常常碰到網友問我，什麼是計算數學？什麼是科學計算？這篇文章企圖闡明數學在“科學計算”里的作用。

首先，什麼是科學計算？在這方面有着不同的定義。在我看來，這應該是用數學作為工具，設計有效的算法，然後在計算機上實現。的確，科學計算和計算機科學有着緊密的聯繫，但不是一回事。科學計算着重於數學的角色，強調數學的作用。通過數學，保證設計方法的有效性，有足夠的精確度，足夠的穩定性，而且提高效率。

還是通過幾個有名的例子來說明問題吧。

例一：快速傅立葉變換 (Fast Fourier transform, FFT)。

我想，這個方法大家都不陌生吧？在很多科學技術領域裡，應用的那個部分里，都需要做傅立葉變換，事實上，當今世界上的計算機在運算的時侯，很多都在作快速傅立葉變換。這裡，你就可以看到數學對它的貢獻了。其實，這僅僅是初等數學，而且還是比較簡單的數學。

一維空間：從0到  之間，均勻地分布N 個點。

頻譜空間：傅立葉級數展開。 

傅立葉級數的係數和點空間之間是有關係的。這樣說吧，如果你知道了這些點值，就能算出這些係數，反之，知道了這些係數，也能算出那些點值。 

計算機在點值和係數的空間來回計算，這是要有代價的。如果已知係數，要算一個點值，這是 N 數量級的工作量；把所有N個點值全算出來 ， 則是 N² 數量級的工作量。反之，如果已知點值，要把所有N個係數全算出來，也 是 N²  數量級的工作量。當 N 很大時，這是相當大的計算量，這不，如果 N = 100000，再平方一下，這數字太可怕了，而且，計算機的大量運算會產生誤差積累，導致算出的結果不夠精確。

能不能把 N² 降下來？能。快速傅立葉變換 ( FFT) 的思想其實很簡單：仔細觀察公式，發現有很多重複計算。在算點值時，打個比方（純粹胡說）：第一個點，第四個點，第七個點。。。有重複計算。FFT 把重複計算的部分，一次性算好，然後在第一個點，第四個點，第七個點。。。同時使用。就這麼點簡單的思想，你只要把它做到極致，一個 N²  數量級的工作量就降到了N log N 數量級了，相比於 N，log N 是一個很小的數，幾乎等同於常數。這，是一個革命性的創舉。

可以這麼說，如果沒有得益於快速傅立葉變換( FFT)的應用，各種信號處理，電子工程，絕對不會變得像今天這麼廣泛。FFT 在數學上是一個很簡單的東西，這件事情之所以做得非常漂亮，就是在數學上並沒有做新的事情，也沒有改變原來的公式，思路也是簡單的，只是把傅立葉公式算得很快，多快好省幹革命。

FFT的第一篇文章，1965年發表在Mathematics of Computation , 這是美國數學學會的頂級雜誌，也是非常古老的計算數學雜誌。這篇FFT 論文的影響力是巨大的。 

例二：快速多極法 （fast multi-pole method） 

這種方法是用來快速計算 N 個粒子之間兩兩相互作用的效果。 比如，兩兩粒子間的引力作用。對一個固定的粒子來說，它的運動取決於它和其他所有粒子兩兩相互作用的效果之和。把這些相互作用都算清楚，需要 N 數量級的工作量。那麼，要算好所有 N 個粒子的運動規律，則需要 N²  數量級的工作量。

這次運氣不好，和 FFT 不同，我們似乎找不到明顯的重複運算 (除了兩兩相互作用只需算一次，這只能減少一半運算量，沒法在數量級上減少)。但這難不倒數學家。數學家們發現，一個粒子和距離它較遠的一堆粒子的相互作用，不用兩兩算清楚，只需要算這個粒子和這一堆粒子（看成一個大粒子）的相互作用，也就八九不離十了。當然，誤差是多少，一堆粒子到底可以多大，如何定義 “較遠”，這些都要分析清楚。這次沒有辦法像 FFT 一樣得到和原來公式一樣的數學效果，但是，如果給定能容忍的誤差，比如千分之一，則上述的辦法只需要 N log N 數量級的工作量。實際上，如果把算法和分析再做得精細些，工作量能降到 N 數量級。這種方法叫做 “快速多極法”。 

快速多極法的發明，歸功於 耶魯大學的 V. Rokhlin和 L. Greengard。1985 年，他們發表在 Journal of Computational Physics 的一篇文章中，首創性地提出和分析了快速多極法。和FFT 類似，這個方法也在科學和工程中得到廣泛的應用。因為這個工作，這兩位數學家得到了美國數學學會 2001 年的 一個重量級獎項 (the Leroy P. Steele Prize)。這項獎通常都是授予純粹數學家的，應用數學家極少得到該獎，這也說明了快速多極法在數學和應用中的雙重重要性。

例三：多重網格法 （multigrid method）

怎樣解大型的線性方程組

                         Ax = b 

A是 N x N矩陣，b 是向量。這個問題看上去十分簡單，用中學學到的Cramer’s Rule 就能得到解。不過，用Cramer’s Rule 的計算量是 N 的階乘（N!）的數量級。當矩陣很大的時候，比如， N=1000， N! 是個非常龐大的數，不信你在計算器上摁一摁，會發現計算器都無法顯示出這麼龐大的結果。不管今天的計算機有多快，都無法在短時間內實現這樣的計算。所以，Cramer’s Rule 在解大型的線性方程組時，只有理論上的意義，沒有實際意義，紙上談兵也。

用高斯消除法（Gaussian elimination）求解，可以將工作量從 N! 數量級降到N³數量級。這已經大大提高了計算效率。對一般的線性方程組，這經常是實際計算中唯一可行的方法。不過， N³  還是實在太大了，數學家希望再進一步降低工作量。對於一些實際應用中的矩陣，有些特殊的性質，比如對稱正定矩陣，何不利用一下？應用數學知識可以設計 N 數量級的算法，如果能如願以賞，的確是美事一樁，故而發明了“多重網格法”。要知道，不是所有的矩陣都能採用多重網格法，矩陣需要滿足特殊的性質。因為哪怕A是對角矩陣，求解也需要 N 數量級的計算，再也沒有油水可榨了，N數量級已經達到了極限。

多重網格法的主要貢獻者是以色列數學家Achi Brandt , 為此，2005 年，他得到了美國工業與應用數學學會(SIAM）和美國計算機學會 (ACM) 共同授予的 “計算科學和工程獎”  (Prize in Computational Science and Engineering )， 這是個非常了不起的大獎。

向科學家們致以崇高的敬禮！