Riemann 猜想漫談 (六)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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八. 零點在哪裡？

隨着 Riemann 論文中的外圍命題 - 那些被 Riemann 隨手寫下卻沒有予以證明的命題 - 逐一得到證明， 隨着素數定理的攻克， 也隨着 Hilbert 演講的聚焦作用的顯現， 數學界終於把注意力漸漸投向了 Riemann 猜想本身， 投向了那座巍峨的主峰。

不知讀者們有沒有注意到， 我們談了這麼久的 Riemann ζ 函數， 談了那麼久的 ζ 函數的非平凡零點， 卻始終沒有談及過任何一個具體的非平凡零點。 這也是 Riemann 論文本身一個令人矚目的特點： 即它除了沒有給所涉及的許多命題提供證明外， 也沒有給所提出的猜想提供數值計算方面的支持。 Riemann 敘述了許多有關 ζ 函數非平凡零點的命題 (比如 第五節 中提到的三大命題)， 卻沒有給出任何一個非平凡零點的數值！

倘若那些非平凡零點是容易計算的， 倒也罷了， 可是就象被 Riemann 省略掉的那些命題個個都令人頭疼一樣， Riemann ζ 函數的那些非平凡零點也個個都不是省油的燈。

它們究竟在哪裡呢？

直到 1903 年 (即 Riemann 的論文發表後的第 44 個年頭)， 丹麥數學家 Gørgen Gram 才首次公布了對 Riemann ζ 函數前 15 個零點的計算結果[注一]。 在這 15 個零點中， Gram 對前 10 個零點計算到了小數點後第六位， 而後 5 個零點 - 由於計算繁複程度的增加 - 只計算到了小數點後第一位。 為了讓讀者對 Riemann ζ 函數的非平凡零點有一個具體的印象， 我們把這 15 個零點列在下面。 與此同時， 我們也列出了這 15 個零點的現代計算值 (保留到小數點後第七位)， 以便大家了解 Gram 計算的精度：

零點序號 Gram 的零點數值 現代數值
1 1/2 + 14.134725 i 1/2 + 14.1347251 i
2 1/2 + 21.022040 i 1/2 + 21.0220396 i
3 1/2 + 25.010856 i 1/2 + 25.0108575 i
4 1/2 + 30.424878 i 1/2 + 30.4248761 i
5 1/2 + 32.935057 i 1/2 + 32.9350615 i
6 1/2 + 37.586176 i 1/2 + 37.5861781 i
7 1/2 + 40.918720 i 1/2 + 40.9187190 i
8 1/2 + 43.327073 i 1/2 + 43.3270732 i
9 1/2 + 48.005150 i 1/2 + 48.0051508 i
10 1/2 + 49.773832 i 1/2 + 49.7738324 i
11 1/2 + 52.8 i 1/2 + 52.9703214 i
12 1/2 + 56.4 i 1/2 + 56.4462476 i
13 1/2 + 59.4 i 1/2 + 59.3470440 i
14 1/2 + 61.0 i 1/2 + 60.8317785 i
15 1/2 + 65.0 i 1/2 + 65.1125440 i

幾十年來， 這是數學家們第一次撥開迷霧實實在在地看到 Riemann ζ 函數的非平凡零點， 看到那些蘊涵着素數分布規律的神秘傢伙。 它們都乖乖地躺在四十四年前 Riemann 劃出的那條奇異的 critical line 上。 Gram 的計算使用的是十八世紀三十年代發展起來的 Euler-Maclaurin 公式[注二]。 在只有紙和筆的年代裡， 這種計算是極其困難的， Gram 用了好幾年的時間才完成對這 15 個零點的計算。 但即便付出如此多的時間， 付出極大的艱辛， 他在後五個零點的計算精度上仍不得不有所放棄。

在 Gram 之後， R. J. Backlund 於 1914 年把對零點的計算推進到了前 79 個零點。 再往後， 經過 Hardy、 Littlewood 及 Hutchinson 等人的努力 (包括計算方法上的一些改進)， 到了 1925 年， 人們已經知道了前 138 個零點的位置， 它們都位於 Riemann 猜想所預言的 critical line 上。 但是到了這個時候， 建立在 Euler-Maclaurin 公式之上的計算已經複雜到了幾乎難以逾越的程度。

九. Riemann 的手稿

隨着數學界對 Riemann 猜想興趣的日益增加， 這個猜想的難度也日益顯露了出來。 當越來越多的數學家在高不可測的 Riemann 猜想面前遭受挫折的時候， 其中的一些開始流露出對 Riemann 1859 年論文的一些不滿之意。 我們在上面提到， Riemann 的論文既沒有對它所提到的許多命題給予證明， 又沒有給出哪怕一個 ζ 函數非平凡零點的數值。 儘管 Riemann 在數學界享有崇高的聲譽， 儘管此前幾十年裡人們通過對他論文的研究一再證實了他的卓越見解。 但在攀登主峰的嘗試屢遭受挫折， 計算零點的努力又舉步維艱的情況下， 對 Riemann 的懷疑終於還是無可避免地出現了。

