Riemann 猜想漫談 (七)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十. 探求天書

Siegel 是一位非常反戰的德國人， 早年曾因拒服兵役而遭拘壓， 幸虧 Landau 的父親出面幫助才得重歸自由。 他曾計劃在柏林學習天文學， 因為天文學是看上去最遠離戰爭的學科。 但是入學那年的天文學課程開得較晚， 為了打發時光， 他去聽了 Georg Frobenius (1849-1917) 數學課， 這一聽很快改變了他的人生旅途， 他最終成為了一名數學家。

Siegel 於 1919 年來到 Göttingen， 跟隨 Landau 研究數論。 當時 Hilbert 的二十三個數學問題已經非常出名， 而 Landau 本人對 Riemann 猜想也頗有研究， 在這種環境的影響下， Siegel 也開始了對 Riemann 猜想 - Hilbert 第八問題的一部分 - 的研究。 他對 Riemann 猜想的一些想法得到了 Hilbert 本人的賞識， 在 Hilbert 的支持下， Siegel 於 1922 年獲得了 Frankfurt 大學的教職。

但儘管如此， Siegel 對 Riemann 猜想的研究並沒有取得突破性的進展。 正當他為此苦惱的時候， 一封來自數學及數學史學家 Bessel-Hagen 的信寄到了他的案頭。 Bessel-Hagen 當時正在研究 Riemann 的手稿， 但和 Siegel 研究 Riemann 猜想一樣苦苦得不到進展。 由於 Bessel-Hagen 自身的背景側重於數學史， 對於破解 Riemann 的手稿來說這樣的背景顯然還嫌不夠， 於是他想邀請純數學家來試試， 看看他們是否能有所突破。 Göttingen 的數學家中對 Riemann 猜想感興趣的當首推 Hilbert 和 Landau， 但這兩位都是大師級的人物， Bessel-Hagen 自不敢貿然相擾， 於是他把目光投向了正在研究 Riemann 猜想的 Siegel， 邀請他來研究 Riemann 的手稿。

對 Siegel 來說 Bessel-Hagen 的邀請不失為一個散心的機會。 另一方面， 如我們在 上節 所說， 當時數學界對 Riemann 及其猜想的懷疑已經開始蔓延， 這種氛圍也影響到了 Göttingen， Riemann 是不是真的只憑直覺提出他的猜想？ 這也是 Siegel 有意一探究竟的謎團。 於是 Siegel 寫信向 Göttingen 圖書館索來了 Riemann 的手稿。

當那位已被歲月塗抹成只憑直覺研究數學的前輩宗師的手稿終於出現在 Siegel 眼前的時候， 他不由地想起了 Gauss 愛說的一句話： 工匠總是會在建築完成後把腳手架拆除的。 現在他所看到的正是一位最偉大工匠的腳手架， 任何人只要看上一眼就絕不會再相信那些有關 Riemann 只憑直覺研究數學的傳言。 只可惜那些散布傳言的數學家們 - 包括與 Riemann 手稿近在咫尺的睿智的 Göttingen 數學家們 - 竟然誰也沒有費心來看一眼這些凝聚着無比智慧的手稿！

在 Riemann 的手稿中， Siegel 發現了 Riemann 論文中隻字未提的 Riemann ζ 函數的前三個零點的數值[注一]！ 很顯然， 這表明 Riemann 的論文背後是有着計算背景的。 Riemann 的這一計算比我們在 第八節 中提到的 Gram 的計算早了 44 年。 這倒也罷了， 因為 Gram 對零點的計算雖比 Riemann 的晚， 但精度卻比 Riemann 的高得多。 但是 Siegel 對 Riemann 計算零點的方法進行了細緻的整理研究， 卻吃驚地發現 Riemann 所用的方法不僅遠遠勝過了 Gram 所用的 Euler-Maclaurin 公式， 也遠遠勝過了 Hardy 和 Littlewood 對 Euler-Maclaurin 公式的改進。 一句話， Riemann 用來計算零點的方法遠遠勝過了數學界已知的任何方法！ 當時已是 1932 年， 距離 Riemann 猜想的提出已有 73 個年頭， 距離 Riemann 逝世也已有 66 個年頭， Riemann 又一次跨越時間遠遠地走到了整個數學界的前面。 而且 Riemann 的這一公式是如此的複雜[注二]， 有些數學家甚至認為假如不是 Siegel 把它從 Riemann 的手稿中整理出來的話， 也許直到今天， 數學家們都無法獨立地發現它。

Siegel 在整理這一公式上的功績和所付出的辛勞是怎麼評價也不過分的， 如我們在 上節 中所說， Riemann 的手稿上諸般論題混雜、 滿篇公式卻幾乎沒有半點文字說明。 而且 Riemann 晚年的生活很不寬裕， 用紙十分節約， 每張稿紙的角角落落都寫滿了東西， 使得整個手稿更顯混亂。 再加上 Riemann 所寫的那些東西本身的艱深。 Siegel 能從中整理出如此複雜的公式對數學界實是功不可沒， 為了表達對 Siegel 工作的敬意， 數學家們把這一公式稱為 Riemann-Siegel 公式。 Siegel 一生對數學多有貢獻， 但其中最傑出的一項也許就是這一公式。 Riemann 若泉下有知， 也當樂見他的這位後輩同胞的名字通過這一公式與自己聯繫在一起， 因為在這之後， 再也沒有人會懷疑他論文背後的運算背景了。

