Riemann 猜想漫談 (九)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十三. 從紙筆到機器

Riemann-Siegel 公式的發表大大推進了人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點的計算。 如我們在前兩節所看到的， Riemann-Siegel 公式中的求和項數是由 n2<(t/2π) 確定的， 這表明用 Riemann-Siegel 公式計算一個位於 s=1/2+it 附近的零點所需的計算量為 O(t1/2)。 而在這之前人們所用的 Euler-Maclaurin 公式計算同樣的零點所需的計算量約為 O(t)。 這兩者的差別 - 也就是 Riemann-Siegel 公式相對於 Euler-Maclaurin 公式的優越之處 - 隨着 t 的增大而變得越來越明顯。

Riemann-Siegel 公式發表大約四年後， Hardy 的學生、 英國數學家 Edward Titchmarsh (1899-1963) 成功地計算出了 Riemann ζ 函數前 1041 個零點的位置， 它們全都位於 critical line 上。 這是十一年來數學家們首次突破我們在 第八節 提到過的由 Hutchinson 創造的 138 個零點的記錄。 Titchmarsh 的工作在 Riemann ζ 函數非平凡零點計算史上的地位是雙重的： 從計算方法上講， 它是數學家們首次用 Riemann-Siegel 公式取代 Euler-Maclaurin 公式進行大規模零點計算； 從計算手段上講， Titchmarsh 的計算使用了英國海軍部用來計算天體運動及潮汐的一台打孔式計算機 (punched-card machine)， 這是數學家們在零點計算上首次用機器計算取代傳統的紙筆計算。 這兩個轉折是數學與技術相輔相成的結果， 它奠定了直到今天為止人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點進行計算的基本模式。

Titchmarsh 之後零點的計算因第二次世界大戰的爆發中斷了十幾年。 戰後最先將計算推進下去的是著名的英國數學家 Alan Turing (1912-1954)。 Turing 其實早在戰前就對 Riemann 猜想產生了興趣。 與當時許多其他年輕數學家一樣， Turing 對 Hilbert 的數學問題很感興趣， 這其中又尤以第十問題與第八問題 (Riemann 猜想是第八問題的一部分) 最讓他着迷 [注一]。 他後來主要的研究都是以這兩個問題為主軸展開的。 1936 年 Turing 到 Princeton 大學讀研究生， 在那裡見到了來訪的 Hardy (他原本希望能在 Princeton 見到 Gödel， 可惜後者當時已經去了歐洲)。 那時 Hardy 對 Riemann 猜想的態度已經相當悲觀。 這種悲觀情緒對 Turing 產生了影響， 他覺得這麼多年來所有證明 Riemann 猜想的努力都歸於失敗， 也許是到了換個角度思考問題的時候了。 人們一直始終無法證明 Riemann 猜想， 也許並非因為它太難， 而是因為它根本就不成立！

一個數學命題， 它的成立需要證明， 不成立同樣需要證明。 假如 Riemann 猜想真的不成立， 我們怎樣才能證明這一點呢？ 我們當然可以試圖從數學上直接證明其不成立， 這是一種方法。 但還有一種辦法， 那就是找到一個反例， 即找到一個不在 critical line 上的零點。 這種方法的好處是不在乎多少， 只要一個反例就足夠了。 被後世譽為 “計算機與人工智能之父” 的 Turing 顯然對後一種方法情有獨鍾。 當時 Turing 已經提出了後來以他名字命名的 Turing 機的概念。 很自然的， 他希望建造一台機器來計算零點。 但是這一工作起步不久， 英國就捲入了二戰， Turing 開始參與英國情報部門破譯德軍密碼的工作， 建造機器的計劃被擱置了下來。 戰爭結束後， Turing 漸漸恢復了建造機器及計算零點的計劃。 Turing 雖然是以其對計算機及人工智能領域的卓越貢獻著稱的， 但他在傳統數學領域也有相當深厚的功力， 早在讀本科的時候， 他就曾獨立證明了概率論中著名的中心極限定理 (可惜比 J. W. Lindeberg 晚了十餘年)。 在建造機器的同時， Turing 對計算零點的數學方法也進行了研究， 並做了一些改進。

