關於代數學的一些個人看法

Q: “近世代數講完群環域以後就沒再講其他的東西，後面還應該學習些什麼知識，才可以繼續深入研究下去”？

A: (天涯明月刀)

這個問題的複雜程度不亞與代數學本身,我僅談一下自己認識到的一些看法:

首先說明，認為近世代數講完群環域以後就完全是其他更高級的東西的說法是不對的，近世代數中講的僅僅是群 環 域的基本概念及引論，事實上它們每一種都有一門或幾門學科分支，國內很多學校已經有這樣的碩士，博士點，接下來的環與模範疇、同調代數當然是最基本的。我來介紹一下我所接觸的代數學：

我認為代數學是研究代數結構的，這有兩層含義：

第一層含義是研究各種代數結構，從而就不僅是群 環 域，還有這些結構的各種子結構，弱結構和對這些結構的公理進行變形後得到的各種結構;

第二層含義是通過各種途徑研究這些代數結構，比如同調的方法，範疇論的方法,還有新近的量子化方法等等。

代數學有兩種含義，廣義的和狹義的。

廣義的代數是指群,環,域等等(下面將要看到,這個等等是不尋常的)這些結構及研究他們的方法論的總和;

狹義的代數一般專指向量空間上定義了某種滿足一些公理化條件的乘法後的這種結構,這個概念當然可以推廣到模上。

下面列舉我接觸到的部分課程清單(個人觀點,見識有限,分類當然不一定很科學和完整,請大家指正和補充):

基本理論: 群及其表示論
分支:
一般群論 拓撲群（連續群） 置換群及其應用 可解群 冪零群
典型群 有限群 李群 李型單群 高階K-群 無限Ablel群
半群理論 Ellis半群 離散群 組合群論 (線性)代數群
群表示論(常表示與模表示) 等等

基本理論: 環與模範疇, 代數及其表示論,
分支:
一般環論 根論 正則環 局部環 非交換環 結合代數 非交換代數
分次環與模 有限維代數 可除代數 C*代數 算子代數
von Neumann代數 非交換多項式代數 (Ore代數) Artin代數及表示論
腔胞代數 Lie代數 無限維李代數 lie超代數 colored李代數
Kac-Moody代數 頂點算子代數 等等

一些有"名" 的代數:
Hecke代數 Clifford代數 tube代數 Boolean代數 Miscellaneous代數
Steenrod 代數 Azumaya代數 Frobienus代數 Jordan代數 loop代數
Yang-Mills代數 等等

基本理論: 域論與數論
相關:
有限域及其應用 迦羅瓦理論 賦值論
數論導引 解析數論基礎 代數數論基礎 丟番圖分析 超越數論
模型式與模函數論 篩法 代數編碼理論 積性數論 堆壘數論 等等

基本理論: Hopf代數
相關:
Hopf代數 辮子Hopf代數 Hopf*代數 Hopf代數與量子群
Hopf-伽羅瓦擴張 局部緊量子群 等等

基本理論: 同調與上同調理論
相關:
交換代數 同調代數 代數K-理論 高維代數 A∞代數
循環同調 群與李群的上同調 Lie代數的上同調
Etale上同調 Hochschild同調與上同調 等等

基本理論: 範疇論及表示
相關:
阿貝爾範疇 n-範疇 雙範疇(Hopf範疇) 等等

其他如:
格論 泛代數 代數幾何 非交換(代數)幾何 組合矩陣論 代數圖論
不再多說.

數學中是有一些老化的學科，也有些個別人故意增加條件把問題複雜化的事例，代數中有，拓撲學也一樣。但是整個理論（基礎）數學不是沒用的學問，代數學也是一樣，歷史證明也是如此。

伽羅瓦以前恐怕很少人認識到群，伽羅瓦用它解決了一般五次以上方程的根式不可解性，現在群論已成為大部分數學家，物理學家的常識。

範疇論剛剛被提出時沒有幾個人會在乎，現在不僅大部分書採用了範疇的語言，甚至國外許多大學的計算機系都設立了專門範疇論課程。同調論在代數幾何中的巨大威力更是不必說；

Hopf代數從提出到八十年代初的停滯，誰也沒有想到，Dinfeld僅僅添加了一個擬交換性的條件，就使它神奇般地和量子群的研究聯繫起來，並且找到了一大批統計物理中Yang-Baxter方程的解，他因此獲得1990年東京數學家大會上的菲爾茲獎。

代數學好象沒有絕對的主流，因為它是不斷向前發展的，在不同的時期可能有不同的任務，我不知道當今代數學的主要任務是什麼，因為沒有整體的把握，但是一百年來代數學中的一個重大問題恰恰不是別的，而是分類問題。這方面的大事件有：

最早是復半單李代數的分類通過Dynkin圖得到刻畫，共有四大類和五種例外情況，一般的李代數書都有介紹，例如孟道驥的那本；

七十年代左右，Roiter和Auslander獨立的證明了Brauer-Trall第一猜想，發展了路代數的方法，發現了幾乎可裂序列，這被認為是現代代數表示論的開端；77年，Kac分類了李超代數；

八十年代初，規模龐大的有限單群的分類宣告完成，分為三個大類和26個零散單群，中國的段學復，張繼平等作出了重要貢獻；

九十年代以來, 有限維Hopf代數的分類成為研究的熱門，低維（< 40 階）的分類基本完成，素數階， pq 階，2^m 階的分類獲得了較多的研究；一種針對點Hopf代數的新的分類方法已被提出,但是統一的分類綱領還沒有形成。

天涯明月刀 再次聲明，以上內容僅僅是其個人臨時的不成熟的想法.

(已修改)

2005-06-10

From 博士家園論壇 責任編輯: xiaohuhu