發表於 1932 年的 Riemann-Siegel 公式是 Göttingen 數學輝煌的一抹餘輝。 隨着納粹在德國日益橫行， 曾經是數學聖地的 Göttingen 一步步地走向了衰落。 1933 年， Landau 因其 “ 猶太式的微積分與雅里安 (Aryan) 的思維方式背道而馳” 被剝奪了授課資格， 離開了他一生摯愛的數學講堂。 出於對戰爭的厭惡， Siegel 於 1940 年離開了德國。 Göttingen 的衰落是德國文化史上最深重的悲劇之一。 在這場悲劇中最痛苦的也許要算是 Hilbert， 他是自 Gauss 和 Riemann 之後 Göttingen 數學傳統的靈魂人物， 從某種意義上講， Göttingen 也是 Hilbert 的靈魂。 他一生為發揚 Göttingen 的數學傳統盡了無數的心力， Göttingen 記錄了他一生的榮耀和自豪， 而今在他年逾古稀的時候卻要殘酷地親眼目睹這一切的輝煌煙消雲散。 1943 年， Hilbert 黯然離開了人世， Göttingen 的一個時代走到了終點。

十一. Riemann-Siegel 公式

Riemann-Siegel 公式的推導極其複雜， 不可能在本文中加以介紹。 不過我們將簡單敘述一下計算 Riemann ζ 函數非平凡零點的基本思路， 並給出 Riemann-Siegel 公式的表達式， 以便讀者有一個大致的了解。

讀者也許還記得， 在 第五節 中我們曾引進過一個輔助函數

ξ(s) = Γ(s/2 + 1) (s - 1) π-s/2 ζ(s)

它的零點與 Riemann ζ 函數的非平凡零點重合。 因此， 我們可以通過對 ξ(s) 零點的計算來確定 Riemann ζ 函數的非平凡零點。 這是計算 Riemann ζ 函數零點的基本思路。 由於 ξ(s) 滿足一個特殊的條件： ξ(s)=ξ(1-s)， 運用複變函數論中的反射原理 (reflection principle) 很容易證明 (讀者不妨自己試試)， 在 Re(s)=1/2 的直線 (即 Riemann 猜想中的 critical line) 上 ξ(s) 的取值為實數。 因此在 critical line 上通過研究 ξ(s) 的符號改變就可以確定零點的存在。 這是利用 ξ(s) 計算零點的一個極大的優勢。 在下文中我們將只考慮 critical line 上的情形， 為此令 s=1/2+it。 利用 ξ(s) 的定義可以證明 (請讀者自行完成)：

ξ(1/2+it) = [eRe ln Π(s/2-1) π-1/4(-t2 - 1/4)/2] [ei Im ln Π(s/2-1) π-it/2ζ(1/2+it)]

很明顯， 上式中第一個方括號內的表達式始終為負， 因此在計算 ξ(s) 的符號改變 - 從而確定零點 - 時可以忽略。 因此要想確定 Riemann ζ 函數的零點， 只需研究上式中第二個方括號內的表達式就可以了。 我們用 Z(t) 來標記這一表達式， 即：

Z(t) = ei Im ln Π(s/2-1) π-it/2ζ(1/2+it)

至此， 研究 Riemann ζ 函數在 critical line 上的零點就歸結為研究 Z(t) 的零點， 而後者又可以歸結為研究 Z(t) 的符號改變。

Riemann-Siegel 公式就是關於 Z(t) 的漸進展開式， 它可以表示為：

其中：

上面式子中的 R(t) 被稱為剩餘項 (reminder)， 其中的 N 為 (t/2π)1/2 的整數部分， R(t) 中各項的係數分別為：

其中 p 為 (t/2π)1/2 的分數部分， Ψ(n)(p) 為 Ψ(p) 的 n 階導數。

這就是 Siegel 從 Riemann 手稿中整理出來的計算 Riemann ζ 函數零點的公式[注三]。 確切地講它只是計算 Riemann ζ 函數數值的公式， 要想確定零點的位置還必須通過多次計算逐漸逼近， 其工作量比單單計算 Riemann ζ 函數的數值大得多。 讀者也許會感到奇怪， 如此複雜的公式加上如此迂迴的步驟， 在沒有計算機的年代裡能有多大用處？ 的確， 計算 Riemann ζ 函數的零點即使使用 Riemann-Siegel 公式也是極其繁複的， 別的不說， 只要看看 C4 中對 Ψ(p) 的導數竟高達 12 階之多就足令人頭疼了。 但是同樣一件工作， 在一位只在飯後茶餘瞥上幾眼的過客眼裡與一位對其傾注生命、 不惜花費時光的數學家眼裡， 它的可行性是完全不同的。 就象在一位普通人、 甚或是一位普通數學家的眼裡 Riemann 能做出如此深奧的數學貢獻是不可思議的一樣。

不過， 也不要把 Riemann-Siegel 公式看得太過可怕， 因為在 下一節 中， 我們就將一起動手用這一公式計算一個 Riemann ζ 函數的非平凡零點。 當然， 我們會適當偷點懶， 也會用用計算器， 甚至還要用點計算機軟件。 畢竟， 我們與 Siegel 之間又隔了七十多個年頭， 具備了偷懶所需的信息和工具。 然後， 我們將繼續我們的旅途， 去欣賞那些勤奮的人們所完成的工作， 那才是真正的風景。

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二零零四年五月二日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 後來的一些數學史學家甚至認為 Riemann 可能計算過多達 20 個零點。

[注二] 當然這種複雜性指的是推導上的複雜， 而不是用來計算零點時的複雜 - 後者雖然也很複雜， 卻比傳統的 Euler-Maclaurin 公式來得簡單。

[注三] 有兩點需要提醒讀者： 一是 Riemann 手稿中 C4 中 Ψ(p) 的係數與 Siegel 給出的不同； 二是我們沒有使用 Siegel 原始論文中的記號。