數學家之路
——從“龐加萊猜想”說起

演講人:丘成桐
時間：2006年6月26日　地點：光明日報社
　發布時間： 2006-06-29 06:15　來源：光明日報
今天很感謝光明日報請我來，在這裡受到天林總編和各位編輯的熱情招待，又看到很多青年學生也在這裡，我很感動。今天我跟大家聊一些問題，尤其是“Poincare龐加萊猜想”的破解問題。

“龐加萊猜想”破解過程

　　“龐加萊猜想”的破解，是一件令我們中國人很驕傲的事情。因為在中國本土上，我們第一次完成了一個偉大數學猜想的最後一步，震動了全球數學界!我覺得特別驕傲，因為從1979年那次回國開始，我一直期望中國本土能做出一流的工作。相信我們年輕的朋友、學生也因“龐加萊猜想”的破解而受到鼓舞。

　　我想講講從我本人的觀點來看“龐加萊猜想”，也借這個題目向大家談談“龐加萊猜想”研究的過程、我自己走過的一些路，給大家提供一個參考。

　　1904年,法國數學家亨利·龐加萊提出了一個拓撲學上的猜想:在一個封閉的三維空間,假如每條封閉的曲線都能收縮成一點,這個空間就一定是一個三維圓球。這就是著名的“龐加萊猜想”。

　　這個猜想是幾何學和拓撲學的中流砥柱，不攻克它，就會給高維拓撲學的研究帶來極大的困難，就不能成功地對三維空間有所了解。而三維空間在物理學等許多學科里是一個最重要的空間。

　　龐加萊提出這個猜想，使數學家們開始進入高維拓撲學的境界。因此，一百多年來許多大數學家都希望解決這一難題。

　　我對“龐加萊猜想”花費了許多功夫。“龐加萊猜想”整個完成的過程，與我本來的構思也有相同和類似的地方。它的破解，使我覺得很興奮。這是因為，一個偉大工作的完成，我們每個數學家都會興奮。

　　今天早上我起床後，寫了一首詩，寫得不好，也不長。然而，是我真實的心情:

我曾小立斷橋，
我曾徘徊河邊，
想望着你絕世的姿顏。

我曾獨上高樓，
遠眺天涯路，
找尋你潔白無瑕的臉龐。

柔絲萬丈，
何曾束縛你輕妙的體形。

圓月千里，
何處不是你的影兒，
漫漫長空，
你何嘗靜寂，
光芒一直觸動着我的心弦。

那活動的流水，
那無所不在的熱能，
不斷地推動你那深不可測的三維。

活潑的舞姿，
終於摒棄了無益的渣滓。

造物的奧秘，
造物的大能，
終究需要他自己來啟示。

在那茫茫的真理深淵裡，
空間展開了它的華麗:平坦而素樸。

然而在這典雅的中間卻充滿可厭的精靈。

啊，
我們終於捕捉到這些精靈!

就在這一剎那間，
她卻展現出她燦爛的身形。

讓我們來祝賀，
我們終於聽完了宇宙這完美歌劇的一章。

讓我們高歌，
讓我們來挑戰，
讓我們再揭開大自然的另一章。

　　這首詩描述了我30年來研究證明“龐加萊猜想”的整個心路歷程。

　　我做研究生時，就知道這個猜想的重要性。我一直在研究幾何學，由此對拓撲學產生了濃厚的興趣。三維空間可以說是拓撲學的精華，有哪個拓撲學家不承認“龐加萊猜想”的重要性呢!

