伊辛(Ising)模型背後的故事

伊辛(Ising)模型背後的故事
郝柏林
復旦大學理論生命科學研究中心
中國科學院理論物理研究所、美國聖菲研究所
看了劉俊明關於伊辛模型的博客文章（http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=1719），想做一些更正和補充。首先，伊辛一生發表了不只一篇論文。王竹溪先生在統計物理學導論（高等教育出版社，1956）155頁上就引用過伊辛1931年的論文（Ising, Ann. d. Phy. 8(1931), 905），說明“由於天平的布朗運動，測質量的精確度不能超過10-9克”。
伊辛1925年解決的只是一維問題。文章發表初期，引用很少，其中最重要的可能是海森堡1928年論文引言中，引用伊辛經典模型中沒有相變，作為引入量子模型的論據。海森堡模型所引發的統計模型和可積系統的研究，至今方興未艾、碩果纍纍。1944年Onsager發表了平面正方二維伊辛模型的精確解，證明確有一個相變點。這是統計物理發展的里程碑。不過，那篇文章極其難讀。直到1949年Onsager和Kaufmann發表了使用旋子代數的新解法，人們才得以領會奧妙，計算其它晶格，並且開始了求解三維伊辛模型的嘗試。

年青的Luttinger寫信給Onsager，想用他的方法求解三維問題，作為博士論文。Onsager回信說，用我的方法解決三維伊辛模型的可能性等於零。1950年代初，在一次國際會議上有人寫出了三維問題的“解”。Eliott立即從座位上跳起來說，那不可能是對的。同一時期有流言盛傳，說一位年青的英國人解決了三維問題。直到Onsager專程去了一趟英國，傳言才銷聲匿跡。那位年青人叫John Maddox。他在失望之餘，放棄物理，改做科學記者，最終成功地擔任了許多年《自然》雜誌的主編。退休前後，英國女王賜封Sir頭銜。1985年Maddox訪問北京，筆者當面核對了這段歷史。1978年曾經傳聞，理論物理尖子之一，蘇聯的Polyakov解決了三維問題，但不久就煙消雲散，Polyakov轉去做量子引力。

Onsager求得配分函數，順便得到比熱臨界指數α=0。他曾在一次國際會議的討論中，在黑板上寫出另一個臨界指數β=1/8，但是從來沒有說明是怎樣算出來的。1952年楊振寧嚴格計算出β，是對伊辛模型的重大貢獻。1967年吳大峻等計算出另一指數γ=7/4。1966年楊振寧應邀參加一次關於相變的會議，返程時與Onsager在候機室中談話。楊先生對Onsager說，我可以跟隨你的全部推導，計算出那一大堆對易關係，但是始終不明白你是怎樣走到這一步的。那天Onsager的情緒很好，打開了話匣子。Onsager說，他離開歐洲到美國之際，聽說有人把兩根一維鏈連成一架梯子，還可以精確求解。於是試着把三根、四根、五根一維鏈橫着連起來，計算出配分函數。一直算到七根，就悟出一般算法，寫成文章。1995年楊先生在廈門舉行的第19屆國際統計物理學大會上做報告時，回憶了這段往事。可惜後來在為會議文集撰寫的文字裡，省去了這些細節。

在嘗試過求解三維伊辛模型的人中，筆者可能屬於少數沒有輸光者。那是在1966-1976的文化大革命中。圖書館全部關閉，業務工作完全停止。我在運動初期挨大字報和接受批判之餘，躲在家裡求解三維伊辛模型。我先回顧了二維問題的各種解法，看那一種有可能推廣到三維。一個難題一旦解決，就可以想出多種解法。Baxter的一篇論文題目就叫“伊辛模型的第399種解”。我提出一種以四元數做轉移概率的三維無規行走模型，它的嚴格解可以回到正確的二維伊辛模型。記得1960年代末的某夜，我以為拿到了最後結果，興奮地算到天亮。不久就明白了，它只是三維伊辛模型的一個封閉近似解。1972年楊振寧先生訪問北京大學，在臨湖軒同一些物理學工作者會面。楊先生逐個詢問大家在研究什麼，我就說了伊辛模型，並問起三維問題有何進展。

我在簡單立方晶格上的計算涉及到非對易的“體”上的12乘12的行列式。最直接的做法，是堅持使用左乘或右乘，按行或列展開，得到左行式、左列式、右行式、右列式四個對象。蘇聯數學家塔拉索夫曾經證明，如果這四個量相同，那原來的行列式不是定義在“體”上，而是定義在對易的“域”上。我註定會得到兩個或更多的結果。幸運的是我首先算得的結果，正好是伊辛模型的封閉近似解。幾天后算出的另一個解，物理上完全不對。由於計算上的“非唯一”，這結果一直放到打倒“四人幫”以後。我同數學所許以超、石赫討論，領教了華(羅庚)門弟子的過硬算功。許以超當晚解析地求得那唯一的臨界溫度，與我的數值結果一樣。他們的嚴格結果，恰好同我第一次計算所得一致。我們的聯名論文發表在《物理學報》上。這一組工作得了1987年中國科學院重大科技成果獎。

為了把計算推廣到三維體心立方晶格，需要計算16乘16的“體”上行列式。這超出了手工操作的可能性。於是我着手引進計算機解析推導的軟件，最初是REDUCE和巴黎薩克萊核中心理論組J.-M. Drouffe搞的CMP。最終計算是同博士生符洪與薩克萊的Robert Conte共同完成的。經過幾個月的人工準備，那最後的計算在IBM3090計算機上只用了9秒鐘。文章發表出來已經到了1986。

1977年4月我初次到歐洲訪問，在奧爾塞的巴黎南部大學做了報告。當晚，Rankovici教授在家裡請客，做陪的是後來拿了諾貝爾物理學獎的de Genne。我和Rankovici就三維伊辛模型是否存在封閉解有所爭論，他說“不存在”，我根據計算中遇到的大量規整對稱的中間結果的啟示，說“存在”。最後我們賭了一瓶香檳酒。不過，至今這瓶酒還沒有歸屬。

1981年我在布魯塞爾自由大學做訪問教授。德國的Hermann Haken趁機邀請我和老伴參加在阿爾俾斯上南麓舉行的協同學討論會。會議主題是“自然界中的有序和混沌”。我在會議上還是講有序，即三維伊辛模型的封閉近似解，不過從山上下來就鑽進了混沌。發表在會議文集中的報告，是我關於伊辛模型工作的唯一英文記錄。

1970年代末，王竹溪先生曾用3個半天，在他主持的討論班上講述了二維伊辛模型的Onsager和Kaufmann解。王先生在最後說，關於三維模型的最好結果是郝柏林得到的。可惜王先生的話沒有書面記錄，只留在一部分討論班參加者的記憶中。

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