希爾伯特通過兩條途徑對20世紀數學施加影響：一條是通過自己遍及數論、代數、
幾何、分析以及數學基礎的工作，一條是通過提出並研究數學前沿的問題指出未來數學
發展的方向。
　　自從《21世紀100個科學難題》出版之後，希爾伯特的名字也逐漸為更多的人知道，
由於數學，特別是現代數學，很難為一般人所理解，自然，數學在媒體上難得有什麼地
位，而數學家的名字聽起來也格外陌生了。無論國外國內，稍有科學素養的人都知道牛
頓和愛因斯坦。無疑，牛頓應該是有史以來最偉大的科學家，而愛因斯坦是20世紀最偉
大的物理學家。但是，談起20世紀的數學，我想，至少應該記住三個人的名字：龐加萊
、希爾伯特和馮·諾伊曼，他們是20世紀最有影響的數學家。龐加萊是非線性數學（如
現代時髦的渾沌理論）的奠基人以及當代數學女王——拓撲學的創建者。馮·諾伊曼被
稱為“計算機之父”和現代計算數學的奠基人，而數理經濟學和對策論（一譯博奕論）
也由他首先取得突破的。而對20世紀主流數學——結構數學有巨大影響的當屬希爾伯特
。
　　希爾伯特通過兩條途徑對20世紀數學施加影響：一條是通過自己遍及數論、代數、
幾何、分析以及數學基礎的工作，一條是通過提出並研究數學前沿的問題指出未來數學
發展的方向。他之所以能做到這點，除了他的天才和格廷根的優美環境之外，就要歸結
為他的獻身精神——熱愛數學、學習數學的熱望，不斷地去深入理解數學的任何一個部
門。總之，使數學成為生活中不可或缺的東西。筆者在格廷根的檔案館中發現他的記錄
和筆記中，有一部分是他取得博士學位以後，訪問國內國外知名數學家的記錄；另有三
大本筆記，詳細記錄他提出的各種問題以及對各種問題的思考；而他在1900年8月8日關
於《數學問題》的報告顯然不是急就章，而是長年思考積累的結果。
　　希爾伯特的報告不是大會報告，而是數學史組的分組報告，從這個意義上來講，那
時人們的確重視科學發展的歷史，而也正是這種重視歷史的心態，才使這些最偉大的數
學家成就其歷史的偉業。從另外一個意義上來講，希爾伯特的23個問題是一個繼往開來
的文獻，說它繼往，是它總結了19世紀幾乎所有未解決的重要問題；說它開來，是這些
問題的確推動了 20世紀數學的進步。因此各數學大國，美國、前蘇聯、日本以及法國、
德國和英國的數學家或組織起來或單獨研究希爾伯特問題的歷史和現狀，並進一步提出
新的問題。這裡我們也極簡單地概括一下，欲知其詳，則有待於專著的問世。
　　希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數學基礎問題；第7到第12問題是
數論問題；第13到第18問題屬於代數和幾何問題；第19到第23問題屬於數學分析。從順
序上講，顯然希爾伯特把自己的重點放在數學基礎上，他自己的工作也正為締造數學大
廈牢固的基礎而努力。從19世紀末希爾伯特已致力把數學建立在少數公理的基礎上。他?
