這裡的 μ(n) 是我們在 第四節 中提到過的 Möbius 函數， 由它的求和所給出的函數 M(N) 被稱為 Mertens 函數。 這個命題看上去倒是面善得很： μ(n) 不過是一個整數函數， 定義雖有些瑣碎， 卻也並不複雜， M(N) 不過是對 μ(n) 的求和， 證明它按照 O(N1/2) 增長似乎不象是一件太困難的事情。 但事實上這個其貌不揚的命題卻是一個比 Riemann 猜想更強的結果！ 換句話說， 證明了上述命題就等於證明了 Riemann 猜想 (但反過來則不然， 否證了上述命題並不等於否證了 Riemann 猜想)。 因此 Stieltjes 的簡報等於是聲稱自己證明了 Riemann 猜想。 雖然當時 Riemann 猜想還遠不象今天這麼熱門， 消息傳得也遠不象今天這麼飛快， 但有人證明了 Riemann 猜想仍是一個非同小可的消息。 別的不說， 證明了 Riemann 猜想就等於證明了素數定理， 而後者自 Gauss 等人提出以來折磨數學家們已近一個世紀之久， 卻仍未能得到證明。 與在巴黎科學院發表簡報幾乎同時， Stieltjes 給當時法國數學界的一位重量級人物 Charles Hermite (1822-1901) 發去了一封信， 重複了這一聲明。 但是無論在簡報還是信件中 Stieltjes 都沒有給出證明， 他說自己的證明太複雜， 需要簡化。
換作是在今天， 一位年青數學家開出這樣一張空頭支票是很難引起數學界的反響的。 但是十九世紀的情況卻有所不同。 因為當時學術界常有科學家做出成果卻不公布 (或只公布一個結果) 的事， Gauss 和 Riemann 都是此道中人。 因此象 Stieltjes 那樣聲稱自己證明了 Riemann 猜想， 卻不給出具體證明在當時並不算離奇。 學術界的反應多少有點象現代法庭所奉行的無罪推定原則， 即在出現相反證據之前傾向於相信聲明成立。
但是相信歸相信， 數學當然是離不開證明的。 因此大家就期待着 Stieltjes 發表具體的證明， 其中期待得最誠心實意的當屬 Hermite。 Hermite 自 1882 年起就與 Stieltjes 保持着通信關係， 直至 Stieltjes 十二年後過早去世為止。 在這期間兩人共交換了 432 封信件。 Hermite 是當時複變函數論的大家之一， 他與 Stieltjes 的關係堪稱數學史上一個比較奇特的現象。 Stieltjes 剛與 Hermite 通信時只是 Leiden 天文台的一名助理， 而且就連這個助理職位還是靠了他父親 (Stieltjes 的父親是荷蘭著名的工程師兼國會成員) 的關照。 在此之前他在大學曾三度考試失敗。 好不容易進了天文台， Stieltjes 卻 “身在曹營心在漢”， 干着天文觀測的活， 心裡惦記的卻是數學， 並給 Hermite 寫了信。 照說當時一無學位、 二無名聲的 Stieltjes 要引起象 Hermite 這樣的數學元老的重視並不容易， 但 Hermite 是一位虔誠的天主教徒， 他恰巧對數學懷有一種奇特的信仰， 他相信數學存在是一種超自然的東西， 尋常數學家只是偶爾才有機會了解數學的奧秘。 那麼什麼樣的人能夠比 “尋常數學家” 更有機會了解數學的奧秘呢？ Hermite 憑着自己的神秘主義眼光找到了一位， 那就是默默無聞的觀星之人 Stieltjes。 Hermite 認為 Stieltjes 具有上帝賜於的窺視數學奧秘的眼光， 他對之充滿了信任。 在他與 Stieltjes 的通信中甚至出現了 “你總是對的， 我總是錯的” 這樣極端的讚許。 在這種神秘信仰與十九世紀數學氛圍的共同影響下， Hermite 對 Stieljes 關於 Riemann 猜想的聲明深信不疑。
但是無論 Hermite 如何催促， Stieljes 始終沒有公布他的完整證明。 一轉眼五年過去了， Hermite 對 Stieljes 依然 “痴心不改”， 他決定給對方來點 “利誘”。 在 Hermite 提議下， 法國科學院將 1890 年數學大獎的主題設為 “確定小於給定數值的素數個數”。 在 Hermite 看來， 這個大獎將毫無懸念地落到他的朋友 Stieljes 的腰包里， 因為這個大獎主題實質上就是證明素數定理， 這比 Riemann 猜想弱得多。 可惜直至大獎截止日期終了， Stieljes 依然毫無動靜。
