初等數學的研究對象是不變的量，而高等數學的研究對象則是變量。這句話本身平淡無奇，卻道出了初等數學與高等數學的根本區別，也就是微積分之前和之後的數學之區別。

微積分的誕生

可以說，如果沒有微積分，就沒有現代科技。微積分誕生的歷史源遠流長，但最後一步是由牛頓和萊布尼茲完成的。兩人的微積分風格不同，貢獻各異。牛頓最大的貢獻是把微積分用於物理上，構思了牛頓三大定律及萬有引力定律。並用微積分方法，討論了潮汐、歲差等現象。

萊布尼茲最主要的貢獻是對概念、方法、技巧等清楚的梳理，加上符號的運用。這些符號受到人們的喜愛，一直使用至今。

1665年，牛頓從劍橋大學為了躲避瘟疫回到了鄉下老家，蘋果樹下的思考萌生了萬有引力定律。這是家喻戶曉的故事，那年他才22歲。那段時間除了研究引力之外牛頓還發明了微積分，後者對科學之意義不下於前者。

牛頓考慮微積分是為了解決動力學問題，即運動中物理量與時間的關係問題。他把這種數學理論叫做“ 流數術 ” ，實際上就是現代說的微積分。那年的5月20日，牛頓第一次在他的手稿上描述他的“流數術”，後人便把這一天作為微積分的誕生日。

 牛頓將一切基本變量叫做“流量”（用x、y、z表示），而將流量隨時間的變化率，即速度等，稱之為“流數”。流數用x、y、z上面加一點（或者x’,y’,z’）來表示。

牛頓“流數術”要解決兩類問題：

（1）已知流量間的關係，求流數的關係，這相當於微分學。

（2）已知流數間的關係，求流量的關係，相當於積分，問題（1）的逆問題。

 使用現在的微積分語言，牛頓的“流量”即變量，“流數”即導數。

微積分誕生（YouTube視頻）

如何計算流量和流數？牛頓從二項式展開成無窮級數的問題開始思考，並由此對“無窮”的概念有所突破。為此目的，牛頓定義了一個時間的無限小瞬“o”，作為流數術的基礎。這個無限小的時間瞬將引起流量的瞬，由此便能計算流數，即兩個“瞬”的比值。

例：兩個流量：x和y，隨時間t變化並有如下關係：x³ + xy + y³ = 0          （1）

無限小時間瞬o將引起兩個流量的無限小瞬，分別記為x’o, y’o。

在公式（1）中分別用x+x’o, y+y’o代替x和y，再減去（1）得到：

隨時間變化的流量x和y，有如下關係：x³ + xy + y³ = 0          （1）

無限小時間瞬o將引起兩個流量的無限小瞬，分別記為x’o, y’o。

在（1）中用x+x’o, y+y’o代替x和y，再減去（1）得到：

3x²x’o+3x(x’o)²+(x’o)³+xy’o+x’oy+x’y’o²+3y²y’o+3y(y’o)²+(y’o)³  =  0

兩邊同時除以o：3x²x’+3x(x’)²o+(x’)³o²+xy’+x’y+x’y’o+3y²y’+3y(y’)²o+(y’)³o²  =  0

然後令o= 0：3x²x’+xy’+x’y +3y²y’=  0

整理得x’和y’的關係：x’/y’ = -(3y²+x)/( 3x²+ y)

牛頓發明了微積分，並用微積分的語言寫下了牛頓三大定律和萬有引力定律。以及後人又在微積分的基礎上建立了數學物理方程、黎曼幾何等數學分支。這些數學理論，不僅幫助牛頓和麥克斯韋等人，建立了宏偉輝煌的經典力學和經典電磁理論，並且推動了理論物理中量子力學、相對論、混沌理論等數次革命。回顧其間的這段漫長的歷史過程，是既耐人尋味，又發人深思的。

 牛頓像是個上帝派來的魔法師，他右手點亮經典力學之火，左手握着微積分，數學和物理的殿堂從此有了光明。有位英國詩人為牛頓寫下了令人感動的墓志銘："上帝說，讓牛頓降生吧。於是世界一片光明。"牛頓點亮了科學的火把，照亮世界，給人類帶來光明。

當年牛頓與萊布尼茨的微積分發明權產生爭論，兩人都是小肚雞腸。並且，還將兩人所在國家的國家榮耀、民族情緒牽扯其中。將兩位科學家的個人之爭，演變成了英國科學界與德國科學界、乃至與整個歐洲大陸科學界的對抗。英國數學家不願意接受萊布尼茨更為好用的符號系統，而要堅持使用牛頓的，實際上影響了英國數學研究的發展。

