數學的境界

　　“網絡教育實驗室”師生網絡對話實錄

　　（“文志英教授學術周”部分）

高考外生存系列報道之一

　　下面是文教授給參加網絡評價的同學出的部分思考題。看起來都是小學數學———那可是文教授用來考博士生的！這就是文教授的研究風格，沒有所謂“簡單問題”或是“複雜問題”，只有“想過”和“沒想過”的問題。小學問題，沒想過，一樣是你沒搞懂的問題。文教授說：“出這些問題，不是讓學生找什麼答案，就是看他想過還是沒想過。”文教授不會讓你們像考試一樣回答標準答案，文教授就是希望看到同學們思維的特性和深度。

　　你想過沒有？

　　●兩個蘋果與三個梨能否相加？如果能，和兩個蘋果與三個蘋果相加有什麼不同？

　　●圓與正方形哪一個面積更容易求？

　　●1／2為什麼與2／4相等？

　　●第一個射擊運動員每次射擊的結果都在9環以上，第二個運動員擊中靶心的概率是90％，哪一個運動員更優秀？

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　　例題：

　　兩個蘋果和三個梨能否相加？如果能，和兩個蘋果與三個蘋果相加有什麼不同？

　　Caihx我認為不能！從量綱的角度來說，應該說兩個蘋果和三個梨子的量綱不同。若相加，得到的是“五個××”，一個無意義的量。而兩個蘋果和三個蘋果相加得到的是“五個蘋果”。以上是我的觀點，請大家指教。

　　Wangxin可以，兩個蘋果加三個梨得五個水果，兩個蘋果加三個蘋果得五個蘋果，就這區別。

　　Gongming這就要看側重於哪個方面了。我們說兩個蘋果，在數量上和本質上均有涉及；而如果說兩個水果，在“質”的方面側重的力度就要小一些。所以，如果不想忽略部分“質”的區別，則蘋果和梨是不可以相加的；如果只側重於數量，則可以相加，正如一棵松樹加一棵揚樹等於兩棵樹一樣，只是聽（看）起來彆扭一點而已。

　　Light相加需要定義。當相加表示兩個數的和，可以加。蘋果與梨子相加，和蘋果與蘋果相加的結果是一樣的，都是五。若相加表示物質的成分，那麼蘋果與蘋果相加表示更多的蘋果，蘋果與梨子相加表示集合中既有蘋果又有梨子。

　　Hanfeng數學真是奇妙啊，能從完全不同的對象中提煉出純淨而有共性的東西，這一點大概只有詩能與之媲美。如詩云：“人面桃花交相映”。文教授的數學境界，就像釋迦摩尼的微笑。

　　Hanzhun恩格斯曾經說過：“為了計數，不僅要有可以計數的對象，而且還要有一種在考察對象時撇開對象的其他一切特徵而僅僅顧及到數目的能力”。所以三個梨子和兩個蘋果是完全可以相加的。至於相加後是什麼，我想是不必擔心的。因為數學提取出的是兩個事物之間的共性，而根據矛盾普遍性即普遍聯繫的觀點，任意兩個事物之間都是有聯繫的，那麼我們可以認為相加的兩個事物之間肯定是有共性的，但究竟是什麼，也許這不是數學家應當關心的問題【也許應用數學家會對此比較感興趣，不過應用數學究竟是不是數學，或它與數學的關係還沒有一個定論。我們不妨認為狹義數學的範圍包括兩大內容：①從具體的事物中抽象出數學概念；②研究數學概念之間的關係。而廣義數學的範圍更大一些，它比狹義數學多一項內容：將所得的數學定理應用於實踐，在現實中找到用武之地（似乎多年來已為物理學家所壟斷）】。

　　wanghuanjie僅從純粹代數的角度論證它們的可相加性：

　　數是從具體事物中抽象、提煉出來的一種概念，是與具體事物無關的。因為我們往往很難解釋抽象的概念，因而在解釋數的意義時通常賦予它具體的東西以便於表達———就像在學英語的時候，老師每講到一個輕輔音的讀法，總是願意在後面加上一個濁輔音使其濁化。

　　由此說來，無論是3個蘋果還是3個梨抑或是3台電腦3把椅子，它們都有一個共同的數量———3———這個數量是不根據具體的對象而發生改變的。因此我認為，就數學的角度而言，是絕對可以相加的。我甚至要說，兩個蘋果加三個梨與兩個蘋果加三個蘋果是一樣的———就數學的角度而言———數學是超然物外的。

　　wenzhiying（文志英教授）你的回答有一定道理，如果從數的相加是正確的，但是從量的角度不能相加（量指的是不同物體的單位），我對你的回答是滿意的。但你還可以對這一問題進一步進行思考。這也是我們這個欄目的目的。

　　…… （摘自《考試的革命》）