本文首先回憶1970年以前台灣數學界稀少的人力及其基本工作；然後討論1970年迄今全國各數學系所成長的情形，並選取95個目前從事數學研究工作的學者，分析其年齡分布與獲得博士學位的時間；接著介紹過去二十年國際上主要的數學成就與研究方向；然後討論現今國內數學家從事研究的幾個主題，最後討論我國數學發展幾個值得注意的現象，並提出五點建議。

歷史回顧

就台灣數學界的發展而言，把1970年設為一個分界點是有道理的。在1970年之前，國內數學工作者主要從事於教學工作，獲得博士學位的數學家並不多。1970年之後，許多留學國外得到博士學位的年輕學者陸續回國，國內數學界的人口結構與工作重點才隨之逐漸改變。

反觀西方世界的數學界（含日本、印度、以色列），以布巴基（Bourbaki，一群知名的法國數學家的代稱，參閱本刊59-1月號〈數學界的神祕人物〉）為首的數學思想，強調抽象性、一般性和數學自身的發展，自第二次世界大戰之後盛行一時，在1970年前後布巴基的思想，也逐漸失去其獨擅一尊的地位。

讓我們先回憶一下三、四十年前的歷史吧。

中國古代的數學雖有極輝煌的成就，但是明清兩代（十四世紀之後）未能繼武前賢，早已瞠乎落於西方學者之後。有系統的引入西方數學，始自清季李善蘭（1811～1882年）、華蘅芳（1833～1902年）等人，大量翻譯西方數學書籍。1930年代嶄露頭角的陳建功（1893～1971年）、蘇步青（1902年～）、華羅庚（1910～1985年）、陳省身（1911年～）等人，可說是中國數學家進入世界數學舞台的第一代。可惜由於1949年遷台的大環境因素，這個傳統戛然中斷。

因此台灣數學的發展，在1970年之前，基本上只能從事教育性的工作，積極進行數學研究的人極端稀少。當時具有博士學位者僅中央研究院數學所的林致平（英國倫敦大學）與劉世超（美國威斯康辛大學），台大數學系的沈璿（日本東京帝大）、施拱星（美國伊利諾大學）、許振榮（日本東北大學）、王九逵（美國史丹福大學）、繆龍驥（德國哥廷根大學），清華大學數學系的李新民（美國康乃爾大學）與徐道寧（德國哥廷根大學）。在1950、1960年代那麼惡劣的環境，他們仍能堅守崗位，作育英才，實在不得不令人由衷的敬佩。

在那個年代成長的人可能都還記得，當時的物質環境相當貧乏，文化、政治、資訊也很封閉落後，但是老師們卻非常敬業，大部分學生讀書的熱找矘O端高昂。那時布巴基的數學思想還大行其道，以數學界最高榮譽費爾茲獎（Fields medal，有人譽之為數學的諾貝爾獎）而言，自1950年到1970年二十年間，六屆國際數學家會議產生了18個費爾茲獎得主，有12個人的研究工作與數論、代數幾何、代數拓樸、微分拓樸這些布巴基大力宣揚的數學分支有關。

可是時代的鐘擺開始轉變方向了，越戰升級，美國經濟逐漸惡化，國內崇洋、崇美的社會風氣也受到挑戰。在數學研究內部，與其他學科（如物理、工程、經濟、生物）有關的數學分支，受到應有的重視，加上資訊科學的發展，計算數學與離散數學成為1980年代新誕生的數學分支。

邁入1970年代

1970年之後，留學生返國服務者日眾，數學研究的風氣逐漸建立並鞏固起來。

國內目前共有20個大學設有數學系所，七十七學年度（1988～1989年）概況如表一：

就現有資料來看，大專數學系所的教師與研究人員（含中央研究院數學所研究員、副研究員、助理研究員27人與統計所20人）共有480人。初步統計，獲有博士學位的在250人左右。這些數學工作者平時負擔極沈重的教學工作（微積分及數學系本科課程），有不少人同時還非常積極的進行研究工作。據國科會統計，1989年以研究成果或專題計畫，向國科會自然處申請研究獎助的數學研究者共177人。