　　我們對自己生存的空間有絕對的好奇。古代希臘人不斷地探索地中海以外的地域，也了解了地球是圓球，他們甚至量度了地球的直徑。我們人類考慮空間結構已經有20多個世紀了，到目前還在討論宇宙的結構。有深度文明的國家都會有人去考慮這些課題的哲學和科學意義。

　　我們用音樂、用文學來表達自己的心聲。通過它們，我們的心靈與大自然交流，大自然迸發出的火花，使我們對科學有進一步的認識。

　　空間的結構正是如此，這是一個數學的偉大成果，也是藝術的結晶。

　　漢密爾頓方程的創立和發展，就如一首華麗的詩篇，屢敗屢進，方向不移。數學家們花費20多年的努力，難道是為一些獎金嗎？

　　記得在1975年，我和太太還沒結婚，開車從美國東部到西南部，開了3000里路，我不停地在想“龐加萊猜想”這個問題。當然，太太當時不知道我在想這些（眾笑）。

　　總之，我用了各種各樣的想法和做法去證明這個問題。現在看來，大部分的努力都有意義。

　　熱情，是我們對“龐加萊猜想”的研究能夠發展下去的主要原因。我寫這首詩，真實地表示了我當時的一種熱情。

　　剛開始的十年，因為熱情，我花了很多功夫，這些研究看上去好像與“龐加萊猜想”沒有什麼關係，可今天，在猜想完成的時候，在朱熹平、曹懷東300頁的證明紙上，還可以看到我們在上世紀70年代一些想法的蛛絲馬跡。

　　在上世紀70年代，我的朋友大概從這個時候開始正式引進瑞奇流方程。他是一個很重要的幾何學家，用了我的建議，也用了我和我的朋友一起做出的一些步驟。

　　於是，我們慢慢地建立起攻克整個“龐加萊猜想”的方法。有了這個想法，就有了自信心。因為這麼大的一個問題，如果缺乏自信心的話，那早就放棄了。

　　這樣我們第一次開始有了自信心，是因為幾何分析的方法開始有結果——用微分方程的方法，我將複數空間的“龐加萊猜想”解決了，這個問題叫做賽瓦立猜測。我當時解決了卡拉比猜想，是用微分方程來入手的，還用這個方法解決負函數空間的“龐加萊猜想”。

　　所以,我知道能夠在空間裡構造幾何結構，這是一個對的方法，可是距離“龐加萊猜想”的證明相差得還很遠。

　　在1978年時，我的同學瑟斯頓開始用完全不一樣的方法，對這個偉大的猜想做出重要的貢獻。因此他獲得菲爾茲獎。他對整個三維空間和“龐加萊猜想”的深刻認識給了我很大影響。

　　到了1979年，我去康奈爾大學訪問，漢密爾頓就跟我提出他創造的方程。我當時很驚訝他會去考慮這個方程。這個方程我認為很漂亮但非常困難，不大可能做出有什麼意義的工作。可是,漢密爾頓是一個很有才華的數學家，對數學很有熱情。

　　過了兩年，漢密爾頓做出一個重要的成果。當時，我邀請他到普林斯頓研究所做一個演講。我開始還不太相信他能有這個能力。可是，在聽他講演時，我對他很佩服，他真的做出一個很重要的工作。

　　從那時起，我建議漢密爾頓用他的方程去研究“龐加萊猜想”，我認為照這個路走下去一定會成功的。

　　可是，這是一個虛無縹緲的想法。我們雖然看到漢密爾頓先生解決了一個非常重要的環節，可是離完全解決“龐加萊猜想”還相差很遠。漢密爾頓先生很努力，雖然他表面上很喜歡玩，但他研究了不少類似的方程，就這樣他不停地研究。

　　到了1984年，我跟我的朋友李偉光寫了一篇文章。這篇文章我很喜歡，它的內容推廣了我博士畢業前的思路：“堤度估計”。我和我的朋友鄭紹遠一路在發展這類想法。到了我和李偉光寫文章時，已經用拋物性方程來討論問題了。

　　我對這個方程想得很深。當時寫這篇文章以後，很多人不認為它重要，可是我不這麼認為。我對漢密爾頓先生講，做“龐加萊猜想”一個最重要的問題，就是需要有好的估值方法。我當時沒有想到漢密爾頓先生會真正去做這個研究，而且花了很大的功夫去做，對此我非常佩服。

