Riemann 猜想漫談 (十一)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十七. 茶室邂逅

Montgomery 雖然得到了有關 Riemann ζ 函數非平凡零點對關聯函數的猜測性結果。 但這一結果究竟有何深意， 對他來說還是一個謎。 他覺得這個結果應該預示着什麼東西， 可那究竟是什麼呢？ 他並不知道， 這多少讓他感到有些苦惱。

帶着他的研究成果， 也帶着那幾分苦惱， Montgomery 於 1972 年春天飛往美國 St. Louis 參加一個解析數論會議。 那趟旅行對 Montgomery 有着一舉數得的意義。 除會議本身外， 他還到 Michigan 大學 (University of Michigan) 所在地 Ann Arbor 買了房子， 因為此前不久他已接受了一份 Michigan 大學的工作 (Montgomery 目前仍在 Michigan 大學數學系)。

至此那趟旅行已經獲得了精神與物質的雙重豐收。 但在結束旅程前 Montgomery 還有一事放心不下。

我們在 第三節 曾經提到 Gauss 有一個 “壞毛病”， 那就是常常不發表自己的工作， 結果使得同時代的許多數學家在研究課題上與他 “撞車” (與 Guass 這樣的大師玩碰碰車， 誰的腦袋先碰破就不必說了)。 無獨有偶， 二十世紀的 Princeton 高等研究所也出了一位有同樣 “壞毛病” 的數學家， 那便是 Atle Selberg (1917-)。 Selberg 在 Riemann 猜想的研究中有着極為重要的地位， 我們在後文中將會更多地介紹他， 這裡就不贅述了。 讓 Montgomery 放心不下的就是自己會不會與 Selberg “撞車”？ 自己的這項研究工作會不會不幸在 Selberg 的某一疊草稿紙上已經有了？ 當然， 除此之外他也很想聽聽這位 Riemann 猜想研究中的頂尖高手對自己的這項工作的看法， 特別是對結果背後含義的理解。 於是在返回英國前他決定在 Princeton 高等研究所做短暫的停留， 以便會見一下 Selberg。

Montgomery 如願見到了 Selberg。 但 Selberg 聽完了 Montgomery 的介紹只是禮貌地表示了興趣， 卻沒有提出具體意見。 不過他總算也沒有說： “幹得不錯， 小伙子， 但是 N 年之前我已經證明過這樣的結果了”， 還是讓 Montgomery 鬆了一口氣。

Princeton 高等研究所 Fuld Hall
見過了 Selberg， Montgomery 便和朋友 Sarvadaman Chowla (1907-1995) 到 Fuld Hall 去喝下午茶。 喝下午茶雖是一種休閒， 在 Princeton 高等研究所的學術氛圍中卻是一個重要的組成部份。 在這一時間裡來自世界各地、 從事不同研究的學者們互相攀談， 交流看法， 往往會撞擊出一些意想不到的智慧火花。

Montgomery 和 Chowla 正在喝茶閒聊的時候， 一位物理學家走了進來。

在 Princeton 高等研究所這樣一個科學家陣容豪華得近乎奢侈的地方， 隨便哪個角落碰上的都可能是非同小可的人物。 這位漫步走進茶室的物理學家也不例外。 此人在二十世紀中葉曾因證明了量子電動力學的幾種形式體系彼此等價而獲得了很高的聲譽， 也為他贏得了 Princeton 高等研究所的終生職位。 而這項研究還只不過是他科學生涯中許許多多研究中的一個。 他的研究涉及到核物理、 凝聚態物理、 天體物理， 乃至天體生物學等諸多領域。 這位物理學家便是 Freeman Dyson (1923-)。 在二十世紀物理殿堂的璀璨群星中 Dyson 當然遠不是最傑出的， 但那個午後他和 Montgomery 的世界線在高等研究所的短暫交匯卻是科學史上一段難忘的佳話， 對於 Riemann 猜想的研究來說也是一個奇峰突起的精彩篇章。

Chowla 是一位交際高手， 一邊和 Montgomery 喝茶聊天， 一邊仍能眼觀六路、 耳聽八方。 Dyson 剛一進門就被他發現了， 於是他問 Montgomery： “你見過 Dyson 嗎？”， Montgomery 說沒有， Chowla 就說我給你引見一下。 Montgomery 心想自己做的東西和 Dyson 八杆子都打不着， 再說喝完茶就走人了， 何必還特意打擾 Dyson？ 就說不必了。 但 Chowla 卻是一個從來不把 “不” 字當成答案的傢伙， 當下二話不說就把 Montgomery 拽到了 Dyson 跟前 (謝謝 Chowla！)。

就這樣 Dyson 和 Montgomery 攀談了起來。 Dyson 問 Montgomery 最近在研究什麼？ Montgomery 就把自己對 Riemann ζ 函數非平凡零點分布的研究敘述了一下。 Dyson 禮貌地聽着， 他對這一領域並不熟悉。 連 Selberg 都沒有發表具體的看法， Montgomery 也並不指望這番泛泛介紹會得到比禮貌地點點頭更多的回應。