經過幾年的努力， 到了二十世紀五十年代初， Turing 終於完成了他的機器， 並且比創造戰前記錄的 Titchmarsh 略進一步， 計算出了前 1104 個零點。 不過他試圖尋找 Riemann 猜想反例的努力並不成功， 因為所有這些零點全部位於 critical line 上， Riemann 猜想在他計算所及的範圍內巋然不動。 在那之後， Turing 的機器壞掉了。 幾乎與此同時， 他的個人生活也遭遇了極大的挫折。 他於 1952 年被控犯有當時屬於違法的同性戀行為， 受到強製藥物治療及緩刑的處罰。 兩年後他被發現因氰化物中毒死於寓所。 多數人相信他是自殺。[注二]

在 Turing 之後， 隨着計算機發展的加速， 數學家們對零點的計算也越來越快。 1956 年， D. H. Lehmer 計算了前 25000 個零點； 兩年後 N. A. Meller 把這一記錄推進到了 35337 個零點； 1966 年， R. S. Lehman 再次刷新記錄， 他計算了 250000 (二十五萬) 個零點； 三年後這一記錄又被 J. B. Rosser 改寫為 3500000 (三百五十萬) 。。。

Riemann ζ 函數的零點計算步入了快車道！

十四. 最昂貴的葡萄酒

驗證了三百五十萬個零點雖不足以證明什麼， 但對 Riemann 猜想還是有着一定的心理支持作用。 不過許多數學家對這點心理支持作用很不以為然， 其中有一位數學家最為突出， 不僅不以為然， 而且還 “頂風作案”， 跟同事打賭！

這位數學家是德國波恩 Max Planck 數學研究所 (Max Planck Institute for Mathematics) 的 Don Zagier (1951- )。 對 Zagier 來說， 區區三百五十萬個零點簡直就是 zero evidence， 因為他認為 Riemann ζ 猜想的反例根本就不可能出現在這麼前面的零點之中， 因此在他看來當時已完成的所有有關零點的計算其實都還遠沒有涉及到真正有價值的區域。 那麼要計算多少個零點才可能會對 Riemann 猜想具有判定性的價值呢？ Zagier 通過對一些由 Riemann ζ 函數衍生出來的輔助函數的研究， 認為大約要 300000000 (三億) 個零點。

Zagier 的懷疑論調很快遇到了對手。 二十世紀七十年代初， Max Planck 數學研究所的訪客名單中出現了一位鐵杆的 Riemann 猜想支持者： Enrico Bombieri (1940- )。 這是一位非同小可的人物， 他在不久之後的 1974 年獲得了數學最高獎 - 菲爾茲 (Fields) 獎。 Bombieri 深受哲學家 William of Occam 的科學簡單性原則 (俗稱 Occam 剃刀) 的影響， 對他來說， 一個不在 critical line 上的零點就象交響樂中的一個失控的音符， 是完全無法令人接受的。

一個懷疑、 一個深信， 怎麼辦呢？ Zagier 提議打賭。 不過人生苦短， 兩人都意識到自己未必有機會能在有生之年見到 Riemann 猜想被證明或證偽。 為了不使賭局太過遙遙無期， 雙方決定以 Zagier 認為具有判定性價值的前三億個零點為限。 如果 Riemann 猜想在前三億個零點中出現反例， 就算 Zagier 獲勝； 反之， 如果 Riemann 猜想被證明， 或者雖然沒被證明但在前三億個零點中沒出現反例， 則算 Bombieri 獲勝 [注三]。 他們定下的賭注為兩瓶波爾多葡萄酒 (Bordeaux)。

