在每一個民族的文化科學藝術思想史上，數學與一個國家的進步的關係是最密切的。在當今世界競爭中，數學在開拓民族精神的戰場上，在提高民族精神境界的軟實力中，起着非常重要的功能。數學和邏輯學-語言學最高使命都是使得我們塵世生活更加美好。判斷一門學科好壞最後標準，是看它提高民族精神境界的能力如何。
數學問題多如牛毛，從日常生活的數量加減，到工作中複雜問題的計算和推導。數學主要來源不是純粹的想象，而是現實生活，來源於世界和宇宙。於是，我們思考的武器不能僅僅是數學，而是哲學-邏輯學-語言學等一切可以藉助的學科。數學批判主要針對已經被學術界認可的問題，或者是已經發表過的文章。數學與批判學的關係，就如煙與火的關係，哪裡有數學冒煙，哪裡就有批判的火星。數學已經是百花齊放，千姿百態，顯示無限的活力，而數學批判學與數學嚴重脫節，沒有把數學的時代精神作為自己反思的對象，沒有成為數學時代的喉舌。數學與批判應該是血與肉的關係，數學的肉只有接受數學批判的血提供營養和免疫細胞才能殺滅病原微生物。當一位數學家宣稱自己證明了一個命題，捫心自問，是不是可靠？有沒有漏洞？
數學必須對邏輯學絕對忠眨^對可靠，絕對純潔。數學只有從批判學中獲取激情和營養，經過批判學的鍛造，才不會孤單不會恐懼。只有經過批判以後的數學，才能敲響前進的戰鼓，才能飄揚起讓人奮發的戰旗，才能成為其他命題的論據。
一，怎麽樣才能發現數學理論中的問題
（一）從經驗中發現問題。
只要現有的數學理論還沒有或者還不能對此作出解答（在數學中叫做證明），就構成經驗性問題，例如費馬數是否都是素數，歐拉把n=5時的費馬數因式分解後就推翻了原先的假設。
經驗性問題類型：
1，對經驗性事實沒有統一的理論，例如哥德巴赫猜想，我們無法逐一試驗每一個偶數，只能藉助邏輯學-哲學-語言學。在化學中也有這樣的情況，各種元素中是否與內在的聯繫，最後導致門捷列夫元素周期律的建立。
2，現有理論與經驗事實或者邏輯規則出現矛盾，例如安德魯懷爾斯對費馬大定理的證明違反叄段論公理。在天文學也有這樣的情況，90年前（1930年左右），發現天王星的實測軌道與按照牛頓力學計算的理論軌道不一致，導致了最後勒維列的假說並且由加勒發現了海王星。
（二），從理論中發現問題。
一些數學命題的主項極為複雜，是一種變化率的變化率，例如黎曼猜想，費馬大定理，貨郎擔問題。證明非常困難，不是通過對經驗事實的分析而是通過對理論的分析而產生的問題。
1，理論本身邏輯矛盾而產生的內部理論問題，即集合概念主項是否要一 一驗證？
人類能否處理集合概念的無窮？
例如物理學中的叄體問題。還有法拉第最早構造的電的相互作用模型是用來消除牛頓力學中的超距作用這一個概念的。但是後來發現法拉第這個模型也是需要用到超距模型作用。這個不一致導致重新審視物質和力的觀點，產生了避免超距作用的電磁場理論。
2，不同理論之間的矛盾產生的邏輯問題。
Frey將費馬大定理轉換成為一個橢圓曲線方程，古山志村猜想每一個橢圓曲線方程都是可以模型式化，Kenneth Ribet證明了Frey方程不能模型式化，安德魯懷爾斯證明了古山志村猜想成立，兩個理論之間產生了矛盾，只能是一個對，一個錯誤。不同理論之間的衝突是一種整體的矛盾，正如廣義相對論與量子力學之間不能統一。
（叄），觀念-立場-方法論問題。
