出生於匈牙利的猶太籍數學家Erdos，被公認為本世紀最偉大的天才之一。他在數
論、組合學及機率論均有極大貢獻，並被視為離散數學的創始者，離散數學又為計算機
科學的基礎。在他後半生，他的演講題目一成不變的都是“Problems in Combinatoric
s and Number Theory”。演講內容則為他所曾提出而已解出的問題，以及新提出的問題
。他不斷地提出他認為僅利用已知的工具，只要是好的數學家便可解出的問題。若他認
為某問題需要真正的新想法(genuinely new idea)，則他提供獎金給解答者。獎金從五
十美元到一萬美元都有。在金錢刺激下或是為了得到他的肯定，許多人研究他所認為重
要或有趣的數學問題。Erdos畢生發表的論文超過1500篇，但若加上別人所做但曾獲他關
鍵性的提示之論文，則他的論文應有數萬篇。
Erdos從來沒有一固定的職位，從來不定居在一個地方，也沒有結婚，帶著一半空
的手提箱，穿梭於學術研討會，浪跡天涯，頗富傳奇色彩。有人稱他為流浪學者(wande
ring scholar)。他效忠的是科學的皇后， 而非一特定的地方。各地都有熱心的數學家
提供他舒適的食宿，安排他的一切，他則對招待他的主人，給出一些挑戰性的數學難題
，或給予研究上的指導做為回饋。他可以和許多不同領域的數學家合作。數學家常將本
身長久解決不了的問題和他討論，於是很快地一篇論文便誕生了。
數學家以下述方式來定義Erdos數(Erdos number) : Erdos本人之Erdos數為0，任
何人若曾與Erdos合寫過論文，則其Erdos數為1。任何人若曾與一位Erdos數為E－l(且不
曾與有更少的Erdos數) 的人合寫過論文， 則他的Erdos數為E。可見其論文之多(他的多
產在數學史上僅次於歐拉(Euler ，1707-1783，關於歐拉，可參考本人所寫“不世一出
的數學奇才歐拉”一文))，與合作對象牽連之廣(他的合作者超過450位)。在1996年9月
20日，於參加在波蘭華沙(Warsaw)舉行的一關於圖論(graph theory)的研討會中，因心
髒病發作，而突然去世。他的去世，實在是數學界之一大損失。他的一些生平事跡可見
Babai(1997)。
每天來一段Erdos的傳說【整理版】
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一個數學家就是一台把咖啡轉化為數學定理的機器。
——P. Erdos
Erdos(1913-1996)是當代最偉大的數學家之一，他一生中同485位合作者發表過1475
篇
數學論文，涉及數學的許多領域。下面的這些故事主要來自他的傳記《數字情種》，當
然
也有一些從別處搜集來的故事。
前面所引的那段話暗示了一天工作19個小時以上（在古稀之年依然如此）的Erdos對
興奮劑的依賴。1979年，他的朋友Graham與Erdos打賭，只要他一個月之內不服用安非他
明，Graham就輸給他500美元。Erdos成功地贏得了這次打賭，但他對Graham說：“你幫
我
證明了我不是一個癮君子，但在這段時間內我一無所成。我早晨起來就盯着一張白紙發
呆，毫無主意，跟普通人沒有什麼區別。你因此使數學的發展滯後了一個月。”所以他
隨後便重新開始服用興奮劑。
－－2－－
SF創造我們就是為了拿我們的痛苦取樂，我們死得愈早，他的計劃就愈早落空。
——Erdos
Erdos有一套他自己的語言。比如說，他稱上帝為"SF"（Supreme Fascist，最大的
法西斯份子），因為他總是折磨Erdos，藏起他的眼鏡，偷走他的匈牙利護照，甚至把持
着各種古怪的數學問題的解答不讓他發現。Erdos並不敬畏上帝，死亡對於Erdos的唯一
意義就是使他無法再進行數學研究，所以他經常說：“在墳墓里有的是時間休息。”
Erdos從事數學研究的方式很獨特。他總是遊歷於世界各地的大學和研究所，登門
拜訪那裡的數學家，向對方宣布：“我的頭腦敞開着。”然後他們便開始討論數學問題
，
一連持續幾天，直到雙方都厭倦了為止。他從不在一個城市裡連續呆上一個月，他的座
右銘是：“另一個屋頂，另一個證明。（Another roof, another proof.）”
－－3－－
出生的不幸是什麼時候降臨在你頭上的？
——Erdos 常用的問候語
除了SF之外，Erdos還有很多獨特的術語。他稱小孩為ε，稱孫輩為ε^2，稱橋牌打