我們在這些具有博士學位且經常向國科會申請獎助費的數學家之中，選取95人，就其年齡與獲得博士學位的時間進行分析（見表二與表三）：

值得注意的是，在這95個人之中，除了三人在國內獲得博士學位，三人在日本，二人在英國，法國、德國、加拿大、香港各一人外，其餘83人都在美國取得博士學位。

1970年之後數學研究的幾點觀察

傳統的分類方法，數學研究可分為邏輯、代數與數論、分析、幾何與拓樸學、應用數學、機率與統計。

1950～1960年代是抽象方法獲得高度發展的時期；泛函分析與同調代數的方法，逐漸侵入數學各個領域，數論、模型式、代數幾何、有限群論、代數拓樸、微分拓樸、微分幾何、多複變函數、調和分析、微分方程、機率及統計，是幾個比較活躍並且具主導性的數學分支。

進入1970年代，這些高度發展的數學分支仍然生氣蓬勃的繼續成長，可是一些新的分支與新的現象，如百花競豔般的出現在數學園地。以下僅就個人接觸所及、能力所及的範圍做個簡單描述。想認識這二十年來數學研究全貌的讀者，請參考歷屆國際數學家會議的紀錄、歷年的Max-Planck-Institut Arbeitstagung與Seminaire Bourbaki。

1970年代之後的數學進展，可由以下被解出的著名數學問題看出端倪：

‧Weil猜測（ 定義於有限體之代數多樣體的zeta函數）；

‧代數K理論的建立與應用；

‧Calabi猜測（Ricci曲率與Riemann度量）；

‧Malliavin演算（隨機分析）；

‧Serre猜測（多項式環之外射模）；

‧三維流形之研究；

‧von Neumann代數的分類；

‧四色問題；

‧Frankel猜測、Hartshorne猜測（複射影空間之性質）；

‧有限單群的分類及表現理論；

‧Mordell猜測、Shafarevich猜測、Tate猜測（算術代數幾何）；

‧Monge-Ampere方程與Harnack不等式；

‧三維代數多樣體分類之進展；

‧四維之Poincare猜測與四維流形之分類；

‧Bieberbach猜測（Riemann映射函數之係數估計）；

‧線型規畫之多項式時間問題；

‧C*代數與紐結理論；

‧Yamabe問題（愛因斯坦度量與三維流形）；

‧Schottky問題（KdV方程與Jacobi多樣體）；

‧Birch-Swinnerton-Dyer猜測之進展（定義於有理數之橢圓曲線的Hasse-Weil函數）。

在這些重要的數學突破中，有些是承繼1950、1960年代的方法的，如Weil猜測、有限單群的分類；有些是在傳統的困境打開一條新的出路，如Calabi猜測、三維代數多樣體的分類。但是，有名問題的解決不只具有歷史的意義，它經常發展出一套新的研究方法，提供一個認識過去與現在各種數學理論的新觀點，它也經常開拓新的數學領域，指引下一代數學家新的研究方向。

在這二十年的數學研究中，我們可以觀察到幾個特殊的現象：

一、數學各分支一方面獨立的發展，一方面正尋求整合。

例如，Weil猜測、Mordell猜測、Birch-Swinnerton-Dyer猜測，都是代數幾何與數論結合的證明。在幾何分析方面，一方面是物理與微分幾何提供許多重要而具挑戰性的微分方程；另一方面偏微分方程問題的突破，也解決微分幾何與複解析幾何的許多問題。

二、數學與其他科學的關係日益加強。

例如，1970年代研究規範場論的物理學家，發現某些微分幾何學家與代數幾何學家，竟和他們研究同一類問題。更有趣的，英國數學家S.Donaldson卻應用瞬息子（instantons）研究四維流形。