數學證明到底要不要制定規則，數學科學共同體能否接受規範作用的方法論和價值觀？公理化證明和形式化證明都是無法萬無一失，只要檢查一些重大數學問題的證明就可以發現，所有的證明文章都是可以找到錯誤，有錯誤的數學證明可以容忍嗎？
二，怎麽樣評價發現的問題
（一），新穎性是否具備科學性。
在數學命題的證明中，有些人使用了新概念，但是沒有經過嚴格的定義，即種加屬差方法定義。例如“充分大”“殆素數”，這些新概念不具備科學性，一個用於數學證明的概念，必須做到專一性-科學性-穩定性-可以檢驗-系統性。沒有科學性談不上可行性，更談不上新穎性。
新穎性也有兩類：
一是常規性問題，例如計算圓周率方法更加簡單和準確，特點是預期程度>科學問題>背景知識。
另一是革命性問題，例如人類無法給出一個無窮多的二階邏輯問題的全部證明，即變化率的變化率，讓我們搞清楚了人類解決問題的手段是有限的。特點是我們發現的科學問題大於預期程度，大於背景知識（科學問題>預期程度>背景知識）。
哥白尼日心說是革命性進步，開普勒橢圓軌道是常規性進步。
（二），需要性與可行性。
例如物理學的超玄論（m理論）是統一廣義相對論和量子力學的理論。是迫切需要的，但是無法驗證，因為人類無法製造幾萬個大氣壓和幾億度的溫度，不具備可行性，只能用數學來概括。而數學也沒有解決高維度的理論，什麽是大於4維的幾何空間？一個問題無論怎麽樣符合需要，如果條件不具備，只能擱置。在沒有顯微鏡的情況下，人面不知道也無法知道微生物的情況，更談不上什麽的感染了。沒有恆電壓和安倍計是不可能發現歐姆定律的。
叄，怎麽樣表述問題
（一），問題的指向。
1，判定性問題，即“是什麽”。例如，e是一個超越數。
2，描述性問題，即“怎麽樣”。描述必須符合語法和修辭。例如張益唐“有無窮多個素數對。它們相差小於七千萬”。把主項“小於七千萬的素數對”分拆兩個部分，一部分是限定主語（素數對）的定語“小於七千萬”於主語分拆，並且把謂項“無窮多”放在後面，違反語法規則。描述不清楚，因為全稱判斷主項必須周延，就是對判斷的外延全部斷定，人面不知道張益唐說的是“所有的小於七千萬的素數對”，還是“某一個素數對”是無窮多。
3，解釋性問題。即“為什麽”。例如，素數為什麽有無窮多個？因為，如果素數是有限的，就會出現自相矛盾。
（二），問題的預設
1，應答區域。例如：哥德巴赫猜想是問，大於4的偶數是否都是兩個素數之和。而陳景潤的應答區域是：
或者N=P+P"；或者N=P1+P2P3。
應答區域的設定對於研究工作極為重要，如果客觀上問題是設定在應答區域內，那麽，所提出的問題的解就是一個正確的問題。他將引導研究者較為順利獲得成功。如果客觀上問題不在設定的應答區域，那麽，所提出的問題將是一個錯誤的問題。他將導致研究者在一個不存在的應答區域枉費心機。
2，問題的範圍或者限域。
即應答區域。區域越是具體，越是明確，越是狹小，方向性和指導性越強。反之就越弱。例如陶哲軒“存在任意長的素數算術數列”，“素數算術數列”是一個集合概念，包含了無窮多種，是不合法的命題。數學命題只能是普遍概念或者單獨概念。
四，第一因問題。
第一因問題
