天才數學家阿貝爾和伽羅瓦
由於工作的緣故，時常會接觸到一些研究數學的人。但不知什麼緣故，常常會覺得這些
人多少都有些怪僻，而且是那種說不出怪在什麼地方，但怎麼瞅怎麼和別人不一樣的怪法。
但如果你和這些交往多了以後，往往會發現到他們的天才以及對數學的狂熱痴迷，而他們平
素所表現出來的古怪不過是對日常習慣的忽略造成的誤會。
很難否認，在所有學科里，數學家裡有着更多的天才，比如我們常說的高斯和拉普拉斯
。但由於成就和經歷的相似，最燦爛也最常被人一起提起的是十九世紀的兩位數學神童：阿
貝爾和伽羅瓦。
尼爾斯·亨利克·阿貝爾(N.H.Abel)1802年8月5日出生在挪威一個名叫芬德的小村莊。
有七個兄弟姐妹，阿貝爾在家裡排行第二。他父親是村子裡的窮牧師，母親安妮是一個非常
美麗的女人，她遺傳給阿貝爾驚人的漂亮容貌。小時候由他父親和哥哥教導識字，小學教育
基本上是由父親來教，因為他們沒有錢請不起家庭教師。
十三歲時，阿貝爾和哥哥被送到克里斯蒂安尼亞(即後來的奧斯陸)市的天主教學校靠一
點獎學金讀書。在最初的兩年，他們兄弟的成績還不錯可是後來教師枯燥的教學方式，高壓
的手法，使得他們兄弟的成績下降了。
1817年是阿貝爾一生的轉折點。當時給他教數學的老師是一個好酒如命又脾氣粗暴的家
伙，後因體罰而致死一名學生被解職，並由一位比阿貝爾大七歲的年青的教師霍姆伯厄代替
。霍姆伯厄本身在數學上沒有什麼成就，是一個稱職但決不是很有才氣的數學家。他在科學
上的貢獻，就是發掘了阿貝爾的數學才能，而且成為他的忠誠朋友，給他許多幫助。阿貝爾
死後，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。
霍姆伯厄很快就發現了十六歲的阿貝爾驚人的數學天賦，私下開始給他教授高等數學，
還介紹他閱讀泊松、高斯以及拉格朗日的著作。在他的熱心指點下，阿貝爾很快掌握了經典
著作中最難懂的部分。
在中學的最後一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數學界幾百年的五次方程問題，不久便
認為得到了答案。霍姆伯厄將阿貝爾的研究手稿寄給丹麥當時最著名的數學家達根。達根教
授看不出阿貝爾的論證有甚麼錯誤的地方，但他知道這個許多大數學家都解決不出的問題不
會這麼簡單的解決出來，於是給了阿貝爾一些可貴的忠告，希望他再仔細演算自己的推導過
程。就在同時，阿貝爾也發現了自己推理中的缺陷。這次失敗給他一個非常有益的打擊，把
他推上了正確的途徑，使他懷疑一個代數解是否可能。後來他終於證明了五次方程不可解，
而那已經是他十九歲時的事情了。
1822年6月，阿貝爾靠着霍姆伯厄和其他教授們的幫助，在克里斯蒂安尼亞大學念完了必
須的課程，那時大學和城裡人人都知道他是一個了不起的數學天才。可他的父親已於兩年前
去世，家裡一貧如洗，沒錢繼續從事數學研究。他的老師和朋友們也很窮，無法再拿出更多
的錢資助他去當時世界數學的中心巴黎深造。
1823年夏，教天文學的拉斯穆辛教授給阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達根，希望他能在外
面見識和擴大眼界。從丹麥回來後阿貝爾重新考慮一元五次方程解的問題，總算正確解決了
這個幾百年來的難題：即五次方程不存在代數解。後來數學上把這個結果稱為阿貝爾-魯芬尼
定理。阿貝爾認為這結果很重要，便自掏腰包在當地的印刷館印刷他的論文。因為貧窮，為
了減少印刷費，他把結果緊縮成只有六頁的小冊子。
阿貝爾滿懷信心地把這小冊子寄給外國的數學家，包括德國被稱為數學王子的家高斯，
希望能得到一些反應。可惜文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時覺得不可能
用這麼短的篇幅證明這個世界著名的問題----連他還沒法子解決的問題，於是連拿起刀來裁
開書頁來看內容也懶得做，就把它扔在書堆里了。
阿貝爾在數學和天文學界的朋友們，說服大學去請求挪威政府資助這個年輕人，作一次
以數學為主要目的的歐洲之行。經過過分的慎重考慮之後，政府妥協了，但不是立刻派阿貝
爾去法國和德國，而是給他一筆獎金，讓他在克里斯蒂安尼亞複習法語和德語。在延誤了一
年半後，在1825年8月，皇家從窘迫的財政中撥出一筆錢當時二十三歲的阿貝爾，讓他足夠在
法國和德國旅行和學習一年。
阿貝爾在德國並沒有去找在哥廷根的高斯，可能他覺得這個大數學家難以接近，也難以