但是 Hermite 也沒有完全失望， 因為他的學生 Hadamard 提交了一篇論文， 領走了大獎 - 肥水總算沒有流入外人田。 Hadamard 論文的主要內容正是我們在 上節 中提到的對 Riemann 論文中連乘積公式的證明。 這一論文雖然離證明素數定理還有一定距離， 卻已足可獲得大獎。 幾年之後， Hadamard 再接再勵， 終於一舉證明了素數定理。 Hermite 放出去的這根長線雖沒能如願釣到 Stieljes 及 Riemann 猜想， 卻錯釣上了 Hadamard 及素數定理。 斬獲亦是頗為豐厚 (當時素數定理其實比 Riemann 猜想更令數學界期待)。
那麼 Stieljes 呢？ 沒聽過這個名字的讀者可能會覺得他是一個浮誇無為的傢伙， 事實卻不然。 Stieljes 在分析與數論的許多方面都做出過重要的貢獻。 他在連分數方面的研究為他贏得了 “連分數分析之父” 的美譽， 以他名字命名的 Stieljes 積分更是聲名遠播。 但他的那份 Hardy 電報式的有關 Riemann 猜想的聲明卻終究沒能為他贏得永久的懸念。 現在數學家們普遍認為 Stieljes 關於 M(N)=O(N1/2) 的證明是錯誤的， 不僅如此， 甚至連命題 M(N)=O(N1/2) 本身是否成立也已經受到越來越多的懷疑[注一]。
七. 從零點分布到素數定理
素數定理自 Gauss 與 Legendre 以經驗公式的形式提出 (詳見 第三節) 以來， 許多數學家對此做過研究。 其中比較重要的結果是由俄國數學家 Pafnuty Chebyshev (1821-1894) 做出的。 1850 年， Chebyshev 證明了對於足夠大的 x， 素數分布 π(x) 與素數定理給出的分布 Li(x) 之間的相對誤差不超過 11%[注二]。
但在 Riemann 1859 年的工作以前， 數學家們對素數定理的研究主要局限在實數域中。 從這個意義上講， 即使撇開具體的結果不談， Riemann 建立在複變函數基礎上的工作僅就其方法而言也是對素數研究的一個重大突破。 這一方法上的突破為素數定理的最終證明鋪平了道路。
在 第五節 末尾我們曾提到， Riemann 對素數分布的研究之所以沒能直接成為素數定理的證明， 是因為人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的分布還知道得太少。 那麼為了證明素數定理， 我們起碼要知道多少有關非平凡零點分布的信息呢？ 這一點到了 1895 年隨着 von Mangoldt 對 Riemann 論文的深入研究而變得明朗起來。 von Mangoldt 的工作我們在 第五節 中已經提到過， 正是他最終證明了 Riemann 關於 J(x) 的公式。 但是 von Mangoldt 工作的價值比僅僅證明 Riemann 關於 J(x) 的公式要深遠得多。 在他的研究中使用了一個比 Riemann 的 J(x) 更簡單有效的輔助函數 Ψ(x)， 它的定義為：
Ψ(x) = Σn其中 Λ(n) 被稱為 von Mangoldt 函數， 它對於 n=pk (p 為素數， k 為自然數) 取值為 ln(p)； 對於其它 n 取值為 0。 運用 Ψ(x)， von Mangoldt 證明了一個本質上與 Riemann 關於 J(x) 的公式等價的公式： Ψ(x) = x - Σρ(xρ/ρ) - (1/2)ln(1-x-2) - ln(2π)
其中有關 ρ 的求和與 Riemann 的 J(x) 中有關 ρ 的求和一樣， 也是先將 ρ 與 1-ρ 配對， 再依 Im(ρ) 從小到大的順序進行。
很明顯， von Mangoldt 的 Ψ(x) 表達式比 Riemann 的 J(x) 簡單多了。 時至今日， Ψ(x) 在解析數論研究中差不多已完全取代了 Riemann 的 J(x)。 引進 Ψ(x) 的另一個重大好處是早在幾年前， 上文提到的 Chebyshev 就已經證明了： 素數定理 π(x) ~ Li(x) 等價於 Ψ(x) ~ x (為了紀念 Chebyshev 的貢獻， von Mangoldt 函數也被稱為第二 Chebyshev 函數)。