於是在承認 Riemann 的論文為 “最傑出及富有成果的論文” 之後 Laudau 開始表示： “Riemann 的公式遠不是數論中最重要的東西， 他不過是創造了一些在改進之後有可能證明許多其它結果的工具”； 於是在為證明 Riemann 猜想度過一段 “苦日子” 之後 Littlewood 開始表示： “假如我們能夠堅定地相信這個猜想是錯誤的， 日子會過得更舒適些”； 於是就連膽敢用 Riemann 猜想跟上帝耍計謀的 Hardy 也開始認為 Riemann 有關零點的猜測只不過是個猜測而已， nothing more。 “Nothing more” 的意思便是純屬猜測， 沒有任何計算及證明依據。 換句話說數學家們開始認為 Riemann 論文中的一切大致也就是他在這一論題上所做過的一切， 他的猜想其依據的只是直覺， 而非證據。

那麼 Riemann 猜想究竟只是憑藉直覺呢還是有着其它的依據？ Riemann 的論文究竟是不是他在這方面的全部研究呢？ 既然 Riemann 的論文本身沒有為這些問題提供線索， 答案自然就只能到他的手稿中去尋找了。

我們曾經提到， 在 Riemann 那個時代許多數學家公開發表的東西往往只是他們所做研究的很小一部分， 因此他們的手稿及信件就成為了科學界極為珍貴的財富。 這種珍貴絕不是因為如今人們習以為常的那種名人用品的庸俗商業價值， 而是在於其巨大的學術價值。 因為通過它們， 人們不僅可以透視那些偉大先輩們的 “Beautiful Mind”， 更可以挖掘他們未曾發表過的研究成果， 那是一種無上的寶藏。

Göttingen 大學圖書館
不幸的是， Riemann 手稿的很大一部分卻在他去世之後被他可惡的管家付之了一炬， 只有一小部分被他妻子 Elise 搶救了出來。 Elise 把那些劫後餘生的數學手稿大部分交給了 Riemann 生前的摯友、 數學家 Richard Dedekind (1831-1916)。 但是幾年之後， Elise 又後悔了， 因為她覺得那些數學手稿中還夾帶着一些私人及家庭的信息， 於是她向 Dedekind 索回了一部分手稿。 在這部分手稿中， 有許多幾乎通篇都是數學， 只在其中夾帶了極少量的私人信息， 比如一位朋友的姓名等， 其中更有一本小冊子是 Riemann 1860 年春天在巴黎時的記錄。 那正是他發表有關 Riemann 猜想的論文後的幾個月。 那幾個月巴黎的天氣十分糟糕， 很多時候 Riemann 都待在住所里研究數學。 許多人猜測， 在那段時間裡 Riemann 所思考的很可能與他幾個月前研究的 Riemann ζ 函數有關聯， 因此那本被 Elise 索回的小冊子中很可能記錄了與 Riemann 猜想有關的一些想法。 可惜那本數學家們非常渴望獲得的小冊子從此就再也沒有出現過， 直到今天， 它的去向依然是一個謎。 有人說它曾被德國數學及數學史學家 Erich Bessel-Hagen (1898-1946) 獲得過， 但是 Bessel-Hagen 死於二戰後的混亂年月中， 他的遺物始終沒有被人找到過。

那些有幸躲過管家的火把、 又沒有被 Elise 索回的手稿， Dedekind 將它們留在了 Göttingen 大學圖書館， 那就是數學家和數學史學家們可以看到的 Riemann 的全部手稿 (Nachlass)。

自 Riemann 的手稿存放在 Göttingen 大學圖書館以來， 陸續有一些數學家及數學史學家前去研究。 但是只要想一想 Riemann 正式發表的有關 Riemann 猜想的論文尚且如此艱深， 就不難想象研讀他那些天馬行空、 諸般論題混雜、 滿篇公式卻幾乎沒有半點文字說明的手稿該是一件多麼困難的事情。 許多人滿懷希望而來， 卻又兩手空空、 黯然失望而去。

Riemann 的手稿就象一本高明的密碼本， 牢牢守護着這位偉大數學家的思維奧秘。

但是到了 1932 年， 終於有一位數學家從那些天書般的手稿中獲得了重大的發現！ 這一發現一舉粉碎了那些認為 Riemann 的論文只有直覺而無證據的猜測， 並對 Riemann ζ 函數非平凡零點的計算方法產生了脫胎換骨般的影響， 讓在第 138 個零點附近停滯多年的 Euler-Maclaurin 方法相形見拙。 這一發現也將它的發現者的名字與偉大的 Riemann 聯繫在了一起， 從此不朽。

這位破解天書的發現者叫做 Carl Siegel (1896-1981)， 他是 Riemann 的同胞 - 一位德國數學家。

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二零零四年二月十六日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 由於 Riemann ζ 函數在上半複平面與下半複平面的非平凡零點是一一對應的 (請讀者自己證明)， 因此在討論時只考慮虛部大於零的零點。 我們把這些零點以虛部大小為序排列， 所謂 “前 15 個零點” 指的是虛部最小的 15 個零點。

[注二] Euler-Maclaurin 公式為： Σkfk = ∫f(k)dk + 1/2[f(m) + f(n)] + ΣjB2j/(2j)![f(2j-1)(n) - f(2j-1)(m)]。 其中左端對 (自然數) k 的求和從 m 到 n； 右端對 k 的積分從 m 到 n， 對 j 的求和從 1 到 ∞； B2k 為 Bernoulli 數 (B2=1/6，B4=-1/30，B6=1/42，...) 。 Euler-Maclaurin 公式的成立對 f(k) 有一定的要求。