得不好的人為o(x)，稱女人為“主人”，男人為“奴隸”，結婚為“被俘虜了”，離婚
為“自由了”，音樂為“噪聲”，酒精為“毒藥”，進行一次數學講座為“布道”，
非數學家為“不值一提的人”，美國為"Sam"，蘇聯為"Joe"。
Martin Gardner第一次見到他的時候，他問Gardner：“你是什麼時候到的？”
Gardner連忙看表，這時Graham小聲告訴他，對於Erdos來說，這句話的意思是：“你是
什麼時候出生的？”
－－4－－
一個數學家必須是在每個星期都有一些新的研究工作才成為數學家。
——Erdos
Erdos見到他的同行時，總喜歡問：“你昨天有什麼新的發現？”可事實上並不是
每個數學家都能像他那樣每年發表50多篇論文！
一次，他在巴黎演講後，一位法國數學家問他關於某位有爵士頭銜的英國數學家的
近況。他回答：“這個可憐的傢伙兩年前就已死去了。”另外一位法國數學家卻說：“
不
可能，上個月我還在羅馬見過他。”Erdos答：“你應該明白我的意思，我是指他這兩年
沒有搞出什麼新東西來。”
在Erdos的術語裡，“死了”是指這個人不再進行數學研究，“離開了”才是真正的
生理學意義上的死亡。
－－5－－
我只要拿張紙，坐下，就能思考。
——Erdos
在很多張Erdos的照片上，他都是低着頭的。這種姿勢很容易讓人以為是在打盹，但
Erdos聲稱他是在思考問題。
1939年，Erdos曾聽過M.Kac在Princeton研究所做的一個報告。事後Kac這樣回憶道
：
“在我報告的大部分時間內，他都快要睡着了。報告的內容跟他的興趣毫不沾邊。在將
近
結尾時我大致說了一下我在素因子方面遇到的困難。一提起數論，Erdos馬上就精神起來
，
讓我再解釋一下到底困難在哪。不到幾分鐘，報告還沒有結束，Erdos就打斷我的講話並
宣布問題解決了！”
註：Mark Kac，波蘭裔美籍數學家，主要研究概率論與數學物理，有以他名字命名
的
Feynman-Kac公式。
－－6－－
匈牙利人的問題在於，每次戰爭我們都站錯了隊。
——Erdos
Erdos於1913年3月26日出生於布達佩斯的一個匈牙利化了的猶太人家庭。匈牙利和
猶太，這兩個來自東方的古老的民族，曾經孕育了無數的偉人。八十三年後，當Erdos
與世長辭時，Gordon Raisbeck在給Erdos的表妹的弔唁信中寫道：
“你聽說過兩個哲學家討論存在地外生命之可能性的典故嗎？其中一人說，如果外
星人存在，那麼他們的智力水平就有可能超過我們人類，因此我們可以預期他們已經訪
問地球了。但他又說：‘但他們有沒有留下什麼痕跡呢？’另外一位哲學家俯身過來時
對他耳語道：‘噓！這裡我們自稱匈牙利人。’正是有了像Erdos這樣傑出的人，才成就
了這樣的典故。”
－－7－－
我告訴我母親，如果你用100減去250，你便得到-150.
——Erdos回憶他4歲時的經
歷
如果說這個世界上真的有天才，那Erdos無疑是其中之一。在蹣跚學步時，他就研究
日曆，計算母親還有多久才能放假回家。（那時他父親在戰爭中被俄國人俘虜，母親在
學校教書，他是由一名家庭女教師撫養。）3歲時，他便能心算3位數的乘法，4歲時便
“發現”了負數。同樣在4歲時，他就算出一些諸如乘火車去太陽需多長時間之類荒唐
可笑的問題來做遊戲。他問她母親的朋友們多大，然後立即心算出她們已經活了多少秒
。
在上高中之前，他母親一直不讓他上學，因為害怕他會得傳染病。
他的英語是跟他父親學的，——他父親在集中營里為了打發時間，便用一本書自學
了英語。所以Erdos的英語發音一直很糟糕，因為他的父親從來沒有聽過地道的英語。
－－8－－
這世上有這麼多的醜惡現象，我都不敢說，假如上帝存在的話，是不是也是聖潔的
。
——Erdos
1919年，Miklós Horthy在匈牙利建立了歐洲第一個法西斯政權，並發起了一場血
腥的排猶運動。幾萬猶太人被迫離開匈牙利，其中包括E.Teller,J.von Neumann,
L.Szilard,E.Wigner. 這四個人都去了當時的科學聖地——德國，若干年後，他們又都
逃到了美國，並參與了曼哈頓工程。
Erdos一家並沒有離開。那時猶太人經常在光天化日之下遭到毆打甚至屠殺，
（Wigner就曾遭暴徒襲擊，）Erdos的母親曾對Erdos說：“你知道現在猶太人實在是太
難了，我們是不是要去洗禮？”六歲的Erdos回答道：“那好，你可以做你想做的，可我
還會和原來一樣。”
這就是Erdos，從不會放棄自己原則的Erdos.
