Riemann 猜想漫談 (四)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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五. Riemann 的論文 - 零點分布與素數分布

在 上節 中我們看到， 素數的分布與 Riemann ζ 函數之間存在着深刻的關聯。 這一關聯的核心就是 J(x) 的積分表達式。 由於 Riemann ζ 函數具有極為複雜的性質， 這一積分同樣也是極為複雜的。 為了對這一積分做進一步的研究， Riemann 引進了一個輔助函數 ξ(s)[注一]：

ξ(s) = Γ(s/2 + 1) (s - 1) π-s/2 ζ(s)

引進這樣的一個輔助函數有什麼好處呢？ 可以證明， 由上式定義的 ξ(s) 是一個整函數 (Entire Function)， 即在複平面上所有 s≠∞ 的點上都解析的函數。 這樣的函數在性質上要比 Riemann ζ 函數簡單得多， 處理起來也容易得多。 事實上， 在所有非平庸的複變函數中， 整函數是解析區域最為寬廣的 (解析區域比它更大 - 即包括 s=∞ - 的函數只有一種， 那就是常數函數)。 這是引進 ξ(s) 的好處之一。

利用這一輔助函數， 我們在 第二節 中提到的 Riemann ζ 函數滿足的代數關係式 ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s) 可以表述為一個關於 s 與 1-s 對稱的簡單形式：

ξ(s) = ξ(1-s)

這是引進 ξ(s) 的好處之二。

從 ξ(s) 的定義中不難看到， ξ(s) 的零點必定是 ζ(s) 的零點[注二]。 由於我們已經知道， ζ(s) 在 Re(s)>1 沒有零點 (證明見 Euler 乘積公式 一文)， 因此 ξ(s) 在 Re(s)>1 也沒有零點； 又由於 ξ(s)=ξ(1-s)， 因此 ξ(s) 在 Re(s)0 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)]
-lnΓ(s/2+1)
lnξ(0) lnξ(0) = -ln2
-(s/2)lnπ 0

在上述這些結果中， 對 Σρ ln(1-s/ρ) 的積分最為複雜， 其結果 -ΣIm(ρ)>0 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)] 是對級數逐項積分的結果。 這一結果是條件收斂的， 不僅要如 lnξ(s) 的級數表達式中一樣以將 ρ 與 1-ρ 配對的方式進行， 而且還必須依 Im(ρ) 從小到大的順序求和。 Riemann 在給出這一結果時承認逐項積分的有效性有賴於對 ξ 函數的 “更嚴格” 的討論， 但他說這是容易證明的。 這一 “容易證明” 的結果在 36 年後 (1895 年) 被 von Mangoldt 所證明。 另外值得指出的一點是， 在 Riemann 對這一級數的各單項進行積分的時候隱含了一個要求， 那就是對所有的零點 ρ， 00 [Li(xρ) + Li(x1-ρ)]。 在 J(x) 的表達式中， 所有其它的項都十分簡單， 也比較光滑， 因此素數分布的細緻規律 - 那些細緻的疏密漲落 - 主要就蘊涵在了這一與 Riemann ζ 函數的非平凡零點有關的級數中。如上所述， 這個級數是條件收斂的， 這就是說它的收斂有賴與參與求和的各項 - 即來自不同零點的貢獻 - 之間的相互抵消。 這些來自不同零點的貢獻就象一首盤旋起伏的舞曲， 引導着素數的細緻分布。 而這首舞曲的奔放程度 - 也就是這些貢獻相互抵消的方式和程度 - 決定了素數分布與素數定理所給出的漸近分布之間的接近程度。 所有這一切都定量地取決於 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布。 Riemann 給出的素數分布的精確結果之所以沒能立即使對素數定理的直接證明成為可能， 原因正是因為當時人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布還知道得太少 (事實上當時人們所知道的也正是我們在上面已經證明的 0≤Re(ρ)≤1)， 無法有效地估計來自零點的那些貢獻的大小， 從而也就無法有效地估計素數定理對素數實際分布 - 即 Riemann 的結果 - 的偏差。