此外，傳統的純數學數論與代數曲線論，在密碼學與編碼學中，有令人驚奇的應用；不變量理論居然是統計學家建立統計模型的基本想法（充分性理論）；紐結理論甚至和分子生物學的DNA複製有關！

三、非線性問題是數學家新的挑戰。

近年物理學家、化學家、地球物理學家的研究工作出現許多非線性現象，如孤立子、混沌、分叉理論、反應擴散過程。如何解決這些非線性問題，將是數學家一項新的挑戰。

四、計算數學的重要性日漸提高。

由於資訊科學的發展與近代工程設計的需要，如何改進現有的計算方法、如何設計一套好的演算法（algorithm，又譯「算則」）、如何比較各種演算法的優劣與適用性，成為一門迫切而重要的新的數學分支。

五、新的數學分支出現

1970年代之後，許多在1950、1960年代尚未發展成熟或不被重視的數學分支，逐漸嶄露頭角，如代數K理論、Kac-Moody代數、無限維空間的隨機過程、離散數學、控制論。

台灣數學家的現況

1970年之後，由於受過博士學位訓練的留學生大量回國，從事研究工作者一天比一天增加，此地學者的研究論文刊載於國際性學術期刊的數目隨之增多，出席各種國際數學會議的台灣學者的數目也顯著提高，國內學者的研究成果逐漸受到國際間同行的肯定。可以說，台灣的數學活動已經成為國際數學活動的一部分，我們扮演的角色雖然不是挑大梁的主角（美、蘇、英、法、日、德是超級的數學大國），但是在國際舞台上我們畢竟也有一席之地了。

二十年來，國內數學工作者從事許多數學領域的研究，如：邏輯、數論、有限群論、不可交換環、代數幾何、交換代數、李代數、代數拓樸、微分拓樸、微分幾何、調和分析、泛函分析、複變函數論、微分方程、機率、統計、離散數學、數值分析、計算理論、控制理論。以下我們選取幾個領域略加說明（有興趣做進一步了解的讀者，請向國科會科技資料中心索取資料）。在數論方面，多變數的模型式（Siegel modularxxxxs）與大域函數體的超越數論（Drinfeld modules）是國內學者研究的兩個主要的領域。

在代數方面，有限維單代數所形成的Brauer群（Brauer groups and Brauer-Severi varieties）、Kac-Moody李代數的表現理論Verma modules）、具有多項式恆等式的不可交換環（PIalgebras），都有人進行研究。

在分析方面，研究的範圍主要集中在算子理論（operatortheory）與非線性泛函分析（non-linear functional analysis）。

在拓樸與幾何方面，代數拓樸的同倫理論（Steenrod algebras）與CR流形（CR manifolds）的研究，都有相當優異的成果。

在偏微分方程，研究橢圓型（elliptic type）的學者較多，在超線性橢圓型方程（唯一性與分類）的成果尤為可觀。常微分方程領域，在生物數學與數值計算方面都有人從事研究。

離散數學是一門新興的學科，有不少人對設計（optimal designs）、圖論（graph theory）與其他組合問題（extremal set theory）很感興趣。

機率方面，在大離差、擴散過程和無窮維空間的隨機過程，都有人研究。

統計方面，從事基礎研究、應用機率、生物統計、工業統計的學者都相當多。

落實數學研究人才的培養

學術研究的良窳，關鍵的因素還是在人的素質。1970年以前國內數學研究活動尚未全面展開，因此過去二十年的數學工作者，可以說是數學研究工作全面展開的第一代。由於沒有傳統承襲，他們的研究方向與研究題目，都是在沒有人為影響或規畫的環境下，由個人自由決定的；各種學術規範與價值判斷，也是經由長期的各種學術活動自然形成的。在目前已形成的數學生態環境，可以觀察到三個值得注意的現象：