綜觀Erdos的一生，他藐視任何法西斯權威，無論是武裝暴徒，還是不學無術的大學
官僚、美國移民局官員、匈牙利秘密警察、FBI、洛杉磯交警，甚至上帝。
註：Edward Teller，著名物理學家，被稱為“氫彈之父”。
John von Neumann，20世紀最偉大的數學家之一，在純粹數學和應用數學的許
多
領域中都有着無與倫比的貢獻。僅“電子計算機之父”這一稱謂便足以使他流芳百世。
Leo Szilard，著名物理學家、生物學家，核鏈式反應的提出者及專利擁有者。
1939年8月2日，在他和Wigner、Teller的建議下，Einstein給羅斯福總統寫信，呼籲美
國
搶在納粹德國之前研製成原子彈，——事實上，那封著名信件就是Szilard起草的。
Eugene Wigner，20世紀最重要的理論物理學家之一，獲1963年Nobel物理獎。
他
還是Dirac的大舅子。
－－9－－
我不明白為什麼我們初次見面時他會那樣——說的全是數的平方和各種各樣的證明
。
在我漸漸了解他之後，我發現他並不是那種喜歡過分張揚的人。……所以我真的不能解
釋
為什麼他總是在說他所知道的所有證法。
——A.Vázsonyi對Erdos的回憶
1930年，17歲的Erdos第一次見到14歲的Vázsonyi時，前者對後者說的第一句話是
：
“給我舉出一個4位數。”
Vázsonyi答道：“2,532.”
“它的平方是6,411,024. 對不起，我老了，否則我會立即告訴你它的立方。”
Erdos又問道：“你知道畢達哥拉斯定理的多少種證法？”
“1種。”Vázsonyi說。
“我知道37種。你知道位於一條直線上的點不能構成可數集合嗎？”繼而Erdos給出
了一種證明方法，然後他說他必須跑了。
六十七年後，Vázsonyi仍然清晰地記得當時的情形：
“當Erdos說他必須‘跑’時，他像只大猴子一樣駝着背，側着身子，搖擺着雙臂，
沿着街一溜兒小跑，引得行人時時回頭觀望。……當他年紀稍大之後，他的步態不太像
猴
了，但仍有些奇怪。他老是走得很快，甚至發展到會向一面牆直衝過去，然後突然止步
，
猛然掉頭，再往回跑。有一次他沒能止住腳步，一下子撞到牆上，弄傷了自己。”
－－10－－
如果你是一隻耗子，你就知道了。
——Erdos這樣解釋他把一隻小貓稱為法西斯的原
因
儘管受到各種反猶法律的限制，Erdos還是得以在17歲那年進入布達佩斯的Pázmán
y
Péter大學學習。他經常與他的朋友們在公園或廣場裡討論數學問題和時事。
當時的法律禁止群眾聚會，經常會有警察過來盤問他們。他們感覺密探無所不在，
不能夠暢所欲言。所以從那時起，Erdos開始使用一些自己獨有的隱語。他用“長波人”
來代表共產主義者，因為紅色光的波長較長；相應地，用“短波人”來代表法西斯主義
者。
政治並不能干擾Erdos和他的朋友們對數學的興趣。Vázsonyi回憶說：“他（Erdos
）
沉浸在素數的世界裡，素數是他的一切，他與素數之間似乎有着某種奇妙的密切關係。
”
大學一年級時，Erdos便證明了Bertrand猜想：“在n和2n之間總存在一個素數，其中n是
大於1的整數。”這個猜想最初是在1848年由Chebyshev證明的，但Erdos的證明比
Chebyshev的要簡單得多。
20歲時，Erdos便宣稱要用古希臘時期流傳下來的Eratosthenes篩法來給出素數定理
的初等證明，若干年後他果然做到了。這是後話。
註：Joseph Louis Francois Bertrand，19世紀法國數學家，在數論、概率論、幾
何、微分方程等領域均有貢獻。
Pafnuty Lvovitch Chebyshev，19世紀俄國數學家，在數學許多領域有開創性
工作，是俄國數學的奠基人。
Eratosthenes，與Archimedes同時代的學者，曾任亞歷山大圖書館館長。
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我是猶太人，而匈牙利當時是個半法西斯國家。
——Erdos談及他離開匈牙利的原因
早在12歲的時候，Erdos就清楚地知道，由於政治上的原因，他遲早得離開匈牙利。
1934年，他獲得了博士學位，隨後便到英國的Manchester大學進行他的博士後研究。
在Erdos抵達英國的第二天，發生了兩件對於他來說頗不尋常的事情，其中一件是
這樣的：
Erdos以前從來沒有給麵包片抹過黃油，在家裡都是他母親或傭人給他抹的。他回憶
道：“我清楚地記得，那一次我剛去英國學習，茶點的時候上了麵包。要是承認自己從
來
沒有抹過黃油，那太讓我難堪了，於是我就試了試。還不是太難。”
就在10年前，當他11歲的時候，他第一次給自己系了鞋帶。