　　他看出了我們整個想法的重要之處，也看得出他的方程與我們的研究應該怎麼配合。可是，他做的工作花了至少四年的時間，從沒有想法到真正形成一個好的想法，中間可能幾十個想法都沒有用。

　　大約在1990年時，漢密爾頓將估計找出來了。找到這個估計，可以說是整個研究過程中的靈光一閃。

　　這是我們第一次找到解決問題的方向，從一開始到找到這個方向經過了10多年的功夫。這是很多數學家，不要講普通的數學家，連很多著名的大數學家都不見得願意做的事。

　　這還沒有成功，只是看到了一個重要的方向。

　　1995年的一天，漢密爾頓先生跑來找我，講他看出整個方向的走勢。我看了後又是很驚訝，他怎麼有這麼大的能力幹得如此漂亮，我真欽佩!

　　1997年,我到國內鼓勵全國年輕學者和同行來做“龐加萊猜想”這個工作。因為從1979年開始，我帶來一些幾何方程的研究方法。國內做這方面研究的年輕人也不少，所以，我認為中國有能力完成這個問題。不幸的是，很多年紀較大的學者不願意花很長的時間來奮鬥。因為，他們願意很快發表文章，不想花功夫去做這個艱苦又有真正意義的一流工作。

　　因此，我在南方找到朱熹平。後來，朱熹平到香港跟我談了很久。他對這個工作有很大的興趣，從他本來的研究方向轉變過來。

　　到了2000年時，俄國數學家佩雷爾曼用了不同的方法，比我們走得快了一個步驟，得出幾個重要的結果，讓我們既驚訝又佩服。他的工作解決了當時我們幾個人都不太懂的問題。雖然，漢密爾頓已把主要方向問題全部找出來了，可是一些重要的障礙還沒有解決。

　　3年多來，朱熹平和曹懷東終於將種種障礙都搞清楚，最後將整個問題全部完成。我覺得這是一個很重要、很偉大的貢獻。

　　今天，整個猜想都完成了，是一個很艱苦的過程，從漢密爾頓方程算起，大概是30年，所以我很興奮，我的詩就是抒發了我現在的心情。

用熱情去做一流的工作

　　有一點可以跟大家講，漢密爾頓先生是一個偉大的科學家，他的學問高深，很少有人能跟他相比。可是5年前他申請美國自然資金竟然拿不到，這表明美國也有不公平。所以，我們做學問不是看別人是否重視我們。真正對學問有很大興趣的時候，你不會因為金錢，不會因為基金拿不到而不去做。因為，“龐加萊猜想”這個命題太優美、太重要了，我們沒辦法來抵抗它的魅力。就像我們年輕時，喜歡漂亮的女孩子一樣，不會因為有困難而不去追求她。二三十年來我們所花的功夫，越戰越勇，儘管也有過許多失敗。

　　五六年前，我與漢密爾頓做這個工作的時候，有好幾次我們以為成功了，可是最後發現還是有漏洞。因為，這個猜想實在太難了，有波動的時候我們要忍耐，要繼續地前進。我們知道，做學問的熱情絕對是解決重要偉大問題的一個必要條件。所有重要偉大的問題的解決，我想都必須經過這個過程，能否抵受住時間和種種困難的煎熬。我幾十年來，在美國和歐洲認識了很多數學家和物理學家，看到他們是如何創造一個偉大的工作。沒有一個偉大的工作不經過這個過程。假如你對學問沒有極度的熱情的話，你不可能成功。數學家絕對不能今天發表一篇小文章，明天發表一篇小文章，跟着人家走，這樣不可能做成大學問。

　　我們要在一開始就建立一個宏大的結構，不停地去建構這個框架，慢慢地將它完成。同時，要跟很多不同的學者交往。事實上，你們年輕人更容易做這方面的事情，你們年輕，二三十歲，正是做大學問的時候。你們的腦力、活力比年紀大的人強得多，在學術界做偉大學問的人都是從年輕的時候就開始努力了。我們將年輕人看得最重要，因為只有他們才能夠做第一流的學問。我希望中國政府、中國教授們將全部精力放在培養年輕人身上。因為，整個國家的前途就在他們身上。