牛頓和萊布尼茨的微積分都不夠嚴謹，之後被歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾等人精雕細刻，才系統化和嚴密化為後來的樣子

微積分的危機

所謂的數學危機，實際上並不是什麼危機，不過是在數學發展過程中幾個關鍵的時間點而已。在這些時間點，人們對數學中的概念發生了質的變化。因此，解決危機的辦法就是首先需要接受新概念，然後用數學的語言和規範嚴格地完整和理清這些概念。

例如，發生於古希臘的那次危機，其實什麼危機也沒有，只不過因為畢達哥拉斯學派原來對數的認識是不足夠不完善的，數不能僅僅被理解為m/n的有理數形態，還需要擴展到無理數。因此，人們首先需要接受無理數這個新概念，然後，數學家創立了新的比例論、完善了窮竭法，將無理數概念統一到“數”的領域中，因而克服了所謂的“危機”。

牛頓和萊布尼茨創建的微積分，解決了許多實際問題，例如，微積分解決了力學中的速度變化問題，它馳騁在近代和現代科學技術前沿，建立了數不清的豐功偉績，但也招來不少質疑的聲音。

最主要又嚴峻的質疑，來自於一位教區主教George Berkeley。不要以為伯克利只是一個神學人士，有人說他是因為憎恨科學捍衛宗教而攻擊牛頓，其實不完全如此，捍衛宗教固然是其目的之一，但未必是“攻擊”，因為他的確抓住了當時牛頓（或萊布尼茨）微積分的要害：不嚴密！

看看伯克利何許人也。你可能沒聽過他，但你可能聽過美國加州有所叫伯克利的大學！沒錯，這座大學就是以他而命名的，因為他熱衷教育事業，為紀念他對教育做出的貢獻。除了是教育家之外，他有眾多的身份：英國著名的主觀唯心主義哲學家、嚴肅的數學家、他關心大眾生活，為人民謀福利，還被當時的人稱為“善的主教”。

微積分危機（YouTube視頻）

1734年，牛頓過世7年後，伯克利出版了分析學家一書挑戰微積分：

“親愛的牛頓，請你誠懇地告訴我，如果你還殘存對信仰的敬畏。你那自鳴得意的“瞬”，究竟是何方神聖？它飄然而來，因為要作你的分母；它離奇而逝，因為要成全你的流數。你不需要它，就判處它死刑；你需要它，又召喚出它的亡靈。”

無窮小“瞬”，究竟是何方神聖？飄然而來又離奇而逝，零或非零， 消失量之幽靈？

貝克萊對牛頓所闡述的“無窮小”提出質疑，並非無理取鬧。因為牛頓無窮小定義的導數並不嚴密，即使沒有貝克萊提出質疑，最後也會有人提出無窮小概念的問題。當時的微積分仍然受希臘幾何的影響，還處於依賴幾何論證的基礎上。貝克萊並未否定微積分的正確性。

舉y=x²求導數的例子說明，推導過程確實存在錯誤：前一步假設Δx是不為0的，可以作分母，而後一步又被取為0。那麼到底是不是0呢？牛頓未能自圓其說。

然而，要解決微積分的危機，也就是將其嚴格化，不是一朝一夕的事，又過了150年左右，到19世紀末才完成。包括多位數學家的努力。包括法國的柯西（1789—1857）和德國的魏爾斯特拉斯（1815-1897）。

柯西成功地表達了正確的極限概念，使其成為微分學的堅實基礎。他從數的基礎上（不是從幾何直觀）出發，重新定義了微積分中各種含糊的定義。

柯西定義極限：“如果一個變量的連串值無限地趨向一個固定量，使之最後與後者之差可任意地小，那麼最後這個固定值就被稱為所有其他值的極限。”

那麼任意小是多少？柯西說比你給定的任意數都小。

後來魏爾斯特斯拉認為這個定義不準確和自然，繼續作了修改，提純了極限概念，以ε-δ語言，系統建立了數學分析的嚴謹基礎。。

無窮小不是一個確定的數，也不是零。它是極限為零的變量。研究對象是常量還是變量，是初等數學和高等數學的區別。也是微積分之前和之後數學的區別。微積分的核心概念是導數（微分）瞬時變化率。嚴格定義的無限趨近的極限概念是微積分的精髓。

理髮師悖論—數學第三次危機

數學上有很多悖論，其實悖論就是矛盾，矛盾產生危機。所以數學的幾次危機也可以用悖論來表述。古希臘時代那次數學危機，起因於希帕索斯發現無理數的“希帕索斯悖論”。第二次無窮小危機則與芝諾悖論及貝克萊質疑牛頓“無窮小量鬼魂”的悖論有關，它的解決為微積分學奠定了堅實的基礎。第三次危機則與有趣的理髮師悖論聯繫在一起。

