數學：應用和樂趣 (修訂版)
大部分學生不喜歡數學，覺得數學沒用，大部分數學老師也講不出數學有什麼用。一般來說，樂趣和有用連在一起，所以，家長和老師都希望找到介紹數學有用的文章。但這類文章，講數學如何的有用，舉的例子很多是二次世界大戰期間，數學家如何神武，為盟軍勝利立下汗馬功勞。二戰過去七十多年了，作者怎麼舉不出新一點的例子呢？類似的文章很多，一談到數學的好處，就是如何訓練思維，如何潛移默化，拐彎抹角講了半天，一提到應用，要麼是很難的數學，象天氣預報，要麼是很遙遠的應用，象黑洞。難道沒有簡單的數學，能夠應用到日常的生活? 有的。
大家在中學都學過對數函數，很多偉大的科學家，象玻爾茲曼，愛因斯坦，申農，用這個簡單的函數做出了重大的科學突破。在這裡，我們用對數函數定義物品的價值。物品的價值定義為
-logbP
其中 P 為物品的稀缺程度，範圍從 0 到 1， 0 為極度稀缺， 1 為無限豐富，b 為這個物品的生產廠家數目。我們來看一下這個函數的性質。
首先，一種物品的價值是稀缺程度的遞增函數，物品越豐富，其價值越低，如果這種物品無限豐富，也就是P = 1，其價值為零。比如說，空氣對我們非常重要，幾分鐘不呼吸，我們就活不下去。但由於空氣無處不在，其經濟價值為零。下圖是價值與稀缺程度之間的關係。
很多人把經濟價值等同於對社會的貢獻。當今糧價很低，很多人認為農民對社會的貢獻低。但如果糧食太貴，有人買不起，很快引發社會動亂。所以很多國家的政府採取各種政策，以保證糧食的充足，同時也造成糧價低廉。很多政府為了保護農民利益，大量補貼農民。從這個價值理論，我們可以清楚看到，經濟價值不等同於對社會的貢獻。
我們再來分析生產廠家的個數對價值的影響。b 越小，物品的價值越高，下圖是物品的價值與生產廠家數目的關係。一樣物品，生產的廠家越少，價值越高，大家都知道壟斷和寡頭經營的行業，利潤很高。這個分析不僅可以應用到產品上，也可以應用到任何社會系統，世界上影響力大的宗教，象猶太教，基督教，伊斯蘭教，大多是一神教，而佛教和大多數早期的宗教，是多神教，一神教對教徒的控制能力比多神教強很多，當一神教碰到多神教的社會，往往會擊敗對方。很多職業收入高，往往是由於這些職業由唯一的組織代表。比如說，加拿大所有的醫生，都屬於同一個醫學學會，沒有任何競爭；加拿大醫生的收費，是統一的，也沒有任何競爭；病人看病，必須通過唯一的家庭醫生，彼此之間沒有競爭。這就是為什麼加拿大醫生的地位，比中國高很多。我們經常說西方經濟是自由競爭的市場經濟，但其中最重要的部門，象醫療，教育，軍工，以及龐大的政府本身，都由工會和壟斷機構控制，很少自由競爭。
減少選擇，對增加價值有決定性的影響。所以幾乎所有經濟，政治活動，都以減少競爭，增加壟斷權力為目的。我們常說的專利法和知識產權保護就是一個例子，知識產權保護最常用的理論是鼓勵創新，但創新最多，給消費者帶來最多利益的行業，象信息技術，往往是知識產權最自由的行業，而知識產權保護最嚴格的行業，象生物醫學，往往是納稅人花大錢，消費者受益甚少的行業。最近， 很多人討論無效疫苗和有毒疫苗的問題。疫苗的採用是由政府決定的，由於政府是最強勢的壟斷機構，這類事情的產生是必然的。
從上面的討論，我們看到，一個簡簡單單的對數公式，可以幫助我們深刻了解這個社會中形形色色的活動。很多原本不喜歡數學的學生，也很開心學到對數函數的各種性質。關於這個公式更多的應用，可參看我的文章：價值的熵理論。
An Entropy Theory of Value: Forthcoming in Structural Change and Economic Dynamics
https://www.researchgate.net/publication/228398386_An_Entropy_Theory_of_Value