Zagier 估計這個賭局要分出勝負也許得花上三十年， 因為當時計算機的運算能力距離能夠計算三億個零點還相差很遠， 而且計算 Riemann ζ 函數的零點沒什麼應用價值， 在 CPU 時間十分昂貴的時代並不是人們熱衷的計算課題。 可是沒想到僅僅過了幾年， 1979 年， 由 Richard Brent 領導的一個澳大利亞研究組就把零點計算推進到了前 81000000 (八千一百萬) 個零點。 不久由 Herman te Riele 領導的一個荷蘭研究組更是成功地計算出了前兩億個零點。 所有這些零點都毫無例外地落在 Riemann 猜想所預言的 critical line 上。 這一系列神速的進展對 Zagier 的錢包顯然是大大的凶兆， 到這時他已經知道自己大大低估了計算機領域的發展速度。 不過 te Riele 在兩億個零點處終止計算還是讓 Zagier 鬆了一口氣， 他慶幸道： “毫無疑問他們有能力推進到三億， 但感謝上帝， 他們沒那麼做。 現在我總算有幾年時間可以喘息了。 他們是不會為了多算 50% 而推進的。 人們會等待能夠算到十億個零點的那一天， 那將是許多年後的事了。”

Zagier 的如意算盤原本打得不錯， 計算零點不象百米賽跑， 在百米賽跑中由於比賽記錄已經逼近人類所能達到的速度極限， 因此大家不惜為百分之一秒爭個你死我活。 計算零點卻是一條沒有盡頭的征程， 計算能力的發展在相當長的時間內也是沒有盡頭的。 在這種沒有盡頭的征程上， 僅僅多算百分之幾十的零點是不夠刺激的， 人們更感興趣的是數量級上的推進。 這正是 Zagier 認為自己可以喘息幾年的心理屏障。 可惜人算不如天算。 Zagier 萬萬沒有想到他的一位好朋友 Hendrik Lenstra 當時正在荷蘭， 不僅在荷蘭， 而且與 te Riele 同在一個城市 - 阿姆斯特丹！ Lenstra 是知道 Zagier 和 Bombieri 的賭局的。 如今眼看好戲就要開演了， 正自心癢難搔， te Riele 竟然不合時宜地在兩億個零點處停了下來， Lenstra 的那份難受就甭提了 (大家以後可得留神好朋友啊！:-)， 套用一句韋爵爺的話說， 那真是 “生可忍， 熟不可忍”。 於是他給 te Riele 做思想工作： 你知不知道， 如果你算到三億， Zagier 就會輸掉一個賭局！ te Riele 一聽原來計算零點還有這麼偉大的意義， 那還等什麼？ 把 Zagier 幹掉啊！ 於是大家一鼓作氣把計算推進到了 307000000 (三億零七百萬) 個零點處。 那是在 1982 年。

Zagier 輸了。

Zagier 兌現了諾言， 買來兩瓶葡萄酒， Bombieri 當場打開其中一瓶與 Zagier 共享。 這一瓶酒， 用 Zagier 的話說， 是世界上被喝掉的最昂貴的葡萄酒。 因為正是為了這兩瓶酒， te Riele 特意多計算了一億個零點。 這花費了整整一千個小時的 CPU 時間， 而 te Riele 所用的計算機的 CPU 時間在當時大約是七百美元一小時。 換句話說， 這兩瓶酒是用七十萬美元的計算經費換來的， 被他們喝掉的那一瓶價值達三十五萬美元！

喝完了那瓶酒， Zagier 從此對 Riemann 猜想深信不疑。 只不過， Bombieri 相信 Riemann 猜想是因為它的美麗， 是因為 Occam 剃刀； 而 Zagier 相信 Riemann 猜想是因為證據， 是因為他覺得證據已經足夠強了。

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二零零四年六月十九日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] Hilbert 第十問題是： 給定一個具有任意多未知數的 Diophantine 方程， 設計一個過程， 能用有限多次運算確定該方程是否具有有理整數解。 Turing 對計算機及人工智能的研究與此有着密切的關係。

[注二] 我有時覺得 Turing 與 John Nash (影片 “Beautiful Mind” 的主角) 頗有相似之處： 兩人都對純數學有濃厚的興趣， 研究成果卻對應用領域影響深遠； 兩人都對物理學有一定的興趣； 兩人都有為軍方服務的經歷； 兩人後來的精神世界都偏離了常軌 ... ...

[注三] 嚴格講， 他們的條款還忽略了一種可能性， 那就是 Riemann 猜想在數學上被證偽， 但反例並不在前三億個零點之中 (或雖然在前三億個零點之中， 但尚未有人進行計算)。 顯然， 這個忽略對 Zagier 比較不利， 不過它對賭局後來的發展沒有產生影響。