傳說有一個理髮師，將他的顧客定義為城中所有“不給自己理髮之人”。但某一天，當他想給自已理髮時卻發現他的“顧客”定義是自相矛盾的。因為如果他不給自己理髮，他自己就屬於“顧客”，就應該給自己理髮；但如果他給自己理髮，他自己就不屬於“顧客”了，但他給自己理了發，又是顧客，到底自己算不算顧客？該不該給自己理髮？這邏輯似乎怎麼也理不清楚，由此而構成了“悖論”。

是誰想出這麼一個古怪的燒腦悖論來折騰人？數學發展得好好的，實在像是沒事找事無事生非。的確如此，前兩次數學危機的解決，建立了實數理論和極限理論，最後又因為有了康托的集合論，數學家們興奮激動，認為數學第一次有了“基礎牢靠”的理論。

理髮師悖論（YouTube視頻）

提出這個悖論的是英國人伯特蘭·羅素。一位出生顯赫的貴族，一個造詣非凡的真正大師。

羅素的家庭了不得，他爺爺曾經出任過英國的兩任首相。羅素自己更了不得，他是著名的歷史學家，‌‌哲學家，數學家，各方面多產的大師。他創建分析哲學，提倡自由教育；他的歷史巨著西方哲學史，在哲學界廣為人知；令你沒想到的是，他還獲得了1950年的諾貝爾文學獎。

羅素與羅素悖論（某種意義上等效於理髮師悖論）有關的是一部大塊頭的《數學原理》。洋洋灑灑3 大卷近 2,000 頁，耗費羅素十年功夫折騰得夠嗆才得以完成。羅素認為所有的數學可以約化為邏輯，為此目的作者們使用了極度冗長繁瑣的推理。 比如，花了將近400頁的內容，才得以正確地定義“1”及“1+1”。當年對數學基礎的研究有三大主義。除了羅素信奉的邏輯主義之外，還有德國的希爾伯特為代表的形式主義、 荷蘭數學家布勞威爾為代表的直覺主義。

我們回到理髮師悖論，考慮如何避免理髮師對顧客的定義而產生的邏輯怪圈。如果理髮師修改一下自己的說法：“除了我本人之外，我給所有不給自己理髮的人理髮”，悖論就被避免了。因為理髮師此時定義了一個不包括自己在內的顧客集合，這個集合沒有怪圈！改變定義便能繞過去。對理髮師悖論而言這很容易，對學術上的“集合論”，就不那麼容易了，不過原則差不多。就是在定義集合的時候，要避免“自我”指涉。

還有一個牽涉自我指涉的悖論，叫做“說謊者悖論”，它的典型語言表達為：“我說的話都是假話”。如果你判定這句話是真話，便否定了話中的結論，自相矛盾；如果你判定這句話是假話，那麼引號中的結論又變成了一句真話，仍然產生矛盾。

因此，此類悖論是產生於“集合”的定義牽涉到“自我”指涉，這些悖論解決之後，那麼，如果將自身排除在集合之外，悖論不就解決了嗎？也許問題並非那麼簡單。

幾個悖論都牽涉到“自我”指涉（self-reference）的問題。理髮師不知道該不該給“自己”理髮？說謊者聲稱的是“我”說的話。看起來，將自身包括在“集合”中不是好事，可能會產生出許多意想不到的問題，這些悖論提醒數學家們重新考察集合的定義，康托的集合論對“集合”的定義太原始，以為把任何一堆東西放一起，只要它們具有某種簡單定義的相同性質，就可以數學抽象為“集合”。人們後來將康托的理論稱為“樸素集合論”。為它制定了一些“公理”作為條條框框，從而使得康托的樸素集合論走向了現代的“公理集合論”。

人們認為數學的第三次危機尚未被完全解決，不過屬於邏輯和哲學層面的問題，不太影響數學的發展。

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

本人的科普視頻：YouTube：

天文航天：“談天說地”  https://www.youtube.com/playlist?list=PL6YHSDB0mjBLmFkh2_9b9fAlN7C4618gK

趣味數學：數學大觀園  https://www.youtube.com/playlist?list=PL6YHSDB0mjBJifi3hkHL25P3K9T-bmzeA

也發在微信公眾號“天舸”上（微信號：gh_e01fc368fe31）:

              長按/掃一掃二維碼，敬請關注我的微信公眾號“天舸” !

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××