大衛·希爾伯特（David·Hilbert，1862～1943）是二十世紀上半葉德國乃至全世界最偉大的數學家之一。他在橫跨兩個世紀的六十年的研究生涯中，幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，從而把他的思想深深地滲透進了整個現代數學。

　　在哲學光輝下成長的數學大師

　　希爾伯特出生在東普魯士的柯尼斯堡城郊外。他的童年和青年都是在柯尼斯堡度過的。柯尼斯堡是德國著名哲學家康德的故鄉和工作、執教過的地方，具有濃郁的理性主義傳統。像該市所有的孩子一樣，希爾伯特的成長也深受康德傳統的撫育。希爾伯特的母親愛好哲學。每年康德誕辰紀念日，希爾伯特都要陪伴母親去教堂瞻仰康德的半身塑像，一字一句地拼讀聖堂牆上康德的格言：“世界上最奇妙的是我頭上的燦爛星空和我內心的道德準則。”理性地探索奇妙的燦爛星空便成了希爾伯特的終生願望。

　　18歲時，希爾伯特進入柯尼斯堡大學攻讀數學。他在大學學習數學的同時，也學習康德哲學。1884年他博士論文答辯的第二個論題就是“論康德哲學”。他對康德哲學的準確理解，對其合理性和局限性的深刻分析，博得了評委們的一致好評。他一生中多次表明，康德哲學思想滲透到他的數學研究活動之中。23歲時，希爾伯特獲得了博士學位。大學畢業後他曾赴萊比錫、巴黎等地作短期遊學，訪問了眾多的著名數學家。1886年獲柯尼斯堡大學講師資格，1892年任副教授，1893年任正教授。1895年轉任格丁根大學數學教授，直至1930年退休。

　　希爾伯特是20世紀的數學大師，研究成果博大精深，領域涉及代數不變量、代數數域、幾何基礎、變分法與積分方程和數學基礎等，享有很高的學術聲譽。1910年，他榮獲匈牙利科學院第二屆波爾約獎，1902年起一直任有影響的德國《數學年刊》主編。他還是許多國家科學院的榮譽院士。

　　由於希爾伯特的傑出貢獻，德國政府授予了他“樞密顧問”的稱號。在他六十八歲那年，柯尼斯堡市政會授予了他“榮譽市民”稱號。

　　希爾伯特畢生投身與數學研究。在他去世時，德國《自然》雜誌發表過這樣的觀點：現在世界上難得有一位數學家的工作不是以某種途徑導源於希爾伯特的工作。他像是數學世界的亞歷山大，在整個數學版圖上，留下了他那顯赫的名字。

　　理性的洞察力

　　希爾伯特的一生都充滿了理性的精神。在柯尼斯堡市政會授予他“榮譽市民”稱號的儀式上，希爾伯特作了“認識自然和邏輯”的著名演說。他從宣布“認識自然和生命是我們的最高任務”的論題開始，論及到自然客體、經驗事實、邏輯思維、理論表述在人類認識自然中的地位和作用，人類認識自然的途徑、機制和法則，以及數學在認識自然中的地位。希爾伯特的演說，充滿着哲理，閃爍着理性地看待自然的光輝，引人入勝，感染着眾多的聽眾。

　　希爾伯特在數學研究中的理性精神，充分表現在他對“數學問題”在數學研究活動中的作用和地位的認識上。歷史上眾多的數學家整天忙於解決數學問題，但常常對數學問題本身的認識論問題缺乏反思。1888年希爾伯特成功地解決了代數不變量中的“哥爾丹問題”，1898年又成功地解決了變分法中的“狄利克雷原理問題”。這兩個問題都是當時著名的數學難題，它們的解決對數學這兩個分支領域的發展起了積極的作用。希爾伯特切身地體驗到：重大的個別問題是數學的活的血液；單個重大問題的解決，其意義遠遠超出了問題的本身。接着，他對數學問題的一般認識論意義進行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二屆國際數學家大會上作了“數學問題”的演說。在這篇著名的演說中，他論述了“數學問題對數學發展的推動作用”，論述了“數學問題產生的源泉”，論述了“解答數學問題的一般要求和途徑”等認識論和方法論問題。接着，他在總結19世紀數學研究成果和發展趨勢的基礎上，在世紀之交向全世界的數學家們提出了“二十三個數學問題”，他認為這些問題可能是20世紀數學領域中最活躍、最關鍵、最有影響的課題。20世紀以來數學發展的歷史表明，這些問題涉及到現代數學的許多重要領域，引起了數學界持久的關注，對20世紀數學發展的確起了重要的指導作用。不管哪位數學家，若能解決其中一個問題，就能在數學家共同體內獲得一個榮譽地位。

　　挽救數學危機

　　希爾伯特在數學研究中的理性精神，還充分表現在他關於數學基礎研究中“形式主義數學哲學思想”的創立。

　　19世紀80年代，數學家創立了集合論，並將整個數學建立在集合論的基礎之上。但是，當人們試圖證明集合論的相容性時，發現集合論中存在着悖論，也就是說集合論是自相矛盾的。於是數學基礎陷入了深深的危機。

　　面對這種危機，希爾伯特理性地認識到：“必須承認，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長期忍受下去的。”“在數學這個號稱可靠性和真理性的模範里，每一個人所學的、教的和應用的那些概念結構和推理方法竟會導致不合理的結果。如果甚至於數學思考也失靈的話，那麼應該到哪裡去尋找可靠性和真理性呢？”

　　當這種危機來臨時，一些數學家甚至是著名的數學家放棄了自己傳統數學的觀點，並退出了數學基礎研究的戰場；還有一些數學家主張對傳統數學進行嚴厲的批判，禁止使用數學中的一些重要概念（如“實無限”）、重要定理（如與“選擇公理”等價的定理）和常用推理方法（如“排中律”）。

　　與上述兩種人的做法不同，希爾伯特試圖理性地尋找一條完全令人滿意的解除危機的道路，它既能繞過這些悖論，又不致於大量地排斥傳統數學的內容。他在總結自己數學研究經驗的基礎上，於1925年提出了一個解決數學基礎危機的方案：以形式化、公理化為基礎（即先將一個數學理論形式化、公理化，將它組織在一個形式公理化的系統之中），以有限立場的推理方法為工具，去證明該數學理論的相容性；一旦這種證明得以完成，就說明該數學理論的基礎絕對牢固。這就是現代數學基礎研究活動中的“形式主義數學哲學思想”，它是由希爾伯特率先提出來的。

　　1934年和1939年希爾伯特與他的學生貝爾奈斯合著的《數學基礎》第1卷、第2卷出版了。在這部名著中，他把形式主義數學哲學思想在可能的範圍內付諸數學研究的實際，取得了可觀的成果。