一、比起幾個先進的數學大國，我國從事數學研究工作的人口仍然相當稀少。加上近年國科會研究獎助費的競爭非常激烈，有不少過去有相當研究成績的人，在連續幾年申請不到研究獎助費，失望之餘退出研究行列，諏倏上А

二、除了機率、離散數學、偏微分方程之外，許多研究領域內可以相互討論的同仁，簡直少之又少，有不少數學研究人員幾乎長年處於孤軍作戰的狀態。有機會到日本開會的人都會發現，在日本即使是一個非常專業性的會議，都有幾百人參加。日本能，我們為何不能？

三、由於國內許多數學系所缺乏良好的行政支援與有效率的助教協助教學，許多人在教學與研究的雙重壓力下，苦不堪言。

由於數學研究工作需要大量的時間與腦力活動，在某個研究計畫告一段落之前，研究者的心情經常處於焦慮的狀態，這個事實說明數學研究人才培養不易和易於流失的部分原因。因此如何創造一個良好的環境，使大多數的數學家能夠順利進行研究工作並維持其研究熱眨瑧�該是社會與政府的責任。過去二十年，我們國家的數學研究開始起步，也小有成就，如何鞏固現有的戰果並開創更美好的未來，則是當代數學工作者義不容辭的工作。展望未來，我們提出五點建議就教各位讀者，並與數學界先進與朋友共勉：

一、要鼓勵數學家從事主流性的、有意義的研究方向與研究題目。

二、在數學工作者的養成教育（碩士班、博士班），不只要使學生獲得有深度的基礎訓練，也要注意其廣度，因為在前面已提到，數論與代數幾何、微分方程與微分幾何、C*代數與物理等等各數學分支正尋求整合，數學各分支閉門造車的時代已經成為過去，具有廣度的基礎訓練，將可健全的培養學生對數學問題的品味，使他在廣闊的天地適當的選擇有前瞻性的研究方向，並順利進行其研究工作。

三、學術界與數學界對於建立嚴正的學術規範與勤奮篤實的學風，應逐漸形成共識，否則我國的術界將無法茁壯，國際學術地位也無從提高。

四、政府與民間力量應積極鼓勵從事研究工作的數學家。傳播媒體某些誇張不實的報導，常常使堅守研究崗位的學者非常洩氣，它除了反映某些新聞從業人員的素質之外，還暴露我們社會不尊重學術、不了解學術的習性。

五、我們應該培養更多的數學家，擴大各數學系所的編制，減少教學負擔，使教師有更多的精力與時間從事研究工作。

參考資料：

1.國科會數學研究發展規畫 1986年

2.教育部77學年度大專院校概況統計 1989年

3.王啟明、吳是靜、嚴加安、朱幼蘭 關於數學科學研究的報告 《數學的實踐與認識》 第二期 1988年

4.U.S.Renewing, Mathematics：Critical Resource for the Future（The David report）, Notice Amer. Math. Soc., 31：435～466, 1984.

Mordell猜測

康明昌

任教於美國普林斯頓大學的德國數學家法亭斯（G.Faltings），由於在算術代數幾何傑出的貢獻，獲得1986年的費爾茲獎。在法亭斯的許多成就中，最為人津津樂道的莫過於Mordell猜測。法亭斯在1983年證明Mordell猜測時，只有29歲。

英國劍橋大學教授L. J. Mordell（1888～1972年），在1922年成功的解決某些不定方程式的解。他並且猜測，大多數的有理係數方程式f(x,y)＝0隻有有限多組有理數解。這就是有名的Mordell猜測。

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布巴基集團的創立者之一，法國數學家魏爾（A.Weil）寫作博士論文時，推廣Mordell的定理，卻仍然找不到Mordell猜測的證明。由於始終得不到Mordell猜測的解答，魏爾只好把這個推廣的定理權充博士論文（1928年），儘管他的指導教授J.S.Hadamard（1865～1963年），一再的勸他不要對只完成一半的研究成果自我陶醉。

