中國近代數學能超越西方或與之並駕齊驅的主要有三個：一個是
陳省身在示性類(characteristic class)方面的工作；一個是
華羅庚在多複變函數方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面
的工作。

中國數學發展之我見

丘成桐

我們要談中國數學的未來發展，先看一下我們的過去，我們中國人習慣
上講自己很了不起，事實上，中國古代數學主要貢獻在計算及其實用
化，我們算圓周率算得位數很高，但是對數學理論沒有系統化的研究，
基本上抗拒幾何學的邏輯結構和發展抽象代數。在我看來，它們在中國
從來沒有生過根。我們對傳統的科學有不合理的熱愛，結果不能接受新
的觀念，也不能對應用數學作出貢獻。雖然我們對應用數學有瘋狂的熱
情，由於我們不願意學習基本的、有系統化的數學理論，結果對應用數
學也不能做出偉大的貢獻。

中國近代數學能超越西方或與之並駕齊驅的主要有三個，當然我不是說
其他工作不存在，主要是講能夠在數學歷史上很出名的有三個：一個是
陳省身教授在示性類(characteristic class)方面的工作；一個是華羅庚在
多複變函數方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作。我為什
麼單講華先生在多複變函數方面的工作，這是我個人的偏見。華先生在
數論方面的貢獻是大的，可是華先生在數論方面的工作不能左右全世界
在數論方面的發展，他在這方面的工作基本上是從外面引進來的觀點和
方法。可是他在多複變函數方面的貢獻比西方至少早了10年，海外的數
學家都很尊重華先生在這方面的成就。所以，我們一定要找自己的方
向，我想這是一個很重要的看法。我們要從數學的根本上找研究方向，
我們近20年來基本上跟隨外國的潮流。我們沒有把基本的想法搞清楚，
所以始終達不到當年陳先生、華先生或馮先生他們的工作。我想我們一
定要找自己的方向，可是我們在很多方面的知識還是很缺乏。我們一定
要在了解了其他方面的發展後才能發展自己的方向。所以一方面要發展
自己的方向，一方面要了解其他方向的發展。我下面舉個例子講。

分析方面我以為非線性微分方程是主要方向，可是為了研究非線性方
程，線性方程和古典的調和分析基礎一定要打好。當然特殊函數、傅里
葉分析(special function、Fourier analysis)都是主要工具。可是非線性
方程不宜作太一般的研究，一定要與微分幾何、物理學以及其他自然科
學相結合，由大自然指導我們研究。雙曲型方程無論線性、非線性都值
得發展，我們要發展自己的特色。中國這10多年在守恆定律
(conservation law)、空氣動力學(gas dynamics)方面有一定的成就，可
是在高維空間［即空間維數(space dim≥2)］沒有貢獻。這方面我覺得
是重要的，不僅中國沒有貢獻，而且全世界也沒有貢獻。從數學分析上
講，高維空間的動力系統很明顯與幾何有密切聯繫，因為維數大了的
話，有幾何的意義在裡面，當然張量分析是研究高維空間的重要工具。
橢圓型方程的奇異點問題也值得深入研究。

離散化的動力系統和離散組合數學在應用科學方法起着很大的作用，它
們的發展應該與上述的非線性方程理論平行發展。近代自動化系統的研
究和金融數學都有很值得研究的隨機性方程。

從基本粒子方程推導流體力學方程是很有意義的一門學問，流體力學中
的奇異點問題和湍流的研究將是未來一個很具挑戰性的數學問題。

幾何方面我們其實有很多方面可以作研究的，如：愛因斯坦方程的深入
研究、極小化流形、規範場等。幾何研究方面的重要突破需要深入的存
在性定理。三維空間和四維空間的深入理論和方程的存在性理論有密切
的關係。同時古典中的剛性問題、嵌入問題、曲面的構造問題都與工程
學息息相關，很值得研究。

代數方面以代數幾何、數論為主。Hodge猜測是主要的研究對象，其與
矢量叢(vector bundle)的關係也值得研究。另外，由弦(string)理論引起
的代數和數論問題也值得研究，統一場論將會作成數學的大一統，很值
得注意。
數論方面以Langlands理論和算術幾何(arithmetic geometry)為主要方
向。

最後，我再講幾句話。我前面講的主要與物理有關，其實，實際工作中
很多問題跟我們純數學有很大關係。舉個例子講，我最近遇見幾個曾是
清華大學的學生，他們現在在哈佛念工程專業。他們跑來和我談計算幾
何方面的問題，如把圖像運動表示出來等。我發現這些學生由於念工程
的緣故，在微分幾何方面完全沒有得到培訓，其實主要問題都是古典的
幾何問題。念工程的學生沒有得到基本的訓練，他們對很多問題沒有辦
法了解，這是一個不幸的情景。在本科時應該讓他們把一些基本課程練
好，很明顯這和以後有關。作一個圖形表示問題很明顯和古典微分幾何
有關，可是沒有學好。所以，我希望學工程的人花一點時間在純數學上
去，我想打破門戶之見是目前最重要的問題。