那麼 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布對來自零點的那些貢獻究竟有什麼樣的影響呢？ 數學家們已經取得了一系列結果。 素數定理的證明本身就是其中一個， 我們將在後文中提及。 在素數定理的證明之後， 1901 年， 瑞典數學家 von Koch (1870-1924) 進一步證明了， 假如 Riemann 猜想成立， 那麼由素數定理給出的素數分布的絕對誤差為 O(x1/2lnx) (這是一個比素數定理更強的結果)。 另一方面， 英國數學家 John Littlewood (1885-1977) 曾經證明， 素數定理給出的素數分布的絕對誤差起碼有 Li(x1/2)lnlnlnx。 這兩者之間已經非常接近 (其主要項都是 x1/2)。 因此 Riemann 猜想的成立意味着素數的分布相對有序， 而假如 Riemann 猜想不成立， 假如 Riemann ζ 函數的部分非平凡零點偏離了 critical line， 那麼在素數的分布中就會出現紊亂， 素數定理對素數實際分布的偏差就會變大[注七]。 對 Riemann 猜想的研究使數學家們看到了貌似隨機的素數分布背後奇異的規律和秩序， 這種規律和秩序就體現在 Riemann ζ 函數的非平凡零點的分布之中， 它讓數學家們目馳神移。

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二零零四年一月二日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] Riemann 對 ξ 函數的定義與我們所用的略有差異， 他的 ξ 函數用我們的 ξ 函數可以表示為 ξ(s) = ξ(1/2+is)。

[注二] 這是由於 Γ 函數沒有零點， 而 s-1 的唯一零點 s=1 又不是 ξ(s) 的零點 (因為 ξ(1)=ξ(0)=-ζ(0)=1/2)。 因此 ξ(s) 的零點只能出現在 ζ(s) 的零點處。

[注三] Riemann 雖然沒有詳細討論上述無窮乘積表達式的證明， 但他在寫下與之等價的 lnξ(s) 的級數分解式之前提了一句： ξ(s) 是一個關於 (s-1/2)2 的收斂極快的級數。 這似乎暗示 ξ(s) 作為 (s-1/2)2 的級數的收斂方式與它的無窮乘積表達式之間存在着聯繫。 Hadamard 的證明確立了這種聯繫。 此外， Riemann 通過討論 ξ(s) 的零點分布對 lnξ(s) 的級數分解式的收斂性作了說明。 雖然所有這些都因過於粗略， 不足以構成證明， 但這一暗一明兩條思路後來都被證明是可以實現的。

[注四] 有意思的是， Hilbert 一度曾對 Riemann 猜想的解決抱有十分樂觀的看法。 他在 1919 年的一次演講中表示在他自己的有生之年可望見到 Riemann 猜想的解決； 在年輕聽眾的有生之年可望見到 Fermat 大定理的解決； 而另一個問題 - Hilbert 第七問題 - 才是最為困難的， 因為誰也沒有希望看到它的解決。 不料僅僅過了 10 年， Hilbert 就活着見到了他的第七問題的解決； 75 年之後， Fermat 大定理也被解決了； 而 Riemann 猜想卻是誰也沒能活着見到它的解決。

[注五] 確切地說是 Re(ρ)>0， 但由於 ρ 與 1-ρ 總是同為零點， 因此 Re(ρ)>0 也意味着 Re(ρ)<1。

[注六] 這裡要區分兩個不同的問題： 一個是證明對級數可以進行逐項積分， 另一個是計算級數各單項的積分。 這個漏洞是出現後者之中的。

[注七] 在不假定 Riemann 猜想成立的情況下， 目前所能證明的素數定理給出的素數分布的絕對誤差主項為 x， 遠大於 Riemann 猜想成立情況下的 x1/2。