Riemann 猜想漫談 (十三)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十二. Bohr-Landau 定理 (上)

日曆又翻過了一個年頭。 不知不覺間， 我們的 Riemann 猜想之旅已經走過了將近一年零兩個月。 在這一年多的時間裡， 我們介紹了 Riemann ζ 函數的定義及其零點， 介紹了它們與素數分布之間的關聯， 也介紹了 Riemann ζ 函數非平凡零點的計算。 沿着零點計算這一方向， 我們介紹了人們對零點分布的統計研究， 以及由此而發現的零點分布與物理之間出人意料的關聯。 這無疑是整個旅程中最令人驚嘆的風景， 事實上也正是這一段風景使我萌生了寫作這一系列的念頭， 從而使得整個旅程成為可能。

看過了這些風景， 現在讓我們重新回到純數學的領地中來。 從純數學的角度講， 對一個數學猜想最直接的研究莫過於是尋求它的證明 (或否證)。 可惜的是， Riemann 猜想直到今天也還沒有一個得到數學界公認的證明 (或否證)。 因此我們所能介紹的只是數學家們試圖逼近 Riemann 猜想 - 或者說逼近 critical line - 的過程。

在前面各節中， 我們曾經介紹過兩個具有普遍意義的零點分布結果。 一個是 第五節 中提到的： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 0≤Re(s)≤1 的區域內。 這是 Euler 乘積公式 的一個簡單推論。 另一個則是 第七節 中提到的： Riemann ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 01/2 有界， 且對 σ≥σ0>1/2 一致有界， 則對於任何 δ>0， 位於 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零點所占的比例為無窮小。

在進一步討論之前， 我們先來解釋或定義一下定理中所涉及的一些術語。 首先解釋一下什麼叫做 “|ζ(s)|2 在直線 Re(s)=σ 上的平均值”。 這個平均值是由

來定義的。 這個定義與函數平均值的普遍定義 - 即函數在區間上的積分除以區間的長度 - 是完全一致的。 只不過由於 Re(s)=σ 的長度無限， 因此在定義中涉及一個極限。 此外由於我們真正關心的是 t 很大的區域， 因此積分下限的選擇並不重要， 為了避免 ζ(s) 在 s=1 處的極點對定理的表述造成不必要的麻煩， 我們選了一個非零的積分下限。

其次， 什麼叫做 |ζ(s)|2 在直線 Re(s)=σ 上的平均值 “對 σ>1/2 有界， 且對 σ≥σ0>1/2 一致有界”？ “對 σ>1/2 有界” 很簡單， 就是說對任何 σ>1/2， 存在常數 T0 及 C 使得：

對所有 T>T0 成立。 而 “對 σ≥σ0>1/2 一致有界” 是說對任何 σ0>1/2， 存在與 σ 無關的常數 T0 及 C 使得上式對所有 σ≥σ0 及 T>T0 都成立。

最後， “位於 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零點所占的比例為無窮小” 指的是位於 {Re(s)≥1/2+δ, 0≤t≤T} 的非平凡零點的數目與位於 {Re(s)≥1/2, 0≤t≤T} 的非平凡零點的數目之比在 T→∞ 時趨於零[注三]。

二十三. Bohr-Landau 定理 (下)

現在我們對 Bohr-Landau 定理的字面含義已經有了一些了解。 它實質上是在 |ζ(s)|2 的平均值與 ζ(s) 的零點分布之間建立了一種聯繫。 這種存在於複變函數的模與零點之間的關聯並不鮮見， 1899 年 J. L. Jensen 提出的 Jensen 公式 (Jensen's xxxxula) 就是一例， 它把一個亞純函數 (Meromorphic Function) 在一個圓域內的零點和極點與函數的模在圓域邊界上的性質聯繫在了一起。 這一公式也正是 Bohr 與 Landau 在證明他們的定理時用到的主要公式。

很明顯， 我們感興趣的是 Bohr-Landau 定理中有關非平凡零點分布的敘述， 即 “對於任何 δ>0， 位於 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零點所占的比例為無窮小”。 但是這一敘述是否成立還有賴於 Bohr-Landau 定理的前提， 即 “|ζ(s)|2 在直線 Re(s)=σ 上的平均值對 σ>1/2 有界， 且對 σ≥σ0>1/2 一致有界” 的成立與否。

幸運的是， 這一前提可以證明是成立的。 為了看到這一點， 我們來分析一個比較簡單的情形， 即 σ≥σ0>1 的情形。 用我們在上文提到的關係式 ξ(s)=ξ(s)， 及 σ>1 時 ζ(σ+it) 的級數展開式 Σnn-σ-it 可得：

|ζ(σ+it)|2 = ζ(σ+it)ζ(σ-it) = ΣnΣmn-σ-itm-σ+it。

另一方面， 由於 σ≥σ0>1 時 ζ(s) 在 s=1 處的極點對計算沒有影響， 因此我們可以將 |ζ(σ+it)|2 的平均值定義中的積分下限取為 -T (相應的將 1/(T-1) 改為 1/(2T)) 以利於計算積分 (這裡再次用到了 ξ(s)=ξ(s))。 將上面有關 |ζ(σ+it)|2 雙重求和表達式代入平均值的定義， 並先交換積分與求和的順序， 再交換求和與極限 T→∞ 的順序 (請讀者自行證明這樣做的合理性)， 可以發現只有 m=n 的項才對結果有貢獻， 而它們的貢獻一致收斂於 Σnn-2σ=ζ(2σ) (請讀者自行證明)。 這表明對所有 σ≥σ0>1 Bohr-Landau 定理中的前提都是成立的。