將這一點與 von Mangoldt 的 Ψ(x) 表達式聯繫在一起， 不難看到素數定理成立的條件是 limx→∞Σρ(xρ-1/ρ)=0。 但是要讓 xρ-1 趨於零， Re(ρ) 必須小於 1， 換句話說 Riemann ζ 函數在直線 Re(s)=1 上必須沒有非平凡零點。 這就是我們為證明素數定理而必須知道的有關 Riemann ζ 函數非平凡零點分布的信息[注三]。 由於 Riemann ζ 函數的非平凡零點是以 ρ 與 1-ρ 成對的方式出現， 因此這一信息也等價於 0讀者們大概還記得， 在 第五節 中我們曾經證明過 Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於 0≤Re(s)≤1 的區域內。 因此為了證明素數定理， 我們所需知道的有關非平凡零點分布的信息要比我們已知的 (也是當時數學家們已知的) 略多一些 (但仍大大少於 Riemann 猜想所要求的)。 這樣， 在經過了 Chebyshev、 Riemann、 Hadamard 和 von Mangoldt 等人的卓越努力之後， 我們離素數定理的證明終於只剩下了最後一小步： 即把已知的零點分布規律中那個小小的等號去掉[注四]。 這一小步雖也絕非輕而易舉， 卻已難不住在 Riemann 峰上攀登了三十幾個年頭， 為素數定理完整證明的到來等待了一個世紀的數學家們。 von Mangoldt 的結果發表的第二年 (1896 年)， 上節提到的 Hadamard 與比利時數學家 Charles de la Vallée-Poussin 就幾乎同時獨立地給出了證明， 從而完成了 Gauss 以來數學界的一個重大心願。 那時 Stieljes 已經去世兩年了。 經過素數定理的證明， 人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點分布的了解又推進了一步， 那就是： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 0素數定理的證明 - 尤其是以一種與 Riemann 的論文如此密切相關的方式所實現的證明 - 讓數學界把更多的注意力放到了 Riemann 猜想上來。 四年後 (1900 年) 的一個夏日， 兩百多位最傑出的數學家會聚到了巴黎， 一位 38 歲的德國數學家走上了講台， 做了一次永載數學史冊的偉大演講。 演講的題目叫做 “數學問題”， 演講者的名字叫做 David Hilbert， 他恰好來自 Gauss 與 Riemann 的學術故鄉 - 群星璀燦的 Göttingen 大學。 他是 Göttingen 數學精神的偉大繼承者， 一位與 Gauss 及 Riemann 齊名的數學巨匠。 Hilbert 在演講中列出了二十三個對後世產生深遠影響的數學問題， Riemann 猜想被列為其中第八個問題的一部分， 從此成為整個數學界矚目的難題之一。 二十世紀的數學大幕在 Hilbert 的演講聲中徐徐拉開， Riemann 猜想也迎來了一段新的百年征程。
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二零零四年一月二十四日寫於紐約
http://www.changhai.org/
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注釋
[注一] 這是因為比 M(N)=O(N1/2) 稍強、 被稱為 Mertens 猜想的命題： M(N)[注二] 比這更早一些， Chebyshev 還證明了： 如果 limx→∞ {π(x)/[x/ln(x)]} 存在， 它必定等於 1。 Chebyshev 的研究對於 Riemann 的工作及後來人們對素數定理的證明都有影響。 [注三] 不過由於所處理的是無窮級數， 嚴格的證明並不如我們敘述的那樣簡單。
[注四] 這也正是我們在 第五節 中提到的 Riemann 在計算 J(x) 過程中對與零點有關的級數進行單項積分時隱含的條件。
