(1)
我也來冒充一回高手，談談學習計算機的一點個人體會。
由於我是做理論的，所以先着重談談理論。
記得當年大一，剛上南京大學本科的時候，每周六課時數學分析，
六課時高等代數，天天作業不斷(那時是六日工作制)。
頗有些同學驚呼走錯了門:咱們這到底念的是什麼系？
不錯，你沒走錯門，這就是(當時的)南大計算機系。系
里的傳統是培養做學術研究，尤其是理論研究的人。而
計算機的理論研究，說到底了就是數學，雖然也許是
正統數學家眼裡非主流的數學。
(2)
數學分析這個東東，咱們學計算機的人對它有很複雜
的感情。愛它在於它是第一門，也是學分最多的一門
數學課，又長期為考研課程--94以前可以選考數學分析
與高等代數，以後則並軌到著名的所謂“工科數學一”。
其重要性可見一斑。恨它則在於它好象難得有用到的
機會，而且思維跟咱們平常做的這些離散/有限的工作
截然不同。當年出現的怪現象是：計算機系學生的高中
數學基礎在全校數一數二(希望沒有冒犯其它系的同學)，
教學課時數也僅次於數學系，但學完之後的效果卻幾
乎是倒數第一。其中原因何在，發人深思。
我個人的淺見是：計算機類的學生，對數學的要求固然
跟數學系不同，跟物理類差別則更大。通常非數學專業
的所謂“高等數學”，無非是把數學分析中較困難的理論
部分刪去，強調套用公式計算而已。而對計算機系來說，
數學分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說得
難聽一點，對計算機系學生而言，追求算來算去的所謂
“工科數學一”已經徹底地走進了魔道。記上一堆曲面積分
的公式，難道就能算懂了數學分析？
中文的數學分析書，一般都認為以北大張築生老師的
“數學分析新講”為最好。我個人認為南大數學系的“數學
分析教程”也還不錯，至少屬於典型的南大風格，咱們
看着親切。隨便學通哪一本都行。萬一你的數學實在
太好，這兩本書都吃不飽，那就去看菲赫金哥爾茨的
“微積分學教程”好了--但我認為沒什麼必要，畢竟你
不想轉到數學系去。
吉米多維奇的“數學分析習題集”也基本上是計算型的
東東。如果你打算去考那個什麼“工科數學一”，可以
做一做。否則，不做也罷。
(3)
中國的所謂高等代數，就等於線性代數加上一點多項式
理論。我以為這有好的一面，因為可以讓學生較早感覺
到代數是一種結構，而非一堆矩陣翻來覆去。當年我們
用林成森，盛松柏兩位老師編的“高等代數”，感覺相當
舒服，我直到現在還保留着教材。此書相當全面地包含
了關於多項式和線性代數的基本初等結果，同時還提供
了一些有用的比較深的內容，如Sturm序列，Shermon
-Morrison公式，廣義逆矩陣等等。可以說，作為本科
生如能吃透此書，就可以算高手。後來它得以在南大出
版社出版，可惜好象並軌以後就沒有再用了。
國內較好的高等代數教材還有清華計算機系用的那本，
清華出版社出版，書店裡多多，一看就知道。特點嘛，
跟南大那本差不太多。
但以上兩本書也不能說完美無缺。從抽象代數的觀點
來看，高等代數裡的結果不過是代數系統性質的一些
例子而已。莫宗堅先生的“代數學”里，對此進行了深刻
的討論。然而莫先生的書實在深得很，作為本科生恐
怕難以接受，不妨等到自己以後成熟了一些再讀。
(4)
概率論與數理統計這門課很重要，可惜少了些東西。
少了的東西是隨機過程。到畢業還沒有聽說過Markov
過程，此乃計算機系學生的恥辱。沒有隨機過程，
你怎麼分析網絡和分布式系統？怎麼設計隨機化算法
和協議？據說清華計算機系開有“隨機數學”，早就是
必修課。人家可是工科學校，作為自以為“理科計算機
系”出身的人，我感到慚愧。
另外，離散概率對計算機系學生來說有特殊的重要性。
現在，美國已經有些學校開設了單純的“離散概率論”
課程，乾脆把連續概率刪去，把離散概率講深些。我們
不一定要這麼做，但應該更加強調離散概率是沒有疑
問的。
(5)
計算方法是最後一門由數學系給我們開的課。一般學生對
這門課的重視程度有限，以為沒什麼用。其實，做圖形
圖像可離不開它。而且，在很多科學工程中的應用計算，
都以數值的為主。
這門課有兩個極端的講法：一個是古典的“數值分析”，
完全講數學原理和算法；另一個是現在日趨流行的“科學
與工程計算”，乾脆教學生用軟件包編程。南大數學系
的幾位老師做了件大好事，把前者的一本極為經典的
教材翻譯出版了：德國Stoer的“數值分析引論”。如果
你能學會此書中最淺顯的三分之一，就算沒有白上過
計算方法這門課！而後一種講法似乎國內還沒有跟上
潮流？不過，只要你有機會在自己的電腦上裝個matlab
之類，完全可以無師自通。
(6)
本系裡，通常開一門離散數學，包括集合論，圖論，
和抽象代數，另外再單開一門數理邏輯。這樣安排，
主要由於南大的邏輯傳統：系裡很多老師都算莫先生
的門人，就連孫先生都是邏輯專業出身(見孫先生自
述)。
不過，這麼多內容擠在離散數學一門課里，是否
時間太緊了點？另外，計算機系學生不懂組合和
數論，也是巨大的缺陷。要做理論，不懂組合或