顯然這樣的簡單證明不適用於 σ≤1 的情形 (因為 ζ(σ+it) 的級數展開式不再適用)， 但我們可以注意到證明結果中的 ζ(2σ) 對所有 σ>1/2 都有意義。 因此讀者們也許會猜測這一結果的適用範圍可以由 σ≥σ0>1 拓展到 σ≥σ0>1/2。 事實也正是如此。 可以證明， 對於任何 σ0>1/2 及 ε>0， 存在與 σ 無關的常數 T0 使得：

對所有 σ≥σ0 及 T>T0 都成立。 這一結果顯然表明 (請讀者自行證明) Bohr-Landau 定理中的前提成立。 這一點在 Bohr-Landau 定理之前就已經被證明， 並出現在 1909 年出版的 Landau 的名著 《素數分布理論手冊》 中。

既然前提成立， 那麼 Bohr-Landau 定理的結論也就成立了。 這樣我們就得到了繼 Hadamard 與 de la Vallée-Poussin 之後又一個有關零點分布的結果： 對於任何 δ>0， 位於 Re(s)≥1/2+δ 的非平凡零點所占的比例為無窮小。 或者換句話說， 在包含 critical line 的無論多小的帶狀區域中都包含了幾乎所有的非平凡零點。

看到這裡， 有些讀者也許會問： 既然包含 critical line 的無論多小的帶狀區域都包含了幾乎所有的非平凡零點， 那麼通過將這個帶狀區域無限逼近 critical line， 我們是不是就可以把那些零點 “逼” 到 critical line 上， 從而證明幾乎所有的非平凡零點都落在 critical line 上呢？ 很遺憾， 我們不能。 事實上單單從 Bohr-Landau 定理所給出的描述中我們不僅無法證明幾乎所有的非平凡零點都落在 critical line 上， 甚至無法證明哪怕有一個零點落在 critical line 上！ 零點的分布完全有可能滿足 Bohr-Landau 定理所給出的描述， 卻沒有一個真正落在 critical line 上 (請讀者想一想這是為什麼)。 這是數學中與無窮有關的無數微妙細節中的一個。

但儘管如此， Bohr-Landau 定理對非平凡零點分布的描述比十八年前 Hadamard 與 de la Vallée-Poussin 所證明的結果還是要強得多。 它雖然沒能直接證明 critical line 上有任何零點 (Hadamard 與 de la Vallée-Poussin 的結果也同樣不能證明這一點)， 但它非常清楚地顯示出了 critical line 在非平凡零點分布中的獨特地位， 即 critical line 起碼是 Riemann ζ 函數非平凡零點的匯聚中心。 這是一個沉穩而紮實的進展， 數學家們正在一步步地逼近着 critical line。

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二零零五年一月三日寫於紐約
http://www.changhai.org/

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注釋

[注一] 在 1914 年之前也有過一些值得一提的結果， 比較著名的一個是 Ernst Lindelöf (1870-1946) 於 1908 年提出的有關虛部 t 趨於無窮時 |ζ(σ+it)| 漸進行為的猜想 - Lindelöf 猜想 (Lindelöf Hypothesis)。 1918 年 Backlund 證明了 Lindelöf 猜想等價於這樣一個命題： Riemann ζ 函數在複平面上 {1/2<σ≤Re(s)≤1, T≤t≤T+1} 的非平凡零點數目為 N(σ, T) = o(lnT)。 讀者們可以對比 第五節 中 Riemann 三個命題中的第一個來思考一下這一猜想的含義。 不過 Lindelöf 猜想雖然遠比 Riemann 猜想弱， 其證明卻困難得出乎意料， 直到今天也還只是一個猜想 (1998 年 N. V. Kuznetsov 曾提出過一個長達 89 頁的證明， 但後來被發現是錯誤的)， 因此我們只在這裡簡略地提一下。

[注二] 這裡我們所用的表述與 Bohr 與 Landau 所用的略有差異。 他們的表述是針對 (1-21-s)ζ(s) 的平均值而給出的。

[注三] Bohr 與 Landau 實際證明的結果比這更具體， 他們證明了對於任何 δ<0， 位於 {Re(s)≥1/2+δ, 0≤t≤T} 的非平凡零點的數目不超過 KlnT (從而所占的比例為無窮小 - 請讀者思考這是為什麼？)。