　　記得在1975年時，我才29歲，我一方面去追求我太太，一方面做學問，這幾個月的功夫我完成了幾篇重要的文章，現在看來覺得很驚訝，為什麼我當時有這個能力，能夠在很短的時間內做這些重要問題？首先，可能是年輕的原因。所以，年輕的同學，你們的能力比你們想象得大得多，在這樣的背景下，將你的想法看得重要一點，將自己的想法培養出來。不去做第一流的工作，而做第二流的工作和第三流的工作，這是錯誤的。因為做第二流的工作也要花時間，而且並不比做第一流的時間少。做慣了第二流的工作，你就又會去做第三流的工作（眾笑）。這實際上對你自己的發展，對科學的發展都沒有好處。你堅持做第一流的工作，你就會覺得愉快，覺得有所創造，就不覺得枯燥。

　　我的很多朋友，當時他們的工作不受到重視，是慢慢才受到重視的。每一個做學問的人都會經過這樣的歷練。假如我們覺得今天的工作是為了導師、朋友、基金才做，那你的學問始終會有一定的限度。假如你的學問是為了這些，我想你是走錯了方向，絕對走錯了方向！我們做的學問是跟整個數學大潮流有關。跟上這個大潮流，需要我們去欣賞大自然，與大自然交流，產生共鳴。假如不能做到這一點，就不可能做好學問。

　　我和物理學家有很多來往，因為我從他們那裡得到很多想法，這是我從數學家身上所得不到的。這些想法不一定對我證明數學問題有幫助，可是我從他們那裡得到靈感和感情，能夠和自己產生共鳴。我覺得這種感情需要培養。所以，我有時候談到數學與文學、數學與物理的聯繫，因為我從那裡培養出自己的感情。

　　我想年輕人也應當多念書，不僅讀專業的書，也讀其他方面的書，才可能成才。這些知識是你考試所不能得到的，因為考試是其他人寫下題目，你去解決，並不是你自己去創造，我們講的是怎麼樣去創造，怎麼樣去解決，這兩個過程是連在一起的。

　　此外，你還需要種種修養，無論是數學、物理、文學的修養都需要。在美國的名校，比如哈佛大學或者斯坦福大學就很注重通才的培養，一個學期里，學生應該去學不同的學科，有了這些教育，才能夠掌握種種不同的接觸大自然界的方法和能力。而且，我們還要從朋友、同學那裡得到養分——這些是我們做學問不可缺少的養分。

　　這些養分不是一朝一夕能得到的，是需要花很多功夫才能培養出來的。所以，與師生、朋友的接觸，讓我們得到很多知識，這種知識是課本上得不到的。

　　做學問還需要有一個好的基礎。我小的時候始終沒有把物理學好，長大後雖然對物理也有點貢獻，但不能說對它有深刻的想法。我為什麼今天要講這點呢？因為你們大學生、研究生，正是需要培養最基本看法的時候，有很多想法是一個直覺，這個直覺是從小就開始培養的。我看一些數學，尤其是幾何，一眼看去，就會有直覺的反映。可是，我看物理上的題目就沒有這種直覺了，因為我的基礎不好。因此，基本功夫不可以放棄，從早就要學習。

　　所以，你要修養自己的感情、培養自己的基本功，這是學有所成最重要的條件，這點絕對不能泯滅。至於怎麼做大學問，你的感情一定要豐富，同時境界要放得很高遠。感情靠不停地培養，不能中斷，所以你要有好朋友、好老師來幫忙。這是中國教育要特別注意的地方。境界不高遠，眼光不長遠，不可能做好學問。我希望各位，在新中國大起飛的今天，能將眼光看得更遠，做成第一流的學問。

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