者數論吃虧可就太大了。
從理想的狀態來看，最好分開六門課：集合，
邏輯,圖論，組合，代數，數論。這個當然不現實，
因為沒那麼多課時。也許將來可以開三門課：集合
與邏輯，圖論與組合，代數與數論。
不管課怎麼開，學生總一樣要學。下面分別談
談上面的三組內容。
(7)
古典集合論，北師大出過一本“基礎集合論”不錯。
南大出版朱梧(木賈)老師的“集合論導引”也許觀點更
高些，但他的書形式化得太厲害，念起來吃力。
數理邏輯，莫先生的書自然是經典。然而我們也
不得不承認，此書年代久遠，光讀它恐怕不夠。
尤其是命題/謂詞演算本身有好多種不同的講法，
多看幾家能大大開闊自己的視野。例如陸鍾萬老師
的“面向計算機科學的數理邏輯”就不錯。朱老師也
著有“數理邏輯教程”一書，但也同樣讀起來費力些。
總的來說，學集合/邏輯起手不難，但越往後越感覺
深不可測。建議有興趣的同學讀讀朱老師的“數學
基礎引論”--此書有點時間簡史的風格，講到精彩處，
所謂“天花亂墜，妙雨繽紛”，令人目不暇接。讀完
以後，你對這些數學/哲學中最根本的問題有了個大概
了解，也知道了山有多高，海有多深。
學完以上各書之後，如果你還有精力興趣進一步
深究，那麼可以試一下GTM系列中的"Introduction
to Axiomatic Set Theory"和"A Course of Mathematical
Logic"。這兩本都有世界圖書的引進版。你如果
能搞定這兩本，可以說在邏輯方面真正入了門，
也就不用再浪費時間聽我瞎侃了。：)
(8)
據說全中國最多只有三十個人懂圖論(當年上課時陳道蓄
老師轉引張克民老師的話)。此言不虛。圖論這東東，
技巧性太強，幾乎每題都有一個獨特的方法，讓人頭痛。
不過這也正是它魅力所在：只要你有創造性，它就能
給你成就感。所以學圖論沒什麼好說的，做題吧。
國內的圖論書中，王樹禾老師的“圖論及其算法”非常
成功。一方面，其內容在國內教材里算非常全面的。
另一方面，其對算法的強調非常適合計算機系(本來
就是科大計算機系教材)。有了這本書為主，再參考
幾本翻譯的，如Bondy&Murty的“圖論及其應用”，
郵電出版社翻譯的“圖論和電路網絡”等等，就馬馬
虎虎，對本科生足夠了。
再進一步，世界圖書引進有GTM系列的"Modern
Graph Theory"。此書確實經典！國內好象還有一
家出版了個翻譯版。不過，學到這個層次，還是
讀原版好。搞定這本書，也標誌着圖論入了門，呵呵。
組合感覺沒有太適合的國產書。還是讀Graham和Knuth
等人合著的經典“具體數學”吧，有翻譯版，西電出的。
(9)
抽象代數，國內經典為莫宗堅先生的“代數學”。此書
是北大數學系教材，深得好評。然而對本科生來說，
此書未免太深。可以先學習一些其它的教材，然後
再回頭來看“代數學”。國際上的經典可就多了，GTM
系列裡就有一大堆。推薦一本談不上經典，但卻最簡
單的，最容易學的：
http://www.math.miami.edu/~ec/book/
這本“Introduction to Linear and Abstract Algebra"
非常通俗易懂，而且把抽象代數和線性代數結合起來，
對初學者來說非常理想。不過請注意版權問題，不要
違反法律噢。
數論方面，國內有經典而且以困難著稱的”初等數論“
(潘氏兄弟著，北大版)。再追溯一點，還有更加經典
(可以算世界級)並且更加困難的”數論導引“(華羅庚先生
的名著，科學版，九章書店重印)。把基礎的幾章搞
定一個大概，對本科生來講足夠了。但這只是初等數
論。本科畢業後要學計算數論，你必須看英文的書，
如Bach的"Introduction to Algorithmic Number Theory"。
(10)
理論計算機的根本，在於算法。現在系裡給本科生
開設算法設計與分析，確實非常正確。環顧西方世界，
大約沒有一個三流以上計算機系不把算法作為必修的。
算法教材目前公認以Corman等著的"Introduction to
Algorithms"為最優。對入門而言，這一本已經足夠，
不需要再參考其它書。南大曾翻譯出版此書，中文名
為”現代計算機常用數據結構與算法“。pie好象提供了
網上課程的link，我也就不用廢話。
(11)
最後說說形式語言與自動機。我們用過北郵的教材，
應該說寫的還清楚。但是，有一點要強調：形式語言
和自動機的作用主要在作為計算模型，而不是用來
做編譯。事實上，編譯前端已經是死領域，沒有任何
open problem。如果為了這個，我們完全沒必要去學
形式語言--用用yacc什麼的就完了。北郵的那本，在深
度上，在跟可計算性的聯繫上都有較大的局限，現代
感也不足。所以建議有興趣的同學去讀英文書......不過
英文書中好的也不多，而且國內似乎沒引進這方面的
教材。
入門以後，把形式語言與自動機中定義的模型，和
數理邏輯中用遞歸函數定義的模型比較一番，可以
說非常有趣。現在才知道，什麼叫”宮室之美，百官
之富“！
