“我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。
　　我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的
誹謗中結束我的生命。噢！為什麼要為這麼微不足道的，這麼可鄙的事去死呢？我懇求
蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設法避開的挑釁中倒下。
　　我親愛的朋友，
　　我已經得到分析學方面的一些新發現……
　　在我一生中，我常常敢於預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這裡寫
下的這一切已經清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不願意使人懷疑我宣布了自己未
完全證明的定理。
　　請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發表他們
的看法。然後，我希望有人會發現將這一堆東西整理清楚會是很有益處的一件事。
　　熱烈地擁抱你！”

　　寫下這封遺書的就是富有傳奇色彩的天才數學家——E·伽羅華（E·Calois，1811
-1832）！
　　1832年5月30日晨，在巴黎的葛拉塞爾湖附近躺着一個昏迷的年輕人，過路的農民從
槍傷判斷他是決鬥後受了重傷，就把這個不知名的青年抬到醫院。第二天早晨十點鐘，
這個可憐的年輕人離開了人世。那一天，巨星隕落，數學史上最年輕、最有創造性的頭
腦停止了思考。後來，一些最著名的數學家說，他的死使數學發展推遲了好幾十年。

　　天才的童年
　　
　　伽羅華是法國巴黎郊區一個小鎮鎮長的兒子。他的父親是一個自由主義者，母親受
過良好的教育，是伽羅華的啟蒙老師。12歲以前，伽羅華一直是在他母親的教育下長大
的，在這時期他學習了希臘語、拉丁文和通常的算術課。1923年伽羅華離開雙親，考入
巴黎預科學校路易勒——格蘭學院（皇家中學），從而開始接受正規學校的教育。在第
三年，他報名選學了第一門數學課。由於他的老師深刻而生動的講授，伽羅華對數學產
生了濃厚的興趣，他很快地學完了通常規定的課程，並求教於當時的數學大師。他如飢
似渴地閱讀了A·M·勒讓德的《幾何原理》和T·L·拉格朗日（history/person/psn04
7.html）的《代數方程的解法》、《解析函數論》、《微積分學教程》。由於他刻苦學
習，能着重領會和掌握其中的數學思維方法，因此，這些功課的學習，使他思路開闊，
科學創造的思維能力得到了訓練和提高。他的中學數學專業班的老師里查說“伽羅華只
宜在數學的尖端領域工作”。1829年3月他在《純粹與應用數學年報》上發表了他的第一
篇論文——《周期連分數的一個定理的證明》。這時的伽羅華還是一位中學生。他曾先
後兩次參加綜合技術大學的入學考試，結果都落第了。1829年7月2日，正當伽羅華準備
入學考試的時候，他父親由於受不了牧師的攻擊、誹謗，自殺了。這些遭遇都給伽羅華
帶來了不幸。1829年10月25日，他只被師範大學錄取為預備生。

數學世界的頑強鬥士

　　伽羅華有着天生的數學頭腦，在他還只有17歲時，就已經開始着手研究數學中最困
難的問題之一“一般n次方程求解問題”。學習過高等數學的人都知道，一般的二次方程
的解，要求對係數的一個函數求方根。要得出三次方程的一般解，要求對係數的函數開
立方。如此這般，四次方程的解，要求開四次方。一般的五次方程的解是否也能用加減
乘除開方這五種運算持代數方法從方程的係數得出呢？許多人為之耗去許多精力，但都
失敗了。這一問題當時已困擾數學界達300年之久。法國另一位著名數學家拉格朗日稱這
一問題是在“向人類的智慧挑戰”。1770年，拉格朗日對上述問題的研究才算邁出重要
的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解結構之後，提出了方程的預解式概
念，並且還進一步看出預解式和諸根排列置換下形式不變性有關，這時他認識到求解一
般五次方程的代數方法可能不存在。此後，挪威數學家阿貝爾（history/person/psn00
1.html）利用置換群的理論給出了高於四次的一般代數方程的代數求解公式不存在的嚴
格證明。伽羅華在前人研究成果的基礎上，利用群論的方法，從系統結構的整體上徹底
解決了根式解的難題。他從拉格朗日那裡學習和繼承了問題轉化的思想，即把預解式的
構成同置換群聯繫起來，並在阿貝爾研究的基礎上，進一步發展了他的思想，把全部問
題轉化成或者歸結為置換如及其子群結構的分析上。高斯早就預見到代數方程的根式解
的問題終歸為二項方程的求解問題。伽羅華仔細分析了具有根式解的二項方程作為“預
解方程”時所對應的置換子群的特徵。結果他發現，如果一個群可以生成一系列極大正
規子群，而它們的合成因子是質數，則該群是可解的。當大於四次的代數方程所對應的
群的合成因子就不全是質數，因而五次及高於五次的代數方程有些是不能用代數方法解
出的。
　　1829年，伽羅華在他中學最後一年快要結束時，他把關於群論研究的初步結果的第
一批論文提交給法國科學院。科學院委託當時法國最傑出的數學家柯西作為這些論文的
鑑定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全面的意見
聽取會。他在一封信中寫道：“今天我應當向科學院提交一份關於年輕的伽羅華的工作
報告……。但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議以
討論已指明的議題。”然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己的一篇論文時，並未介
紹伽羅華的著作。這是一個非常微妙的“事故”。
　　1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的
數學大獎評選，論文寄給當時科學院終身秘書J·B·傅立葉，但傅立葉在當年5月就去世
了，在他的遺物中未能發現伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數學論文都被遺
失了。
　　1831年1月，伽羅華在尋求確定方程的可解性這個問題上，又得到一個結論，他寫成
論文提交給法國科學院。這篇論文是伽羅華關於群論的重要著作。當時的數學家S·D·
泊松為理解這篇論文絞盡腦汁，傳說，泊松看這篇論文，看了4個月，最後在論文上批道
：“完全不能理解”。儘管藉助於拉格朗日已證明的一個結果可以表明伽羅華所要證明
的論斷是正確的，但最後他還是建議科學院否定它。
　　對事業必勝的信念激勵着年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應有的
支持，但他並沒有灰心，他堅持他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播出去，還
進一步向更廣的領域探索。

