苦盡美的地步，
以致當時的許多成就一直沿涌到現在，但科學卻停留在原地不動。拉瓦錫首先注
意到術語不夠明確，而且干篇一律。當化學著作中充滿定律和概念上的混亂時，
根本不可能有什麼進展。以拉瓦錫的著作為起點，化學開始了新的繁榮時期。
在某種意義上，伽羅瓦在數學上的貢獻和拉瓦錫在化學上的貢獻一樣。群的
概念的建立，使數學家們擺脫了研究大量的、各式各樣的理論的繁重負擔。原來
人們只要指出這些理論是可能的就行了。由於這些理論就其本質而言都是十分類
似的，所以用同樣一句話就足以表白它們。徹羅瓦說：“我在這裡進行分析之分
析”。這種想法表明了他竭力想使這些新的、象辭彙表那樣地具有實用意義的基
元得到使用。群論首先是數學語言的整理。
Pascal的“新排列法”、拉瓦錫的“化學命名法”、伽羅瓦的“群”——所
有這些出色的發現，一再表明，確定新聯繫在科學上會起着多大的作用。其中每
一項發現都標誌着科學家所使用的語言的重要改進。
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凡是譴責伽羅瓦的政治活動，或者乾脆不考慮他的政治活動的人，都不能認
清他在科學上所作的貢獻的價值。其所以不能，是因為他們認為，理論似乎與實
踐無關，只有具體活動似乎才是正經事，而任何一般的推論只是無聊的遊戲。對
他們說來，進步是偶然的事，而發明則是奇蹟的結果。這班人認為，科學家的工
作是超時間和超空間的，他在某種抽象的世界中生活，進行創造。這種觀點很便
當，它使人無所用心。
自己以外，這是誰的過錯呢？為了緩和這種生硬的說法，人們曾經想出一種特殊
的解釋：說伽羅瓦過分年輕，說他過激了、但同時卻忘記了他的頭腦是驚人地清
醒的。
埃瓦里斯特·伽羅瓦早在聖佩拉吉監獄裡，就想到未來科學家們的團結：
“科學家生來並不比其他人更要過孤獨的生活的；他們也是屬於特定時代的人，
而且遲早要協同合作。到了那時候，將有多少時間騰出來用於科學！”
大概，沒有一位科學家有過象埃瓦里斯特·伽羅瓦那樣把科學理想與社會理
想結合起來的；大概，這種結合從來不曾引起來自政府方面如此瘋狂的迫害的。
