Riemann 猜想漫談 (十四)

- 盧昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十四. Hardy 定理

就在 Bohr 和 Landau 研究零點分布的同時， 另一位為 Riemann 猜想而着迷的數學家 - Hardy - 也沒閒着。 1914 年， 即與 Bohr-Landau 定理的提出同年， Hardy 的研究也取得了突破性的結果。 這便是我們在 第一節 中提到的那個 “令歐洲大陸數學界為之震動的成就”。 在 Riemann 猜想的研究中， 這一結果被稱為 Hardy 定理[注一]：

Hardy 定理: Riemann ζ 函數有無窮多個非平凡零點位於 critical line 上。

我們知道 (詳見 上節)， 無論 Hadamard， Vallée-Poussin， 還是 Bohr， Landau， 在 Hardy 之前人們所做的有關 Riemann 猜想的所有解析研究， 都沒能證明哪怕一個零點落在 critical line 上。 那時人們所知的有關 critical line 上的零點的全部結果只有我們在 第八節 中提到的 1903 年 Gram 給出的 15 個零點以及 1914 年 (與 Hardy 定理同年) Backlund 計算的 79 個零點。 全部都是零星計算， 且涉及的零點數少得可憐。 而忽然間， 來自英倫島上的 Hardy 居然不動聲色地一舉把 critical line 上的零點數目擴大到了無窮， 不僅遠遠超過 Backlund 的區區 79 個零點， 也遠遠超過了後世所能給出的任何具體計算結果。 因為無論用多高明的計算方法， 無論用多強大的計算設備， 也無論用多漫長的計算時間， 任何具體計算所能驗證的零點數目都是有限的， 而無論多大的有限數量相對於無限來說都只是一個 “零”。 因此 Hardy 定理雖沒有給出 critical line 上任何一個具體的零點數值， 但它通過對這些零點的存在性證明為 Riemann 猜想提供了強有力的支持[注二]， 這種支持從某種意義上講超越了任何可能的具體計算。這樣的一個結果出現在人們對 Riemann ζ 函數非平凡零點還知之甚少的 1914 年， 而且還出現在與歐洲大陸數學界頗為疏離的英國， 不能不令歐洲大陸的數學家們感到震動。

Hardy 定理的證明可以從一個有關 ξ(s) 的積分表達式：

入手。 這裡 00 及 T0>0， 使得對所有 T>T0， Riemann ζ 函數在 critical line 上 0≤Im(s)≤T 的區間內的非平凡零點數目不小於 KT。

那麼 Hardy-Littlewood 定理距離目標 - Riemann 猜想 - 有多遠呢？ 我們可以回憶一下 第五節 中 Riemann 的三個命題中的第一個， 即： 在 00 的情形即可。

[注四] 限於篇幅， 我們略去了證明， 概括的講， 它主要包括三個步驟： 1. [容易] 消去左端的 -1-1/x 及右端被積函數中的 1/z(z-1) 以簡化表達式。 具體做法是用算符 x(d2/dx2)x 作用於 G(x) 的積分表達式的兩端。 2. [容易] 證明簡化後的左端 H(x)=x(d2/dx2)xG(x) 在 x→i1/2 時具有與 G(x) 一樣的行為， 即所有導數都趨於零。 3. [較難] 證明 ξ(1/2+it) 在 t 很大時具有恆定的符號對 2ξ(z)xz-1 的積分產生的貢獻足以使得 H(x) 在 x→i1/2 時的高階導數無法為零。

[注五] 與 Hardy-Littlewood 的合作相比， 發生在華人科學家之間的 李楊之爭 不能不讓人覺得深深地惋惜與遺憾。

[注六] 在數學界， 以 Hardy-Littlewood 命名的最主要的定理是 Hardy-Littlewood Maximal Theorem， 但這一定理並不經常被簡稱為 Hardy-Littlewood 定理， 因此 “Hardy-Littlewood 定理” 這一名稱可算是半個空缺， 這裡我們就用他們在 Riemann 猜想領域內的這一成就來填補這半個空缺。