Riemann 猜想漫談 (八)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

--------------------------------------------------------------------------------

十二. 休閒課題：圍捕零點

聽說時下流行一種休閒方式叫做 DIY (Do It Yourself)， 講究自己動手做一些原本只有工匠才做的事， 比方說自己動手做件陶器什麼的。 在象我這樣懶散的人看來這簡直比工作還累， 可如今許多人偏偏就興這個， 或許是領悟了負負得正 (累累得閒？) 的道理吧。 既是大勢如此， 我們也樂得共襄盛舉， 安排 “休閒” 一下， 讓大家親自動手用 Riemann-Siegel 公式來計算一個 Riemann ζ 函數的非平凡零點。

DIY 一般有個特點， 那就是課題雖然選得頗見難度， 做起來通常卻是挑最簡單的來做， 以免打擊休閒的積極性。 我們計算零點也一樣， 挑相對簡單的零點來計算。 那麼什麼樣的零點比較容易計算呢？ 顯然是那些聽 Riemann 的話， 乖乖地躺在 critical line 上的零點 - 因為否則的話 Riemann 猜想早被推翻了。

在 Riemann-Siegel 公式中有許多複雜的東西， 其中最令人頭疼的是求和， 因為它使計算量成倍地增加。 但幸運的是那個求和是對 n2<(t/2π) 進行的， 因此如果 t<8π≈25， 求和就只有 n=1 一項。 這顯然是比較簡單的， 因此我們狡猾的目光就盯在了這一區間上。 在這一區間上， Riemann-Siegel 公式簡化成為：

Z(t) = 2cos[θ(t)] + R(t)

這就是我們此次圍捕零點的工具。

在正式圍捕之前， 我們先做一點火力偵察 - 粗略地估計一下獵物的位置。 我們要找的是使 Z(t) 為零的點， 直接尋找顯然是極其困難的， 但我們注意到 2cos[θ(t)] (通常被稱為主項) 在 θ(t)=(m+1/2)π 時為零 (m 為整數)， 這是一個不錯的出發點。 由 上節 中 θ(t) 的表達式不難證明， 在所有這些使 2cos[θ(t)] 為零的 θ(t) 中， θ=-π/2 (即 m=-1) 是使 t 在 0接下來我們對這個估計值進行一次修正。 修正的理由是顯而易見的， 因為 t≈14.5 時 R(t) 明顯不為零。 為了計算 R(t) 我們注意到 t≈14.5 時 (t/2π)1/2≈1.5， 因此 R(t) 中的參數 N [(t/2π)1/2 的整數部分] 為 1， p [(t/2π)1/2 的分數部分] 約為 0.5。 由此可以求出 R(t) 中的第一項 - C0(t/2π)-1/4 - 約為 0.3。

為了抵消這額外的 0.3， 我們需要對 t 進行修正， 使 2cos[θ(t)] 減少 0.3。 我們採用線性近似 Δt≈ΔF(t)/F'(t) 來計算這一修正值。 為此注意到 2cos[θ(t)] 在 t≈14.5 處的導數為 -2θ'(t)sin[θ(t)]≈-2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2)≈0.83。 由此可知 t 需要修正為 t+Δt≈14.5-0.3/0.83≈14.14。 這個數值與零點的實際值之間的相對誤差僅為萬分之四。 但是需要提醒讀者的是， 這種估計 - 無論它多高明 - 都不足以證明零點的存在， 它至多只能提供一個圍捕零點的範圍。

那麼究竟怎樣才能證明零點的存在呢？ 我們在 上節 已經提供了方法。 那就是通過計算 Z(t) 的符號， 如果 Z(t) 在某兩點的符號相反， 就說明 Riemann ζ 函數在這兩點之間內存在零點。 我們上面所做的估計就是為這一計算做準備的。 現在我們就來進行這樣的計算。 由於我們已經發現在 t=14.14 附近可能存在零點， 因此我們在 14.1≤t≤14.2 的區間上撒下一張小網。 如果我們的計算表明 Z(t) 在這一區間的兩端， 即 t=14.1 與 t=14.2 具有不同的符號， 那就證明了 Riemann ζ 函數在 t=14.1 與 t=14.2 之間存在零點 [注一]。 下面我們就來進行計算：

對於 t=14.1， (t/2π)1/2≈1.498027， θ(t)≈-1.742722。 因而主項 2cos[θ(t)]≈-0.342160， 剩餘項 R(t) 中 p≈0.498027， 從而其中第一項 (C0 項) C0(t/2π)-1/4≈0.312671。 由這兩部分 (即主項及剩餘項中的第一項) 可得:

Z(14.1) ≈ -0.342160 + 0.312671 = -0.029489

類似地， 對於 t=14.2， (t/2π)1/2≈1.503330， θ(t)≈-1.702141。 因而主項 2cos[θ(t)]≈-0.261934， 剩餘項 R(t) 中 p≈0.503330， 從而其中第一項 (C0 項) C0(t/2π)-1/4≈0.312129。 由這兩部分 (即主項及剩餘項中的第一項) 可得:

Z(14.2) ≈ -0.261934 + 0.312129 = 0.050195

顯然， 如我們所期望的， Z(14.1) 與 Z(14.2) 符號相反， 這表明在 t=14.1 與 t=14.2 之間存在 Riemann ζ 函數的零點。 當然， 我們還沒有考慮 C1 ~ C4 項。 這些項中帶有 C0 的各階導數， 計算起來工作量非同小可， 有違休閒的目的， 因此就不費心了。 熟悉計算軟件的讀者可以用 Mathematica、 Maple 或 Matlab 一類的工具來算一下。 我們把所有這些計算結果都列在下表中：

t=14.1 t=14.2
N 1 1
p 0.498027 0.503330
θ(t) -1.742722 -1.702141

2cos[θ(t)] -0.342160 -0.261934
C0 項 0.312671 0.312129
C1 項 0.000058 0.000097
C2 項 0.001889 0.001872
C3 項 0.000001 0.000002
C4 項 0.000075 0.000074
Z(t) -0.027446 0.052042

從這些結果中可以看到， 剩餘項中的高階項的貢獻雖然有所起伏， 但與第一項相比總體上很小。 對於我們來說， 這顯然是很幸運的結果， 因為否則的話， 我們就得休閒不成反賣苦力了。 這還是 t 較小的情況。 隨着 t 的增加， 由於高階項中所含 t 的負冪次較高， 其貢獻會變得越來越小 [注二]， 但要嚴格表述這種趨勢並予以證明， 卻絕非輕而易舉。 事實上 Riemann-Siegel 公式作為 Z(t) 的漸進展開式， 其斂散性質與誤差估計都是相當複雜的。

現在我們知道了 Riemann ζ 函數在 t=14.1 與 t=14.2 之間存在零點。 如果我們再仔細點， 注意到 Z(14.1) 與 Z(14.2) 距離 Z(t)=0 的遠近之比為 0.027446:0.052042， 用線性內插法可以推測零點的位置為：

t ≈ 14.1 + (14.2 - 14.1) × 0.027446 / (0.027446 + 0.052042) ≈ 14.1345。

這與現代數值 t=14.1347 的相對偏差只有不到十萬分之二！ 即使只估計到 C0 項 (這是我們自己動手所及的範圍)， 其誤差也只有不到萬分之二。

好了， 獵物在手， 我們的簡短休閒也該見好就收了。 大家是否覺得有點成就感呢？ 要知道， Riemann ζ 函數的零點可是在 Riemann 的論文發表之後隔了四十四年才有人公布計算結果的哦。 當然， 我們用了 Riemann-Siegel 公式， 但這沒什麼， 一個好漢三個幫嘛， 再說了， DIY 哪有真的百分之百從頭做起， 連工具設備都包括在內的？ 想象一下， 如果你 DIY 出來的陶器能夠把缺陷控制在萬分之二以內， 那是何等的風光？ 當然， 倘若你可以退回一百多年， 把這個結果搶在 Gram 之前公布一下， 那就更風光了。

在本節最後， 還有一件可能讓大家有成就感的事要提一下。 那就是我們所用的估計零點的方法 - 即從使 2cos[θ(t)] 為零的點出發， 然後依據 R(t) 的數值對其進行修正 [注三]， 最後用 Z(t) 的符號來確定零點的存在， 暗示 Riemann ζ 函數在 critical line 上的零點數目大致與 cos[θ(t)] 的零點數目相當。 而後者大約有 (請大家 DIY) θ(t)/π ~ (t/2π)ln(t/2π)-(t/2π) 個。 不知大家是否還記得， 這正是我們在 第五節 中介紹過的 Riemann 的三個命題中迄今無人能夠證明的第二個命題！ 當然， 我們這個也不是證明 (真可惜， 否則的話， 嘿嘿 ...)， 但這應該使大家對我們休閒手段之高明有所認識吧？

上一篇 | 返回目錄 | 下一篇

二零零四年五月二十三日寫於紐約
http://www.changhai.org/

--------------------------------------------------------------------------------

注釋

[注一] 要注意的是， Z(t) 在一個區間的兩端具有不同符號只是 Riemann ζ 函數在該區間存在零點的充分條件， 而非必要條件。 換句話說， 假如我們不幸發現 Z(t) 在我們所取的兩點上具有相同的符號， 不能直接得出結論說 Riemann ζ 函數在這兩點之間不存在零點。 至於這是為什麼， 請大家 DIY。

[注二] 但另一方面， 隨着 t 的增加， Riemann-Siegel 公式中的求和所包含的項數會逐漸增加， 因此計算的總體複雜程度並不呈現下降趨勢。

[注三] 對於求和中有不止一項的情形， 修正所依據的不僅僅是 R(t)， 但思路是類似的。