巨星隕落

　　伽羅華誕生在拿破崙帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易·腓力浦
朝代初期，他是當時最先進的革命政治集團——共和黨的成員。這時法國激烈的政治斗
爭吸收了年輕熱情的伽羅華。他反對學校的苛刻校規，抨擊校長在七月政變中的兩面行
為，以至於1830年2月被開除。之後，他進一步積極參加政治活動，第二年6月，伽羅華
以“企圖暗殺國王”的罪名被捕。由於警方沒有證據，不久即被釋放。7月，被反動王朝
視為危險分子的伽羅華再次被抓。他在獄中曾遭暗槍射擊，幸未擊中。1831年4月伽羅華
被釋放出獄。
　　出獄後不久，1831年5月29日，年輕氣盛的伽羅華捲入了另一場風波。他為了所謂的
“愛情與榮譽”打算和另外一個人決鬥。伽羅華的心裡非常清楚。他知道對手的槍法很
好，自己獲勝的希望很小，很可能會死去。他問自己，如何度過這最後的夜晚?在這之前
，他曾寫過兩篇數學論文，但都被權威輕蔑地拒絕了：一次是被偉大的數學家柯西；另
一次是被神聖的法蘭西科學院，但他堅信他頭腦中的東西是有價值的。整個晚上，他把
飛逝的時間用來焦躁地一氣寫出他在科學上的遺言。在死亡之前儘快地寫，把他豐富的
思想中那些偉大的東西儘量寫出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我
沒有時間”，然後又接着寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最後幾個小時寫出
的東西，一勞永逸地為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，並且開
創了數學的一個極為重要的分支。
　　伽羅華對自己的成果充滿自信。他在信中對朋友薛伐里葉說：“你可以公開請求雅
可比或者高斯，不是對這些定理的真實性，而是對於其重要性表示意見。在這以後，我
希望有一些人將會發現，把這堆東西注釋出來對他們是有益的。”
　　第二天上午，在決鬥場上，伽羅華被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟
弟說：
　　“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去。”他被埋葬在公墓的普通壕溝內
，所以今天他的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑是他的著作，由兩篇被拒絕的論文
和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿組成。
　　歷史學家們曾爭論過這場決鬥是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出於政治動機
造成的，但無論是哪一種，一位世界上最傑出的數學家在他20歲時被殺死了，他研究數
學才只有5年。

群論——跨越時代的創造

　　伽羅華的重大創造在生前始終沒有機會發表。直到1846年，也就是他死後14年，法
國數學家劉維爾領悟到這些演算中迸發出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它
的意義。最後他將這些論文編輯發表在他的極有影響的《純粹與應用數學雜誌》上。18
70年法國數學家約當根據伽羅華的思想，寫了《論置換與代數方程》一書，在這本書裡
伽羅華的思想得到了進一步的闡述。
　　伽羅華的最主要成就是提出了群的概念，用群論徹底解決了根式求解代數方程的問
題，而且由此發展了一整套關於群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。
這個理論的大意是：每個方程對應於一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽
羅華域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華
域的子域和伽羅華群的子群有一一對應關係；當且僅當一個方程的伽羅華群是可解群時
，這方程是根式可解的。作為推論，可以得出五次以上一般代數方程根式不可解以及用
圓規、 直尺（無刻度的尺）三等分任意角和作倍立方體不可能等結論。伽羅華理論對近
代數學的發展產生了深遠影響，它已滲透到數學的很多分支中。此外，伽羅華還研究過
所謂“伽羅華虛數”，即有限域的元素，因此又稱有限域為伽羅華域。
　　對伽羅華來說，他所提出並為之堅持的理論是一場對權威、對時代的挑戰，他的“
群”完全超越了當時數學界能理解的觀念。也許正是由於年輕，他才敢於並能夠以嶄新
的方式去思考，去描述他的數學世界。也正因如此，他才受到了冷遇。在這裡，我們後
人感受到的是一種孤獨與悲哀，一種來自智慧的孤獨與悲哀。但是，歷史的曲折並不能
埋沒真理的光輝。今天由伽羅華開始的群論，不僅對近代數學的各個方向，而且對物理
學、化學的許多分支都產生了重大的影響。