還是集合論最早的少數支持者之一，把數學建立在集合論基礎上成為他的夢想。這可以
解釋他為什麼把集合論頭號問題——連續統假設列為自己的第1問題。希爾伯特通過自己
的工作包括他的基礎問題對於20世紀數理邏輯的發展起了決定性的影響。但是希爾伯持
的綱領卻由於哥德爾1930年的不完全性定理而不能實現，從此數理邏輯走向獨特的發展
道路。從新的觀點看，第1、第2以及第10問題屬於數理邏輯的範圍，第3、第4、第5、第
6屬於較為具體的學科。從某種意義來講，這些問題可以說都在不同程度上得到解決。
　　數論這一塊是希爾伯特本人在1900年之前最為關注的領域，他本人的工作對這領域
的發展也有決定性的影響。出乎他本人的預料，第7問題在他在世時已經解決，而第8問
題的黎曼猜想卻至今還距離完全解決尚遠，成為未來世紀數學家的頭號難題。由第12問
題衍生出的朗蘭茲（LangLands）綱領，更是遠未解決，而其它4個問題可以說已經基本
解決。
　　20世紀的代數學已由方程論和不變式論發展為抽象代數學或近世代數學，這條發展
路線雖然同希爾伯特問題關係不大，但的確是在希爾伯特本人工作的影響之下發展起來
的。13、14和17這三個代數問題可以說基本解決，它們也給 20世紀數學帶來新的方向。
幾何的三個問題中，第15問題對於代數幾何學的嚴格化有重要影響，而代數幾何學在20
世紀是一門對各方面都有巨大影響的主流學科，它的基礎已經建立在交換代數學的基礎
上。與此相反，16問題前半的實代數幾何學進展不大，儘管希爾伯特的問題有很大進步
。16問題後半的極限環問題經過一個世紀的努力可以說進展甚微，具體講每一個重要進
展在多年之後都發現不對。18問題共有三問，前兩問已經圓滿解決，而第三問則發展成
一個十分活躍的領域，特別是開普勒（就是發現行星運動的三定律的那位）猜想終於在
本世紀結束之前完全證明。
　　希爾伯特的5個分析問題，可以說都基本解決。希爾伯特從1900年起研究分析，特別
是狄式原理和積分方程直接推動偏微分方程和泛函分析的發展。總之，希爾伯特23個問
題有4個問題仍是下世紀的大問題（第8、第12、16B 、18C），而其他問題則應在基本解
決的基礎上提出更多更新的問題。
　　回顧一個世紀數學的發展，我們的確可以看到希爾伯特通過他自己的工作和提出的
問題，把20世紀數學帶上一條健康發展的道路。當然，即使像希爾伯特這樣的數學巨人
，也自然會有他的局限性。他基本上沒有涉及龐加萊的組合拓撲的工作，E·嘉當關於李
代數的工作以及黎曼幾何與張量分析和群表示論的研究。但是，他的工作和他的問題同
20世紀特別是上半世紀一半以上的數學研究有聯繫。而到20世紀末，數學已發展成如此
龐大的領域，已經找不到一個人來提出全面數學問題的清單，他的工作需要幾十人來代
替。這些領袖人物雖然不像希爾伯特那樣廣博，但決不是狹窄領域的專家，他們都多少
繼承希爾伯特的基因，在學科交叉上看到數學未來的前沿。而這正預示着下一世紀數學
輝煌的前景，也是解決老問題，提出新問題的關鍵所在。

希爾伯特問題研究進展
問 題

1.連續統假設 公理化集合論
1963年,Paul J.Cohen[美國] 在下述意義下證明了第一問題是不
可解的, 即: 連續統假設的真偽不可能在Zermelo-Fraenkel公理系統
內判明。
2.算術公理的相容性 數學基礎
Hilbert 證明算術公理相容性的設想, 後來發展為系統“Hilbert
計劃”, 但1931年Godel 的“不完備定理”提出用“元數學”證明算
術公理相容性之不可能。數學相容性問題至今尚未解決。
3.兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎
這問題很快(1900 年) 即由Hilbert 的學生M.Dehn給出肯定解答。
4.直線作為兩點間最短距離問題 幾何基礎
這問題提得過於一般。Hilbert 之後, 許多數學家致力於構造和
探討各種特殊的度量幾何, 在研究第四問題上取得很大進展, 但問題
並未完全解決。
5.不要定義群的函數的可微性假設的李群概念 拓撲群論
經過漫長的努力, 這個問題於1952年由Glenson 、Montgomery、
Zippin等人[ 美國] 最後解決, 答案是肯定的。
6.物理公式的數學處理 數學物理
