我認為證明有缺陷，看看誰能找出來。
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利用有限覆蓋定理證明閉區間上的連續函數一致連續。
已知：f(x)在閉區間[a,b]上有定義，且f(x)連續。求證：f(x)在閉區間[a,b]上一致連續。
證明：
∵f(x)在[a,b]上連續
上式中的δ
0(ε,x
0)表示δ是ε和x
0的函數，而
即意味着
。
固定ε，只讓x
0在區間[a,b]上變化，則一般來說δ
0也要發生變化。當x
0取遍[a,b]上的所有實數時，[a,b]將被所有x
0的鄰域
構成的集合S覆蓋，或者說S是[a,b]的一個無限開覆蓋。
由有限覆蓋定理得S中有有限個開區間能覆蓋住[a,b]，不妨設這有限個開區間構成的集合為
。
令
（∵i為有限正整數，∴δ
i為有限個，在這有限個δ
i之中一定有最小值），這個δ不再與x
0有關，是因為無論對[a,b]上的哪個數x
i，當
時，總有
。下證對任意x'和x''∈[a,b]，當|x'-x''|<δ時，總有|f(x')-f(x'')|<ε。
事實上，由連續的定義，
那麼，當
時，有
顯然，ε是任意正數，那麼2ε也是任意正數，也相應地存在正數2δ。這就證明了f(x)在[a,b]上一致連續。