無法討論，因為沒有比科學家自身更加了解科學的極限了。高能粒子加速器不斷發現新的亞核粒子，第一因-第一推動力依然是不解之謎。牛頓-愛因斯坦-霍金所有的一流科學家都是逃不脫這一關於宇宙最高規律的追問。因為，它實際在追問上帝是誰？宇宙最高智慧最終設計者是誰？英國皇家學會問牛頓，萬有引力的起因是什麼？牛頓回答說，我只能發現它證明它，但是不能解釋何以有它。愛因斯坦也是無奈地承認，相對論在宇宙開端處無效。
這是科學註定無法迴避的硬件問題，牽涉科學最核心的本質。以往科學只是不斷發現揭示物理學的運作和定律，但是為何如此運作，為何有這些定律卻一無所知。不能正面回答這個問題，就無法揭開一切本源性問題：宇宙起源-生命起源-人類起源。焦點在：宇宙在時間上有無迄止，空間上有無邊界。展開討論很快陷於矛盾中。我們為什麽需要數學批判學？
人如果沒有信仰就會失去人生的目標，數學也是一樣，如果沒有批判學的不斷敲打，數學就會走向墮落和狂妄。普通數學家與數學批判家不同之處在於：前者的數學思維是零星散亂的，湵〉模蛔雜X的；後者的數學思維是自覺的，成體系的，深沉的和持久的。
總的來說，我們需要數學批判的理由如下：
首先，人與動物區別之一是在於人有反思，即自我意識和反省能力。動物不會追問自身存在的意義和價值，而人不一樣，多少是一種文化的存在，他要賦予超生物的意義，我創造的知識有沒有價值，到底對不對。一個數學證明也是一樣，應該問一問，到底有沒有錯誤。
其次，動物只為生命所必須的光線所激動，人卻關注遙遠星辰所發射出來的無任何功利性質的光線，這是明其道，不計其功。朝聞道，夕可死矣的哲學精神。現代數學，一刻也離不開批判學。
第叄，是為了滿足我們對世界觀的渴望和哲學信仰的追求，在人工智能時代，這個問題更加尖銳。舊數學已經土崩瓦解，數學真理的標準必須重新確立。在數學歷史發生急劇變化的時代，數學何等需要嚴肅的批判來拯救自己。
一個沒有經過批判的所謂數學定理，總是被懷疑-愚昧-積習牽着鼻子走，缺乏批判的數學理論，總是猥瑣的湵〉模鼰o法駕馭自己的命摺?lt;/span>
第四，數學難道不需要批判嗎？人無精神，便如藁木；文無精神，便如死灰。數學文章，文風刻板，缺少一種神采飛揚、引人入勝的文風。數學文章總是板着一幅臉，用一堆枯燥的概念陳述內容。數學文章使用的詞彙也是玄而又玄，缺少活潑生動的敘事。缺少審美的意境。真理是由無數個閃閃發光的層面鑲嵌而成，表達真理的形式也應該不拘一格。
第五，數學的想象力。數學是用概念囊括各種關係的，所以，數學一刻也離不開想象力。貧困的想象力只能產生荒謬的理論和結果，例如陳景潤-張益唐-陶哲軒-安德魯懷爾斯。愛因斯坦說“想象力比知識更加重要”。因為知識是靜止的-封閉的-有限的。想象力是邉擁?開放的-無限的。它的背景是觀點-立場-方法和一個人的個性-氣質和文化素養。數學是從天地萬物中提取抽象出數量概念，與純粹文學中的聯繫是不同的，“枯藤老樹昏鴉，小橋流水人家，古道西風瘦馬，夕陽西下，斷腸人在天涯”在文學中無可非議，在數學中必須一一傳遞才能聯繫。
第六，科學是在逐一消除錯誤的過程中建立起來，偽科學往往是刀槍不入，無法證偽。而科學則是強烈認識到人的不完善性-不可靠性，假如我們只講科學成果，不講批判性方法，怎麼能夠指望普通人將科學與偽科學區分開來？科學方法比科學成果更加重要。我們要告訴普通人一個科學發現或者數學定理的證明是怎麼樣完成的，它經過了哪一些曲折和錯誤的誤解。現在官方耍流氓，就是不承認錯誤，這與他們的反動世界觀是有關係的。
讓我們以大無畏的革命精神，是認識數學，改造數學。