在量子力學、熱力學等部門, 公理化方法已獲很大成功, 但一般
地說, 公理化的物理意味着什麼, 仍是需探討的問題。至於概率論的
公理化, 已由Ａ. Ｈ. Ｋ o лМ o r o p oB[前蘇聯,1933]等人建
立。
7.某些數的無理性與超越性 超越數論
1934年, Ａ. Ｏ. г e M ж o H д[ 前蘇聯] 和Schneider[
德國] 各自獨立解決了這問題的後半部分, 即對於任意代數數α≠0,1
和任意代數無理數β≠0 證明了α攩β攪的超越性,1966 年這一結果
又被A.Baker 等人大大推廣和發展了。
8.素數問題 數 論
一般情形下的Riemann 猜想至今仍然是猜想。包括在其中的Goldbach
問題至今也未解決。中國數學家在這方面做出了一系列出色的工作。
9.任意數域中最一般的互反律證明 類域論
已由高木貞治[ 日,1921 年] 和E.Artin[美1927] 解決。
10.Diophantius方程可解性的判別 不定分析
1970年,M a T ия c e Bич[ 前蘇聯] 在Robinson、M.Davis、
H.Putnan等人[ 美] 工作的基礎上證明了Hilbert 所期望的一般算法
是不存在的。
11. 係數為任意代數數的二次型 二次型理論
H.Hasse(1929年) 和C.L.Siegel(1936,1951) 在這個問題上獲得
了重要結果。
12.Abet 域上的Kro-necker定理推廣到任意代數有理域 復乘法
理論
尚未解決
13. 不可能用只有變數的函數解論一般的七次方程 方程論與實
函數
連續函數情形於1957年由B.A p H o лъц[ 前蘇聯] 否定解決
,如要求是解析函數,則問題仍未解決。
14. 證明某類完全函數系的有限性 代數不變式理論
1958年, 永田雅宜[ 日] 給出了否定解決, 即證明了存在群г,
其不變式所構成的環不具有有限個整基。
15.Schubert 計數演算的嚴格基礎 代數幾何學
由於許多數學家的努力,Schubert 演算基礎的純代數處理已有可
能, 但Schubert演算的合理性仍待解決。至於代數幾何的基礎, 已由
B.L.Vander Waerden(1938 年 -1940年) 與A.Weil(1950 年) 建立。
16. 代數曲線與曲面的拓撲 曲線與曲面的拓撲學、常微分方程
定性理論
對問題的前半部分, 近年來不斷有重要結果得到。至於後半部分
,и.T.п eтроъский[ 前蘇聯] 曾聲明, 他證明了n=2 時極
限環的個數不超過3,但這一結論是錯誤的, 已由中國數學家舉出反例
(1979 年) 。
17. 正定形式的平方表示式 域( 實域) 論
已由Artin 於1926年解決。
18. 由全等多面體構成空間 結晶體群理論
問題的第一部分( 歐氏空間中僅有有限個不同類的帶基本區域的
運動群) 於1910年由L.Bieberbarch 肯定解決; 問題的第二部分( 是
否存在不是運動群的基本區域但經適當毗連可充滿全空間的多面體)
已由Reinhardt(1928年) 和Heesch(1935 年) 分別給出三維和二維情
形的例子; 至於將無限個相等的給定形式的立體在空間中給以最緊密
排列的問題至今尚未完全解決。
19. 正則變分問題的解是否一定解析 橢圓型偏微分方程理論
這問題在下述意義上已獲解決,1904 年,C.Bерн mтейн[
前蘇聯] 證明了一個兩個變元的、解析的非線性橢圓方程, 其解必定
是解析的。這個結果後來又被B ернтейн本人和и. г. п e
тровский[ 前蘇聯] 推廣到多變元和橢圓組的情形。
20. 一般邊值問題 橢圓型偏微分方程理論
偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。
21. 具有給定單值群的線性微分方程的存在性 線性常微分方程
的大範圍理論
已由Hibert本人(1905 年) 和H.Rohrl[德,1957 年] 解決。
22. 解析關係的單值化 Riemann曲面論
一個變數的情形已由P.Koebe[德,1907 年] 等人解決。
23. 變分法的進一步發展 變分法
Hilbert 本人和許多其他數學家對變分法的發展作出了重要的貢獻。