但是當他介紹到自己所猜測的密度函數 ρ(t) = 1-[sin(πt)/πt]2 (詳見 第十六節) 時， Dyson 的眼睛猛地睜大了！

因為這個讓 Montgomery 找不到北， 甚至連 Selberg 也看不出端倪來的密度函數對 Dyson 來說卻一點也不陌生， 那正是隨機厄密矩陣 (Random Hermitian matrices) 本徵值的對關聯函數。 物理學家們研究這類東西已經有二十年了！

而 Dyson 本人也早在十年前就系統地研究了隨機矩陣理論， 是這一領域公認的先驅者之一。 即使找遍整個世界， 也不可能找到一個比 Dyson 更合適的人來和 Montgomery 共喝那杯下午茶了。 他們的相遇本身就是一個幸運的奇蹟[注一]。

十八. 隨機矩陣理論

身為理論物理學家的 Freeman Dyson 如何會研究起隨機矩陣理論來的呢？ 這當然還得從物理學說起。

我們知道在物理學上可以嚴格求解的問題是少之又少的。 而且物理理論越發展， 可以嚴格求解的問題就越少。 舉個例子來說， 在 Newton 引力理論中二體問題可以嚴格求解， 但一般的三體問題就不行[注二]； 到了廣義相對論中連一般的二體問題也解不出了， 只有單體問題還可以嚴格求解； 而到了量子場論中更是連單體問題也解不成了。

另一方面， 現實物理中的體系往往既不是單體， 也不是二體或三體， 而是多體， 少則十幾、 幾十 (比如大一點的原子、 分子)， 多則 1023 或更多 (比如宏觀體系)。 很明顯， 對現實物理體系的研究離不開各種近似方法。 這其中很重要的一類方法就是統計方法， 由此形成了物理學的一個重要分支： 統計物理。

在統計物理中， 人們不再着眼於對物理體系的微觀狀態進行細緻描述 (因為這種細緻描述不僅無法做到， 而且對於確定體系的宏觀行為來說是完全不必要的)， 取而代之的是 “系綜” 的概念。 所謂 “系綜”， 指的是滿足一定宏觀約束條件的大量全同體系的集合， 這些體系的微觀狀態具有一定的統計分布， 我們感興趣的體系的宏觀狀態就由相應物理量的系綜平均值所給出。

在傳統的統計物理中， 組成系綜的那些全同體系具有相同的哈密頓量 (Hamiltonian)， 只有它們的微觀狀態才是隨機的。 但是隨着研究的深入， 物理學家們開始接觸到一些連這種方法也無法處理的物理體系， 其中一個典型的例子就是由大量質子中子組成的原子核。 這種體系的相互作用具備了所有可以想象得到的 “壞品質” (比如耦合常數很大， 不是二體相互作用， 不是有心相互作用等)， 簡直是 “五毒俱全”。 對於這種體系， 我們甚至連它的哈密頓量是什麼都無法確定。 這樣的體系該如何處理呢？ 很顯然還是離不開統計的方法。 只不過以前在系綜中只有各體系的微觀狀態是隨機的， 現在卻連哈密頓量也不知道了， 既然如此， 那就一不做二不休， 乾脆把哈密頓量也一併隨機化了。 由於哈密頓量可以用矩陣來表示， 因此這種帶有隨機哈密頓量的量子統計系綜可以用隨機矩陣理論來描述。 這一點最早是由 Eugene Wigner (1902-1995) 於 1951 年提出的[注三]。

把哈密頓量隨機化不等於說對哈密頓量的結構就沒有任何限制了。 二十世紀六十年代初， Dyson (正是與 Montgomery 在茶室里偶遇的的那位 Dyson) 對隨機矩陣理論進行了深入的研究， 並在 1962 年一連發表了五篇非常漂亮的論文。 這些論文在隨機矩陣理論的發展中具有奠基性的作用。 在這些論文中 Dyson 證明了隨機矩陣理論可以按照體系在時間反演變換 T 下的性質分為三種類型：

如果體系不具有時間反演不變性， 則演化算符為幺正矩陣 (Unitary Matrices)。
如果體系具有時間反演不變性， 且 T2=I， 則演化算符為正交矩陣 (Orthogonal Matrices)。
如果體系具有時間反演不變性， 且 T2=-I， 則演化算符為辛矩陣 (Symplectic Matrices)。
這裡 Dyson 用演化算符 U 取代了哈密頓量 H， 這兩者之間由 U=exp(-iHt) 相聯繫。 用演化算符的好處是它的參數空間是緊緻的。

除了按照對稱性對演化算符的結構進行分類外， 還有一個需要解決的問題就是哈密頓量的分布函數。 Dyson 引進的是 Gauss 型分布， 這是數學物理中比較常見的一種分布。 在這種分布下具有上述三種對稱性的系綜分別被稱為： Gaussian Unitary Ensemble (GUE), Gaussian Orthogonal Ensemble (GOE) 和 Gaussian Symplectic Ensemble (GSE)。

限於篇幅， 下面我們就只討論 Gaussian Unitary Ensemble， 它所對應的體系哈密頓量是厄密的， 也就是 Dyson 所說的 “隨機厄密矩陣”。 Gaussian Unitary Ensemble 中的隨機厄密矩陣的幾率測度定義為：