可是Mordell猜測的解決，卻還要等待將近六十年！

設f(x,y)＝0是有理係數方程式。在考慮f(x,y)＝0的有理數解的時候，我們卻不得不探討f(x,y)＝0所具備的幾何性質：f(x,y)＝0的所有複數解形成一個代數曲線；例如y2=x(x2-1)的實數解是類似如下的曲線，

代數幾何學家不只考慮f(x,y)＝0的實數解，他們還要考慮f(x,y)＝0所有的複數解。把這條代數曲線緊緻化，並且消去奇異點，我們就得到一條平滑緊緻的代數曲線，它就是習稱的「緊黎曼曲面」（closed Riemann surface）。

虧格（genus）是緊黎曼曲面的一種拓樸性質，以下是虧格為0,1,2,3的緊黎曼曲面的形狀：

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現在可以把Mordell猜測完整的敘述如下：

若有理係數方程式f(x,y)＝0定義一個虧格≧2的緊黎曼曲面時，則f(x,y)＝0隻有有限組有理數解。

其實法亭斯不只證明Mordell猜測，他還解決俄國數學家I.R.Shafarevich關於代數曲線與阿貝爾多樣體的猜測，與美國數學家J.Tate關於阿貝爾多樣體的表現理論的猜測。可以說，在法亭斯這一篇論文中，他解決了1930年代以來代數數論與代數幾何三個非常重要、也非常有名的問題。

Mordell猜測的解決，使我們知道方程式xn+yn=zn(n≧3)只有有限多個全異於零的整數解。這使我們對於費瑪問題（即當n≧3，方程式xn+yn=zn有沒有全異於零的整數解？）的了解，邁出一大步。

數學界的諾貝爾獎──費爾玆獎與奈望林納獎

康明昌

據說楊振寧與李政道兩位先生，在1957年得到諾貝爾物理獎的消息，曾促使當時不少青年學子立志研習物理。隨著年齡與識見的增多，加上現實的考驗，許多人逐漸了解諾貝爾獎與學術研究的真諦。李遠哲先生說得好：「科學家努力研究，最快樂的事就是能夠發現新的物質邉擁囊幝傘？茖W家得獎並不是重要的事，社會嘉獎科學家的目的是要使一般社會大眾了解科學家在作什麼、科學家對社會有什麼貢獻。」（林俊義訪問稿──〈立足小分子，縱情大宇宙〉，刊於《台灣文藝》1987年元月號）。

到目前為止，諾貝爾獎並沒有數學這一學科。可是在數學家之間，也有一個像諾貝爾獎那麼崇高的獎，那就是費爾茲獎（Fields medals）與奈望林納獎（Nevanlinna prize）。

費爾茲獎是根據加拿大多倫多大學教授J.C.Fields（1863～1932年）的遺囑與捐贈成立的，自1936年首次頒獎，然後停頓16年，1950年起，每四年召開一次國際數學家會議，每次頒授二到四位費爾茲獎的得主。費爾茲獎授予對當代數學有傑出貢獻的數學家。似乎有個不成文的規定，得獎者的年齡都不超過四十歲。到目前為止，共有三十位費爾茲獎得主。華裔數學家得過費爾茲獎的只有一位，是現在任教於美國哈佛大學的丘成桐教授（1949年生於廣東，1971年美國加州大學柏克萊校區博士，1983年得費爾茲獎，專長是微分幾何與偏微分方程；參閱本刊74-12月號〈與丘成桐一席談〉）。下次的國際數學家會議，將於1990年八月在日本京都大學舉行，屆時將產生幾位新的費爾茲獎得主。

奈望林納獎是由芬蘭赫爾辛基大學提供基金，紀念芬蘭數學家R.Nevanlinna（1895～1980年）而設立的。奈望林納獎的目的是，獎勵在資訊科學的數學理論有傑出貢獻的年輕學者，在1983年與1986年頒過兩次獎，共有兩位奈望林納獎的得主。