數學及其應用

幾乎所有的數學都源於應用問題，但時代久遠之後，人們往往忘掉了。比如說，幾何學，是一門純數學，但幾何學 （geometry) 的意思是測地學，顯然源於應用問題。對應用問題的理解，很大程度上決定了數學和科學的發展方向。下面我們用拓撲和分析在經濟學領域的應用來分析一下。

很多人都看過一本叫做《美麗心靈》的書，或者根據此書改編的電影。此書的主人公叫納什，他建立了博奕論中一個重要的結果，用的是拓撲學的方法。主流經濟學理論的基礎是一般平衡態理論，其嚴格的數學證明，也是建立在拓撲學基礎上的。可以說，拓撲學為主流經濟學理論提供了嚴格的數學基礎，但這是不是一個合適的基礎？經濟問題是數字問題，一件貨物，如果成本是100塊錢，賣了110塊錢，就能盈利，賣了90塊錢，就會虧本。但是從拓撲學角度，90 ，100 ，110是沒有區別的，所以拓撲學不能表達經濟學和生物學中最根本的特徵，追求非負的投資回報率。可是由於拓撲學理論簡單，早期的數理模型往往源於拓撲學。

價值理論是經濟學理論的基礎。主流經濟學價值理論叫做Arrow-Debreu 理論[1], 為此Arrow 和 Debreu兩人都拿了諾貝爾獎。這個理論也是採用拓撲學方法，不能提供一個定量的分析。而對數函數的方法則對決定經濟價值的因素提供了清晰的分析。我們來具體了解一下。

在一個新的價值理論里 [2], 物品的價值定義為

                                                               -log_bP

其中 P 為物品的稀缺程度，範圍從 0 到 1， 0 為極度稀缺， 1 為無限豐富，b 為這個物品的生產廠家數目。我們來看一下這個函數的性質。

首先，一種物品的價值是稀缺程度的遞增函數，物品越豐富，其價值越低，如果這種物品無限豐富，也就是P = 1，其價值為零。比如說，空氣對我們非常重要，幾分鐘不呼吸，我們就活不下去。但由於空氣無處不在，其經濟價值為零。下圖是價值與稀缺程度之間的關係。

很多人把經濟價值等同於對社會的貢獻。當今糧價很低，很多人認為農民對社會的貢獻低。但如果糧食太貴，有人買不起，很快引發社會動亂。所以很多國家的政府採取各種政策，以保證糧食的充足，同時也造成糧價低廉。很多政府為了保護農民利益，大量補貼農民。從這個價值理論，我們可以清楚看到，經濟價值不等同於對社會的貢獻。

我們再來分析生產廠家的個數對價值的影響。b 越小，物品的價值越高，下圖是物品的價值與生產廠家數目的關係。一樣物品，生產的廠家越少，價值越高，大家都知道壟斷和寡頭經營的行業，利潤很高。這個分析不僅可以應用到產品上，也可以應用到任何社會系統，世界上影響力大的宗教，象猶太教，基督教，伊斯蘭教，大多是一神教，而佛教和大多數早期的宗教，是多神教，一神教對教徒的控制能力比多神教強很多，當一神教碰到多神教的社會，往往會擊敗對方。很多職業收入高，往往是由於這些職業由唯一的組織代表。比如說，加拿大所有的醫生，都屬於同一個醫學學會，沒有任何競爭；加拿大醫生的收費，是統一的，也沒有任何競爭；病人看病，必須通過唯一的家庭醫生，彼此之間沒有競爭。這就是為什麼加拿大醫生的地位，比中國高很多。我們經常說西方經濟是自由競爭的市場經濟，但其中最重要的部門，象醫療，教育，軍工，以及龐大的政府本身，都由工會和壟斷機構控制，很少自由競爭。

 減少選擇，對增加價值有決定性的影響。所以幾乎所有經濟，政治活動，都以減少競爭，增加壟斷權力為目的。我們常說的專利法和知識產權保護就是一個例子，知識產權保護最常用的理論是鼓勵創新，但創新最多，給消費者帶來最多利益的行業，象信息技術，往往是知識產權最自由的行業，而知識產權保護最嚴格的行業，象生物醫學，往往是納稅人花大錢，消費者受益甚少的行業。

從上面的討論，我們看到，一個簡簡單單的對數公式，可以幫助我們深刻了解這個社會中形形色色的活動。很多原本不喜歡數學的學生，也很開心學到對數函數的各種性質。關於這個公式更多的應用，可參看價值的熵理論[2]。

經濟學的拓撲理論最初建立於半個多世紀之前，這些早期的探索者值得我們尊敬，但是，拓撲學理論沒有能夠把實際經濟活動中重要的因素表達出來，而分析理論則可以。

拓撲學理論是數學的主流，另一門數學的主流是代數幾何。代數幾何是關於多項式函數的幾何理論，多項式自然古老，多項式自然重要。但大多數重要的物理問題，生物問題和社會問題包含指數函數和對數函數，所以代數幾何的研究不涉及很多自然界最基本的問題。

自然現象發生在空間和時間之中，自然現象的變化涉及幾個變量的變化，所以，偏微分方程應該是描述自然現象最基本的方法。確實如此，過去一百多年，科學理論的重大突破，大都表現在偏微分方程的提出，象麥克斯韋方程，薛定諤方程，Black-Scholes 方程。而這些偏微分方程的解，大都不是多項式函數。如果一直把代數幾何作為數學的中心，主流的數學研究就越來越偏離自然界最根本的問題。

我們很多人對數學的現狀，科學的現狀，經濟學的現狀不滿意。但是要改變這種狀況，需要我們的積極參與，把好的數學方法引入經濟學研究，把重要的經濟學問題引入數學研究。只有這樣，數學這棵老樹，才能開出絢爛的新花。

具體一點，我們用電磁波譜作一個比喻，從無線電波到伽馬射線，但是給人們帶來最多信息的是人們熟悉的可見光。同樣，從拓撲學到代數幾何，數學方法從一般到具體，拓撲學太一般了，生命科學和經濟學中所需要的定量化往往不能表達，而代數幾何限制過多了，生命科學和經濟學中最常出現的對數函數和指數函數被排除在外。我們最需要的是普通的分析理論，就像我們在日常生活中，最需要的是普通的可見光一樣。

參考文獻

  1. Debreu, G. (1959). Theory of value; an axiomatic analysis of economic equilibrium. New York: Wiley.

2. An Entropy Theory of Value: Forthcoming in Structural Change and Economic Dynamics 

https://www.researchgate.net/publication/228398386_An_Entropy_Theory_of_Value

 下面是一篇關於數學及其在社會科學中的應用的通俗介紹。

數學及其在社會科學中的應用