P(H) dH = C exp[-tr(H2)/2σ2] dH

其中 C 為歸一化常數， H 為體系的哈密頓量， σ 為標準差， 通常取為 2-1/2。

對於一個量子體系， 能級分布是在理論與觀測上都極其重要的性質。 這也是隨機矩陣理論中物理學家們最感興趣的東西之一。 物理學家所說的能級用數學術語來說就是哈密頓量的本徵值。 那麼隨機厄密矩陣的本徵值是怎樣分布的呢？ 分析表明， 一個 N 階隨機厄密矩陣的本徵值分布密度為：

P(λ1, ... , λN) = C exp[-Σiλi2] Πj>k(λj-λk)2

其中 λ1, ... , λN 為本徵值， C 為歸一化常數。

通過對這一分布密度的積分， 我們可以計算出隨機厄密矩陣本徵值的各種關聯函數。 但是這些關聯函數的表觀複雜程度與本徵值的平均間距有很大關係， 因此我們要先對本徵值做一點處理， 以便簡化結果。 這一處理所依據的是 Wigner 曾經證明過一個結果， 那就是當矩陣階數 N→∞ 時， n 階隨機厄密矩陣的本徵值趨向於區間 [-2(2n)1/2, 2(2n)1/2] 上的半圓狀分布， 即：

P(λ) dλ = (8n-λ2)1/2 dλ/4π

其中 P(λ) dλ 為區間 (λ, λ+dλ) 上的本徵值個數。 這一規律被稱為 Wigner 半圓律 (Wigner Semicircle Law)。 利用這一規律， 我們對本徵值做一個標度變換， 引進：

μ = λ(8n-λ2)1/2/4π

可以證明 (請讀者自己證明)， 這一變換就象我們在 第十六節 中對 Riemann ζ 函數零點虛部所做的處理那樣， 將本徵值的間距歸一化為： Δμ~1。 在這種間距歸一化的本徵值下關聯函數的形式變得相對簡單， 其中對關聯函數的計算結果為：

P2(μ1, μ2) = 1 - [sin(π|μ2-μ1|)/π|μ2-μ1|]2

看到這裡， 大家想必也和 Dyson 一樣看出來了， 隨機厄密矩陣本徵值的對關聯函數正是我們在 第十六節 中介紹過的， Montgomery 所猜測的 Riemann ζ 函數非平凡零點的對關聯函數！ 當然那時候 Montgomery 用的不是象 “對關聯函數” 這樣摩登的術語， 事實上 “對關聯函數” 這一術語 Montgomery 在和 Dyson 交談前連聽都沒聽說過， 他自己用的是象 “我正在研究零點間距” 這樣土得掉渣的 “白話文”。

在本節快要結束的時候， 愛思考的讀者可能會提出這樣一個問題， 那就是為什麼要選擇 Gauss 型分布？ 對於這個問題， 實用主義的回答是： Gauss 型分布是數學上比較容易處理的 (不要小看這樣的理由， 當問題複雜到一定程度時這種理由有時是最具壓倒性的)； 稍為深刻一點的回答則是： Gauss 型分布在固定的 |H|2 系綜平均值下具有最大的熵， 換句話說它描述的是在一定約束下具有最大隨機性的體系； 但是最深刻的回答卻是： 我們其實並不需要特意選擇 Gauss 型分布！ 隨機矩陣理論的一個非常引人注目的特點便是： 在矩陣階數 N→∞ 的極限下它的本徵值分布具有普適性 (即不依賴於哈密頓量的特定分布)。 正是這種普適性使得隨機矩陣理論在從複雜量子體系的能級分布到無序介質中的波動現象， 從神經網絡系統到量子混沌， 從 Nc→∞ 的 QCD 到二維量子引力的極為廣闊的領域中都得到了應用。

但是把隨機矩陣理論的所有這些不同尺度、 不同維度的應用加在一起， 也比不上它與 Riemann ζ 函數非平凡零點分布之間的關聯來得神奇。 Montgomery 曾經為不知道自己的結果預示着什麼而苦惱， 現在他知道了那樣的結果也出現在由隨機矩陣理論所描述的一系列物理現象中。

但這與其說是解惑， 不如說是一種更大的困惑。 象 Riemann ζ 函數非平凡零點分布這樣最純粹的數學性質怎麼會與象複雜量子體系、 無序介質那樣最現實的物理現象扯上關係的呢？ 這種神奇的關聯本身又預示着什麼呢？

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二零零四年九月五日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 有意思的是， 在與 Montgomery 的這次 “茶室邂逅” 的前一年 (即 1972 年)， Dyson 剛寫過一篇題為 “Missed Opportunity” (“錯過的機會”) 的文章， 敘述了科學史上由於數學家與物理學家交流不夠而錯失發現的一些事例。

[注二] 這裡 “單體”、 “二體”、 “三體” 指的都是點狀分布或可視為點狀分布的體系。

[注三] 當然， 在這一領域中數學家還是要先於物理學家。 隨機矩陣理論在數學中最早是由 J. Wishart 於 1928 年提出的。