幫助他，因為他以前的作品寄給他卻得不到回音。1826年7月，阿貝爾離開德國到了法國，當
時的法國皇家科學院正被柯西、泊松、傅里葉、安培和勒讓德等年邁的大數學家們把持，學
術氣氛非常保守，各自又忙於自己的研究課題，對年青人的工作並不重視。阿貝爾留在巴黎
期間覺得很難和法國數學家談論他研究的成果。他曾寄過一份長篇論文給法國科學研究院，
論文交到了勒讓德手上，勒讓德看不大懂，就轉給柯西。多產的柯西正忙着自己的工作，無
暇理睬，把論文隨便翻翻丟在一個角落裡去了。
阿貝爾的那篇論文《關於非常廣泛的一類超越函數的一般性質的論文》是數學史上重要
的工作，他長久的等待着消息，可是一點音訊也沒有，最後只好失望回到柏林。在那裡他病
倒了，他不知道自己已患上了肺結核病，以為是法國的孤寂生活使他身體衰弱。他只剩下大
約七元錢。他寫了一封急信，延誤了一些時間，從霍姆伯厄那裡借來了一筆錢。阿貝爾從18
27年3月到5月，靠霍姆伯厄的大約六十元借款生活和從事研究。最後，當他所有的來源都枯
竭時，只好掉頭回國。
1827年5月底，阿貝爾回到了克里斯蒂安尼亞。那時他不僅身無分文，還欠了朋友一些錢
。他的弟弟無所事事，用他的名字借了一些錢，他必須還清。於是，阿貝爾靠給一些小學生
和中學生補習初級數學、德語和法語賺點兒錢。沒多久，阿貝爾很幸運地被推薦到軍事學院
教授力學和理論天文學，薪水雖不是很多，卻已經可以讓他安心繼續從事橢圓函數的工作了
。
這時，阿貝爾的身體越來越衰弱。在1828年夏天他一直生病發燒咳嗽，人也變的消沉，
感到前途真是暗淡無光，而且無法擺脫靠他養活的家人的負擔。他們直到最後一直纏着他，
實際上弄得他自己一無所有，可是直到最後他也從沒有說過一句不耐煩的話。
挪威1828年的冬天很冷，阿貝爾穿上了所有的衣服，可是身體還是覺得冷。他咳嗽、發
抖，覺得胸部不適，但是在朋友面前他裝作若無其事，而且常開玩笑，以掩飾他身體的不舒
服。
1829年14月6日，阿貝爾去世，身邊只有未婚妻克里斯汀。
阿貝爾死後兩天，阿貝爾將被任命為柏林大學的數學教授。第二年6月法國科學院頒給著
名的Grand Prix獎給阿貝爾。1830年柯西在舊書堆終於找出積滿灰塵的阿貝爾的手稿，1841
年這篇史詩般的手稿又一次丟失，直到1952年才在佛羅倫薩被重新發現。
法國數學家厄米特(Hermit。任何學習過量子力學的人對這幾個字母都不會陌生)在談到
阿貝爾時說：“阿貝爾留下的工作，可以使以後的數學家足夠忙碌五百年。”
這麼詳細地敘述阿貝爾的生平，很重要的一個原因是阿貝爾生活的平淡無奇，而他在純
數學上貢獻又只存在於極少的專業人士的心中。相比而言，另一位和他處於同一時代、經歷
、際遇、才華以及在數學上的貢獻都很相似的法國數學天才伽羅瓦，則因其成為一宗謎案的
傳奇性死亡而廣為人知。
伽羅瓦(Evariste Galois)1811年10月25日生於巴黎附近的一個小城拉賴因堡，他的父親
是一個自由主義思想家，母親受過良好教育，是他的啟蒙老師。他在中學讀書時，就對數學
很有興趣，閱讀了拉格朗日、高斯、柯西等人的原著，並於1829年3月發表了第一篇論文。1
829年他兩次投考巴黎綜合工科學校，卻因思想激進，兩次被拒絕錄取，最後只好進入高等師
范學校學習。伽羅瓦很早就開始了關於方程理論的研究，1829年5月，17歲的他寫出了關於五
次方程的代數解法的論文，論文中首次引入“群”的概念。他把論文寄給經由柯西，請他交
給法國科學院審查。柯西對此根本不屑一顧，把這個中學生的文章給弄丟了。1830年2月伽羅
瓦再次將他的研究成果寫成一篇詳細的論文，寄給科學院秘書傅立葉，希望能得到數學大獎
，不料當年5月傅立葉病死，伽羅瓦的文稿再次丟失。1831年伽羅瓦第三次將論文送交法國科
學院。泊松院士看了4個月，最後在論文上批道：“完全不能理解”。泊松的不公正評價，使
他受到很大打擊。
1830年3月，法國的“七月革命”推翻了復辟的波旁王朝，隨後又出現了“七月王朝”。
伽羅瓦思想上傾向於共和主義，在學校里反對學校的苛刻校規，帶領同學翻牆上街參加革命
，抨擊校長在七月事變中的兩面行為，以至於1830年12月被開除。第二年6月，又以企圖暗殺
國王的罪名被捕。由於警方沒有證據，不久即被釋放。7月，被反動王朝視為危險分子的伽羅
瓦再次被抓。他在獄中曾遭暗槍射擊，幸未擊中。1832年4月伽羅瓦被釋放出獄。
1832年5月29日，才出獄後一個月的年輕氣盛的伽羅瓦為了所謂的“愛情與榮譽”打算和
一個軍官決鬥。他知道對手的槍法很好，自己獲勝的希望很小，很可能會死去。他問自己，
如何度過這最後的夜晚？為了證明自己數學理論的價值，他先寫了絕筆信。信中寫道：“我
請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。我是作為一個不名譽
的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。……。
請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性而不是正確性發表的他們看法。在這以後，我
希望有人會發現將這堆東西整理清楚對他們是有益的。”
整個晚上，他焦躁一氣地寫着他在科學上的遺言。想在死亡之前儘快把他豐富的思想中
那些偉大的東西寫出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時間，我沒有時間。”這
些旁註和當年費爾馬幽默地在費爾馬大定律旁寫下的“地方太小了，我寫不下定理的證明”
比較起來多麼的淒涼和悲壯！接着伽羅瓦又寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最後
幾個小時寫出的東西，一勞永逸地為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案
，並且開創了數學的一個極為重要的分支----群論。
第二天上午，在決鬥場上，伽羅瓦被打穿了腸子。臨死前，他對在身邊哭泣的弟弟說：
“不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去。”死後，他的葬禮幾乎與他父親的葬禮一
樣是場鬧劇。他被埋葬在公墓的普通壕溝內，如今他的墳墓已無跡可尋。
歷史學家們一直爭論這場決鬥是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出於政治動機造成
的。據那個以和愛因斯坦合著《物理學的進化》的英費爾德考證，伽羅瓦之死是一宗政治陰
謀，他為之決鬥的那個輕浮女人是被當局僱傭的妓女。但無論具體原因是哪一種，一位世界
上最傑出的數學家在20歲時被殺死了，而他研究數學只有5年。
1846年，也就是伽羅瓦死後14年，他的遺稿才得以發表。隨着數學的發展和時間的推移
，伽羅瓦研究成果的重要意義愈來愈為人們所認識。他的最主要成就是提出了群的概念，用
群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此發展了一整套關於群和域的理論，為了
紀念他，人們稱之為伽羅瓦理論。伽羅瓦理論對近代數學的發展產生了深遠影響，它已滲透
到數學的很多分支中。
不錯，阿貝爾和伽羅瓦的主要貢獻都在群論中，屬於所謂的純數學，或者說是很少得到
實際應用的近世數學理論。數學我懂的很少，就自己稍微熟悉些的物理學而言，很難具體強
調出群論在現代物理中的重要地位。舉一個簡單的例子：翻開任何一本現代物理的書籍，必
然有一章群論基礎。離開了群論，現代物理學無法表達，僅僅寫下那些粒子的波函數方程組
也成為不可能。天才如狄拉克這樣的，我個人認為他做的最不明智的事情，就是在其名著《
量子力學原理》中隻字不提群論，原因是他不相信群論。至於在其它領域，就我自己的孤陋
寡聞，學習量子化學求解分子動力學方程的人大約常常會用到阿貝爾群，而泡網的從事計算
機工作的人對伽羅瓦域恐怕也不該陌生吧。
伽羅瓦和阿貝爾兩人實在是非常相似。都生活在一個不幸的年代，少年天才，懷才不遇
，英年早逝，甚至是被法國科學院同樣的一批權威們所排斥。那些權威沉醉於古典數學的嚴
謹和優美的，對一切新的理論持不信任的態度，根本沒有那些另類天才們存活的空間。這不
禁讓人感到一種來自智慧的孤獨與悲哀。
另外，這兩個人長的也都非常俊美有精神頭。
然而，有時候會奇怪地覺得這兩人的命運未必是最壞的。做數學，尤其是純數學的，往
往需要更多的天賦。而數學之路又總是充滿着孤獨和寂寞，於是也才有了那麼多的怪人，並
且每每不得善終。他們的偉大也只存活於行內人的心中。歐幾里得、阿基米德、高斯、帕斯
卡、費爾馬、羅巴切夫斯基、歐拉、彭加勒、希爾伯特、康托爾……，這無數偉大的名字，
現在又有幾個人還知道呢？
唉，數學啊數學，這個世界上，也許只有數學才能讓人如此痴狂。可以讓人勞其心智，
讓人甘心赴死。
